专项训练(4)判断与说理-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（苏科版2024）

专项训练(四) 判断与说理 1. 在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方 形个数f. (1) 当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表: m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与 m,n的关系式是 (不需要证明). (2) 当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立. 2. 为推进郴州市创建国家森林城市工作,尽快实现“让森林走进城市,让城市拥抱森林”的构想, 今年三月份,某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵,其中甲种树苗每棵40元,乙种树苗 每棵50元.根据相关资料表明:甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%. (1) 若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元,则购买甲、乙两种树苗各多少棵? (2) 若要使这批树苗的成活率不低于88%,则至多可购买甲种树苗多少棵? 3. 如图,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N 分别是位于公路AB 两侧的 村庄. (1) 设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时,距离村庄M 最近;行驶到点Q 位置时,距离村庄 N 最近.请在图中公路AB 上分别画出点P,Q 的位置.(保留画图痕迹) (2) 当汽车从A 出发向B 行驶时,在公路AB 的哪一段上距离M,N 两村都越来越近? 在哪 45 一段上距离村庄N 越来越近,而距离村庄M 却越来越远? (分别用文字表示你的结论, 不必证明) (3) 在公路AB 上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时,与村庄M,N 的距离相等? 如 果存在,请在图中AB 上画出这点(保留画图痕迹,不必证明);如果不存在,请简要说明 理由. 4. 已知△ABC 中,∠A=60°. (1) 如图1,∠ABC,∠ACB 的角平分线交于点D,则∠BOC= . (2) 如图2,∠ABC,∠ACB 的三等分线分别对应交于O1,O2,则∠BO2C= . (3) 如图3,∠ABC,∠ACB 的n等分线分别对应交于O1,O2,…,On-1(内部有n-1个点), 求∠BOn-1C= (用n的代数式表示). (4) 如图3,已知∠ABC,∠ACB 的n等分线分别对应交于O1,O2,…,On-1,若∠BOn-1C= 90°,求n的值. 5. 观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5 52-4×22=9 72-4×32=13 … 根据上述规律解决下列问题: (1) 完成第四个等式:92-4×( )2=( ). (2) 写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性. 55 23. 5 24. 2或4 25. 3 26. 159°20' 27. 360° 28. 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等 29. 相交 30. 线动成面 31. 9 32. 1 2 33. 2m +3 34. 6 35. P≠5 36. 36 37. 31° 38. ab2 a 39. -1,-2 40. 10 41. 3 42. 2或-12 43. a≤2 44. 4mn 45. 52°42' 46. 5 47. 2 48. 4 49. 1 3 50. ±6 51. 108° a-1 52. 3 53. 15x=3×20(75-x) 54. 6 55. BC=DE 56. 2 57. 9 专项训练(二) 选择题 1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. D 8. D 9. A 10. B 11. B 12. D 13. C 14. A 15. C 16. C 17. B 18. C 19. D 20. A 21. B 22. C 23. D 24. D 25. A 26. A 27. A 28. C 29. B 30. B 31. D 32. C 33. D 34. C 35. D 36. A 37. B 38. C 39. C 40. A 41. D 42. B 43. B 44. B 45. C 46. A 专项训练(三) 计算与化简 1. (1)-34 (2)5x12 (3)-2 (4)28003 (5)2026 2. (1)原式=x2+6x+9+4-x2=6x+13. 当x=-2时,原式=6×(-2)+13=1. (2)当a=1,b=110 时,原式=a2-4b2+a2+4ab +4b2-4ab=2a2=2×12=2. (3)原式=14+2x,值为15. 3. (1)x=5 (2) x=3 y= 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 4. (1)8 (2)18125 (3)34 (4)①解:(-2)☆3=-2×32+2×(-2)×3+ (-2)=-32. ②解:a+12 ☆3= a+1 2 ×3 2+2×a+12 ×3+ a+1 2 =8(a+1). 8(a+1)× -12 2 +2×8(a+1)× -12 + 8(a+1)=8,解得,a=3. ③解:由题意m=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2,n =14x×3 2+2×14x×3+ 1 4x=4x ,所以m-n= 2x2+2>0,所以m>n. (5)a=2,b=9,原式=2a2-2a2b=-64. (6)解:由已知得:a-b=-1,b-c=-1,c-a= 2,a2+b2+c2-ab-bc-ca=12 [(a-b)2+(b- c)2+(c-a)2]=3. (7)①5个 ②S表=20a2 (8)①400-2xy ②304 专项训练(四) 判断与说理 1. (1)6 6 f=m+n-1 (2)如图,若m,n不互质,当m=2,n=2时,f= 2,f =m +n -2;当 m =2,n =4 时, f=4,f=m+n-2.(1)小题的猜想都不能成立. 2. 解:(1)设购买甲种树苗x 棵,购买乙种树苗y 棵.根据题意得: x+y=1000 40x+50y=46500 , 解得 x=350 y=650 . 答:购买甲种树苗350棵,购买乙种树苗650棵. (2)设购买甲种树苗x 棵,则购买乙种树苗(1000 -x)棵.根据题意得:85%x+90%(1000-x)≥ 1000×88%.解得x≤400. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 答:至多可购买甲种树苗400棵. 3. 解:(1)过点M 和N 分别作直线AB 的垂线,垂 足P,Q 就是所要求的点. (2)当汽车从A 出发 向B 行驶时,在公路AP 这一段上,距离 M,N 两村都越来越近.在PQ 这一段上距离N 越来越 近而距离M 越来越远. (3)存在.连接MN,取 线段MN 的中点O,过点O 作直线MN 的垂线l 交直线AB 于点H.点H 到M,N 的距离相等. 满足条件的点H 存在而且唯一. 4. (1)120° (2)100° (3)1+2n ·60° (4)n=4 5. (1)4 17 (2)(2n+1)2-4n2=(2n+1)+2n 验证略 专项训练(五) 实践与应用 1. 解:设甲商品单价为x元,乙商品单价为y元,由 题意得: 3x+y=190 2x+3y=220 ,解得: x=50 y=40 . 则购买10件甲商品和10件乙商品需要900元, ∵打折后实际花费735元,∴这比不打折前少花 165元. 答:这比不打折前少花165元. 2. (100a+60b)元 3. 解:设长为3xcm,则宽为2xcm,所以30+3x+ 2x≤160,解得x≤26,因为x 为正整数,所以x 的最大值是26,故3x=78cm. 答:该行李箱的长的最大值为78cm. 4. 解:设上月萝卜的单价是x 元/斤,排骨的单价是 y元/斤,根据题意得 3x+2y=36 3(1+50%)x+2(1+20%)y=45 , 解得 x=2 y=15 . ∴今天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)× 2=3(元/斤),今天排骨的单价是(1+20%)y= (1+20%)×15=18(元/斤). 答:今天萝卜的单价是3元/斤,排骨的单价是18 元/斤. 5. (1)150 240 (2)有这种可能.设小红购买跳绳 x根,根据题意得25×80%x=25(x-2)-5,解 得x=11.因此小红购买跳绳11根. 6. 解:(1)甲的工作效率为14 ,丙的工作效率为1 6 ,乙 的工作效率为1 5 ,设x 小时后发现没关出水口, 则有(1 4+ 1 6- 1 5 )x+(14+ 1 6 )×2=1,解得x =1013 ,所以浪费了10 13× 1 5= 2 13 (池水). (2)把 甲、乙、丙轮流使用一次看作一个循环,则每个循 环使水池装了1 4+ 1 6- 1 5= 13 60 的水,则在第4个 循环完成后就有了52 60 的水,此时甲灌8 60÷ 1 4= 8 15 (时)即可装满,所以一共用时4×3+815=12 8 15 (时). 7. 解:(1)设男生有6x 人,则女生有5x 人. 依题 意得:6x+5x=55,∴x=5,∴6x=30,5x=25. 答:该班男生有30人,女生有25人. (2)设选 出男生y人,则选出的女生为(20-y)人.由题意 得: 20-y-y>2 y≥7 ,解之得:7≤y<9,∴y的整数 解为:7,8.当y=7时,20-y=13;当y=8时,20 -y=12. 答:有两种方案,即方案一:男生7 人,女生13人;方案二:男生8人,女生12人. 8. 解:(1)三 (2)设A,B 两种商品的标价分别为x元,y元.根 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11