2024-2025学年上海市沪教版八年级下册期末提优数学试卷

第 1页，共 6页 2024-2025 上海市沪教版八年级下册期末提优卷 一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果一次函数� = �� + �(�、�是常数，� ≠ 0)的图像经过第一、二、四象限，那么�、�应满足的条件是( ) A. � > 0，且� > 0 B. � < 0，且� > 0 C. � > 0，且� < 0 D. � < 0，且� < 0 2.已知四边形����中，��与��交于点�，��/ ​ /��，那么下列命题中错误的是( ) A.如果�� = ��，�� ⊥ ��，那么四边形����是菱形 B.如果�� = ��，�� ⊥ ��，那么四边形����是菱形 C.如果�� = ��，�� = ��，那么四边形����是矩形 D.如果�� = ��，�� = ��，那么四边形����是矩形 3.用换元法解方程 2��2+1 − �2+1 � + 1 = 0 时，如果设 � �2+1 = �，那么原方程可变形为( ) A. 2�2 + � − 1 = 0 B. �2 + 2� − 1 = 0 C. �2 − 2� + 1 = 0 D. 2�2 − � + 1 = 0 4.下列关于向量的等式中，正确的是( ) A. �� + �� = 0 B. �� − �� = 0 C. �� + �� = 0 D. �� + �� = 0 5.上海市 16 个区共约 1326 条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为 9 千米的“健身步道”行走，甲 的速度是乙的 1.5 倍，甲比乙提前 15 分钟走完全程，如果设乙的速度为�千米/时，那么下列方程中正确的 是( ) A. 9�− 9 1.5� = 15 B. 9 1.5�− 9 � = 0.25 C. 9 1.5�− 9 � = 15 D. 9 � − 9 1.5� = 0.25 6.已知，如图，在梯形����中，��/​ /��，�� = ��，�� ⊥ ��，�� = �，�� = �.有以下两个说法：① 梯形����的面积= 14 �+ � 2；②梯形����的周长= �+ � + 2 �2 + �2 ；对这两种说法的判断正确的 是( ) 第 6题 第 12题 第 14题 A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②均正确D. ①、②均错误 二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。 第 2页，共 6页 7.一个多边形的内角和是 720 ∘，这个多边形的边数是 ． 8.一次函数� = � − 3 的图像在�轴上的截距是 ． 9.已知菱形的边长为 13��，一条对角线长为 24��，那么菱形的面积为 ��2． 10.矩形的两条对角线的夹角为 60 ∘，较短的边长为 6��，则对角线长为 ��． 11.数学小组在探究直线� = � − 1 � + 3 − 2� � ≠ 1 时发现：无论�取什么值，该直线始终会经过同一个点 �，那么点�坐标是 ． 12.已知：如图．正方形����的边长为 3��，点�是边��上一点，��与对角线��交于点�，如果�� = ��， 那么线段��长为 ��． 13.随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购 买�、�两种型号的充电桩，已知�型充电桩比�型充电桩的单价多 0.4 万元，且用 10 万元购买�型充电桩与 用 12 万元购买�型充电桩的数量相等．设�型充电桩的单价是�万元，那么根据题意可列方程 ． 14.已知：如图，点�、�分别是双曲线� = 2�在第一象限内分支上的两点，�� = 2��.过点�作�轴的平行线， 过点�作�轴的平行线，两线交于点�，连接��.如果∠��� = 63 ∘，那么∠���等于 度． 15.如图，已知菱形����的边长是 4，∠� = 60 ∘，�、�是边��、��的中点，�、�是线段��、��的中点， 那么�� = ． 第 15题 第 16题 16.如图是一张矩形纸片����，点�是对角线��的中点，点�在��边上，把△ ���沿直线��折叠，使点� 落在对角线��上的点�处，连接��，��.若�� = ��，则∠��� = 度． 三、解答题：本题共 10 小题，共 68 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 4 分) 解方程： � + 1 + � = 5． 第 3页，共 6页 18.(本小题 4 分)解方程组：{ �2 + 4�� + 4�2 = 9 �2 + �� = 0 ． 19.(本小题 4 分)解分式方程：2�+1�−1 − 1 = 6 �2−1． 20.(本小题 6 分) 【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形����中，�� < ��，∠�为锐角．在 对角线��上如何确定点�、 方案 1 ∶分别作��平分∠���, ��平分∠���，交 ��于点�、�． �的位置，使四边形����为平行四边形？ 方案 2 ∶取��的两个三等分点�、�． 方案 3 ∶在��上任意取一点�，连接��，再以� 为圆心，��长为半径画弧，交��于点�． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图 1 中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 第 4页，共 6页 21.(本小题 8 分)如图，点�、�、�、�分别是四边形����的边��、��、��、��的中点． (1)如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量�� 相等的向量是______； (2)设�� = � ，�� = � ，�� = � .试用向量� ，� 或�表示下列向量：�� =______；�� =______． (3)求作：�� − �� . (请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论) 22.(本小题 7 分)如图，菱形����的对角线��，��相交于点�，�是��的中点，点�，�在��上，�� ⊥ ��， ��//��． (1)求证：四边形����是矩形； (2)若�� = 10，�� = 4，求��和��的长． 23.(本小题 7 分) 某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中�种桂花树苗的价格为每株 75 元，� 种桂花树苗的价格为每株 100 元，如果购买这两种桂花树苗共 45 株，其中�种桂花树苗的数量不超过�种 桂花树苗数量的 2 倍．设购买�种桂花树苗�株，购买�、�两种桂花树苗的总费用是�元． (1)求�关于�的函数关系式； (2)根据(1)的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 第 5页，共 6页 24.(本小题 8 分)如图，在梯形����中，��/​ /��，��与��交于点�，且�� = ��． (1)求证：�� = ��； (2)设�� = � ，�� = � ，当�� = 2��时，试用向量� 、� 表示向量�� ． 25.(本小题 10 分)综合与探究 如图，已知直线�1：� = 2 3 � + 8 3与直线�2：� =− 2� + 16 相交于点�，直线�1，�2分别与�轴于点�，�． (1)求△ ���的面积． (2)点�(�, 0)是�轴上一动点，过点�作�轴的垂线，分别交直线�1，�2于点�，�.当�� = 2��时，求�的值． (3)过点�作�轴的垂线，交直线�1于点�，过点�作�轴的平行线，交直线�2于点�，是否存在一点�，使以�， �，�，�为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点�的坐标；若不存在，请说明理由． 第 6页，共 6页 26.(本小题 10 分) 如图，在矩形����中，�� = 3, �� = 7, �是边��的中点，点�在边��上，连接��并延长，交射线��于点�， 过点�作��的平行线，分别交边��与射线��分别于点�、�． (1)如果点�与点�重合时，求����的值； (2)如果四边形����是菱形，求这个菱形的面积； (3)连接��、��，当�� = ��时，求��的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：一次函数、是常数，的图像经过第一、二、四象限， ，， 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了命题的真假、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质进行逐项分析，选出错误的一项，即可作答． 【详解】解：如图： ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形 故A选项是正确的； ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形 故B选项是正确的； ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 故C选项是正确的； ，， 无法证明 无法证明四边形是平行四边形 故D选项是错误的； 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解： 设 则 去分母，得 故选：． 4.【答案】  【解析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：．，故该选项不正确，不符合题意；     B.，故该选项正确，符合题意；     C.，故该选项不正确，不符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 5.【答案】  【解析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：． 故选：． 6.【答案】  【解析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点， 在梯形中，，， ，， ，， ，即 同理可得， 梯形的面积； ，， 梯形的周长． 故选：． 7.【答案】 六  【解析】本题考查了多边形内角和定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键．根据边形内角和定理，列方程解答即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数的图象与轴相交于，即为此函数在轴上的截距． 先根据一次函数的解析式判断出的值，再根据一次函数的性质进行解答． 【详解】解：一次函数中， 此函数图象在轴上的截距是． 故答案为：． 9.【答案】  【解析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．先根据菱形的性质求出，然后利用勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】如图：先证为等边三角形，即可求得对角线的一半，然后可求对角线长度． 【详解】解：如图：设对角线的交点为， 矩形的对角线互相平分，矩形的两条对角线夹角为， 为等边三角形， 对角线的一半为， 对角线长度为． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以 解得 所以， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 先证明，得到，设，则，从而求得，，再用勾股定理求出值，即可求解． 【详解】解：正方形， ，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得：或， 经检验，是原方程的解也符合题意，是原方程的解，但不符合题意，舍去， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，根据题意设，，得到，用待定系数法求得直线的解析式，代入点横坐标，得到其纵坐标为，推出轴，结合题意可推出四边形是矩形，然后根据等腰三角形性质和三角形外角定义，结合，推出，最后根据轴，得到，从而推出，即可得到答案． 【详解】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，如图所示      点、在双曲线上， 设点坐标为，点坐标为 轴，轴 点坐标为 设直线的解析式为： ，即 直线的解析式为： ，交于 点的横坐标为，且点在上 ，即点的坐标为 ， 轴 轴，轴，轴 ，， 四边形是平行四边形 又轴 平行四边形是矩形 ， 又， 轴 ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形，则，由点是的中点得到，由勾股定理得到，证明是的中位线，即可得到． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 、是线段的中点， 是的中线， ， 故答案为： 16.【答案】  【解析】解：在矩形中，设，则， 设与的交点为，则， 则， ，． 连接，则， ， ，， ， ． ，即， ． 故． 17.【答案】解： 或 ，， 经检验，是原方程的根，是增根，舍去， 原方程的解为：．   【解析】本题考查解无理方程，熟练掌握解无理方程的方法是解题的关键． 先变形为，再两边平方化成整式方程求解，然后检验把增根舍去，即可求解． 18.【答案】 由得：， ， 由得：， ，， 即原方程组化为： 解得： 所以原方程组的解为：．   【解析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可． 19.【答案】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，是分式方程的增根，舍去， 故原方程的解为．  【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 20.【答案】【小题】 解：方案和正确； 选择方案证明： 如图所示：    四边形是平行四边形， 平分平分， ， 在和中， ，， 所以四边形为平行四边形． 方案证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ，， 所以四边形为平行四边形． 方案证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， 无法得到四边形为平行四边形． 【小题】 解：方案：在  上取点 、 使得    ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ， 所以四边形为平行四边形．   21.【答案】； 、是、的中点，、是、的中点， 、，、， ，且， ， 故答案为：； ；； 由图知， 则， 故答案为：、； 如图所示： ．  22.【答案】证明：由四边形为菱形可知：点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形 ， 平行四边形为矩形． 解：由条件可知：， ，， 在中，． 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， ， ． 故答案为：，．  23.【答案】【小题】 解：由题意可得， 即与的函数关系式为； 【小题】 购买种树苗的数量不超过种树苗的数量的倍， ， 解得，， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时， 答：购买种树苗棵；种树苗棵时费用最少，最少费用为元．   24.【答案】【小题】 证明：， ，， ， ． 【小题】 ，， ，   25.【答案】解：令直线中，则， 解得，， ； 令直线：中，则， 解得，， ， ． 联立直线、的解析式成方程组，， 解得， 交点的坐标为 ． 当时，， ， ， ， ， 解得，； 当时，， ， ， ， ， 解得，， 当时，不存在， 综上所述，的值为或； 解：，且轴，点在上， ， ， 同理可得：， 又， 设 当，为对角线，，的交点重合，即对角线的交点， 的中点坐标为，即，则有： ， 解得，，， 所以，点坐标为； 当，为对角线时， 的中点坐标为，即，则有： ， 解得，，， 所以，点坐标为； 当，为对角线时， 的中点坐标为，即，则有： ， 解得，，， 所以，点坐标为． 综上所述，存在这样的点坐标为或或．  26.【答案】【小题】 解：如图： 四边形是平行四边形， 为的中点， ． 【小题】 解：如图： 由得，四边形是平行四边形， 设，则 因为四边形是菱形 在中 解得： ． 【小题】 解： 若为平行四边形时； 由得， ， 解得， ； 若为等腰梯形时； ， 解得， ．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025上海市沪教版八年级下册期末提优卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果一次函数、是常数，的图像经过第一、二、四象限，那么、应满足的条件是(    ) A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 2.已知四边形中，与交于点，，那么下列命题中错误的是(    ) A. 如果，，那么四边形是菱形 B. 如果，，那么四边形是菱形 C. 如果，，那么四边形是矩形 D. 如果，，那么四边形是矩形 3.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为(    ) A. B. C. D. 4.下列关于向量的等式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.上海市个区共约条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的倍，甲比乙提前分钟走完全程，如果设乙的速度为千米时，那么下列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，如图，在梯形中，，，，，有以下两个说法：梯形的面积；梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是(    ) 第6题 第12题 第14题 A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 、均正确 D. 、均错误 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是          ． 8.一次函数的图像在轴上的截距是          ． 9.已知菱形的边长为，一条对角线长为，那么菱形的面积为          ． 10.矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为          ． 11.数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是          ． 12.已知：如图．正方形的边长为，点是边上一点，与对角线交于点，如果，那么线段长为          ． 13.随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买、两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价多万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等．设型充电桩的单价是万元，那么根据题意可列方程          ． 14.已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接如果，那么等于           度． 15.如图，已知菱形的边长是，，、是边的中点，、是线段的中点，那么           ． 第15题 第16题 16.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则           度． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：． 18.本小题分解方程组：． 19.本小题分解分式方程：． 20.本小题分 【阅读材料】 老师提出的问题 同学们的方案 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案取的两个三等分点、． 方案在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图中画出图形，并说明理由； 除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 21.本小题分如图，点、、、分别是四边形的边、、、的中点． 如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是______； 设，，试用向量，或表示下列向量：______；______． 求作：请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论 22.本小题分如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求和的长． 23.本小题分 某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中种桂花树苗的价格为每株元，种桂花树苗的价格为每株元，如果购买这两种桂花树苗共株，其中种桂花树苗的数量不超过种桂花树苗数量的倍．设购买种桂花树苗株，购买、两种桂花树苗的总费用是元． 求关于的函数关系式； 根据的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 24.本小题分如图，在梯形中，，与交于点，且． 求证：； 设，，当时，试用向量、表示向量． 25.本小题分综合与探究 如图，已知直线与直线：相交于点，直线，分别与轴于点，． 求的面积． 点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，当时，求的值． 过点作轴的垂线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26.本小题分 如图，在矩形中，是边的中点，点在边上，连接并延长，交射线于点，过点作的平行线，分别交边与射线分别于点、． 如果点与点重合时，求的值； 如果四边形是菱形，求这个菱形的面积； 连接、，当时，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$