计数原理与概率统计综合训练——2026届高三数学一轮复习

计数原理与概率统计 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第分位数是( ) A.2.5 B.4 C.4.5 D.5 2.已知随机变量，若，则( ) A. B. C. D. 3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是( ) A. B. C. D. 5.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是( ) A. B. C. D.7 6.设，随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在内增大时，( ) A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 7.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.一个高尔顿钉板的设计图如图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机向两边等概率地下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板.放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是( ) A. B. C. D. 8.已知的展开式中，常数项为60，则a的值为( ) A.2 B. C.3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( ) A.若A与B互斥，则 B.若A与B相互独立，则 C.若，则A与B相互独立 D.若B发生时A一定发生，则 10.在某次数学测试中，学生的成绩，则( ) A. B.若越大，则越大 C. D. 11.下列说法正确的有( ) A.若随机变量X的数学期望，则 B.若随机变量Y的方差，则 C.将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D.从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为_____________． 13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______________种（用数字作答）. 14.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望. 16.（15分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能地各取一件玩具进行交换. （1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率； （2）两人进行两次交换后，记X为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X的分布列和数学期望. 18.（17分）2025年3月16日，我国著名乒乓球运动员王楚钦在WTT冠军赛中夺得了男单总冠军，这一振奋人心的消息再次点燃了全民乒乓球的激情，为此某校组织了一场乒乓球擂台赛，其中甲、乙、丙三名同学参加了此次擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制，且每局比赛的两名同学获胜的概率均为，首轮由甲乙两人开始，丙轮空;第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率; (2)求第n轮比赛甲轮空的概率; (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 19.（17分）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史.福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类.现统计了每个展区的备受关注率〔一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值〕，如下表： 展区类型 新一代信息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备制造展 展区的企业数量/家 60 360 650 450 70 990 备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20 (1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率 (2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率. (3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.记X为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量X的分布列和数学期望. 答案以及解析 1.答案：C 解析：数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6已按从小到大顺序排列， 由于，故第分位数是， 故选：C 2.答案：B 解析：，解得，所以. 故选：B. 3.答案：C 解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人， 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种， 根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 4.答案：C 解析：设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”， 则，， 所以， 则． 故选：C. 5.答案：C 解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以，二项式展开项的通项公式为，令，得，所以的系数为.故选C. 6.答案：D 解析：随机变量X的期望， ，当时，单调递减，当时，单调递增，故选D. 7.答案：A 解析：因为小球向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由题图高尔顿钉板结构知下落过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，概率为， 故选A. 8.答案：B 解析：的展开式的通项为，令，得， 因此，展开式中的常数项为. 则，.故选B. 9.答案：BC 解析：对于A，因为A与B互斥，则，所以A错误， 对于B，A与B相互独立，则，所以B正确， 对于C，因为，，所以，由相互独立的定义知A与B相互独立，所以C正确， 对于D，因为B发生时A一定发生，所以，则，所以D错误，故选BC. 10.答案：AC 解析：因为，所以，A正确; 当时，，当时，，B不正确; 因为，所以，C正确; 根据正态曲线的对称性，D不正确. 故选：AC. 11.答案：ACD 解析：对于A，因为，故A正确; 对于B，因为，故B错误; 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量X服从，故C正确; 对于D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确. 故选：ACD. 12.答案：36 解析：由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式． 故答案为：36. 13.答案：64 解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14.答案： 解析：用A，分别表示取的一人是来自高一和高二，B表示抽取一个恰好是女生， 则由已知可知：，， 且，， 所以 故答案为：. 15.答案：（1） （2）分布列见解析，期望为13 解析：（1）记“甲学校在第i个项目获胜”为事件，“甲学校获得冠军”为事件E. 则 . 甲学校获得冠军的概率为. （2）记“乙学校在第j个项目获胜”为事件. X的所有可能取值为0，10，20，30. 则， ， ， . 的分布列为 X 0 10 20 30 P . 16.答案：（1）47.9岁 （2）0.89 （3） 解析：（1）平均年龄为 （岁）. （2）设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间”， ， 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为0.89. （3）设事件“任选一人年龄位于区间”，事件“任选一人患这种疾病”， 由条件概率公式可得 . 17.答案：（1） （2）分布列见解析，数学期望为2 解析：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为， 若两人交换的是玩偶，则概率为， 故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为. （2）X可取的值为0、1、2、3、4， 一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率为， 经过两次交换后， ， ， ， ， 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P . 18.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)甲第三轮获胜的基本事件有{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}，设“甲在第i轮获胜”， 则. (2)设事件“第轮甲轮空”，当时，则， 所以，又，所以， 则是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以. (3)设一轮比赛中甲胜的局数为X，则， ， ， ， 所以， 设前六轮比赛中甲参与的轮次数为Y，则， ， ， ， ， 所以， 故前六轮比赛中甲获胜局数的期望为. 19.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)根据统计表，所有展区的企业数量为， 其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为. 所以所求概率为. (2)用事件A，B，C分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，事件D表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”， 则 . (3)“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为， “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为. 易知X所有可能的取值为0，1，2. 所以， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 P 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$