精品解析：2025届甘肃省天水市麦积区新梦想高考复读学校高三考前模拟预测数学试题A

新梦想高考复读学校2025年高三考前模拟卷 数学A卷 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线性质直接得解. 【详解】双曲线的焦点位于轴，且，， 所以其渐近线方程为， 故斜率为， 故选：B. 2. 已知复数，其中，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，利用复数的乘、除法运算求出复数，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】由，则， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解. 【详解】已知单位向量，，故由得， 故，即，因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D． 4. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得. 【详解】由题意：， 解得，A错误， 所以平均数为，故D错误； 众数为，故B错误； 因为，第百分位数估计为，故C正确； 故选：C 5. 若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得. 【详解】由，有， 令，即，故， 即，即，则， 当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答. 【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足； 当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足. 故选：C 7. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下底面边长和侧棱，可求出正四棱台的高，再由体积公式计算可得结果. 【详解】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示： 依题意可得， 因此可得， 所以其体积为. 故选：B 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有：，，， 所以，又因为，即，， 可得：，解得，故离心率为． 故选：B． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 10. 设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在有且仅有1个最小值点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意根据在区间，有3个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，，再用表示周期，得的范围． 【详解】画出函数大致图象如图所示， 当时； 又， 所以时在轴右侧第一个最大值区间内单调递增， 函数在，仅有3个零点时，则的位置在之间（包括，不包括， 令，则得，， 轴右侧第一个点横坐标为，周期， 所以， 即，解得，所以错误； 在区间，上，函数达到最大值和最小值， 所以存在，，满足，所以正确； 由大致图象得，在内有且只有1个最小值，正确； 因为最小值为，所以时，，， 所以时，函数不单调递增，所以错误． 故选：AB 【点睛】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键． 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 的最大值是 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A选项正确； B选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误； C选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，C选项错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 14. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出P． 【详解】抛物线的焦点，设直线：，点，， 由，消去得，则，， ，即， ， ，则，因此， 所以， 故答案为：4． 四、解答题（共5小题，共77分；请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前项和公式求解即可; (2)裂项求和后解不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为, 因为成等比,所以,即得 化简得,又因为,所以. 因为,所以,即得 解得或者 当时, 不合题意舍; 当时, ,则, 【小问2详解】 因为 当时, 由题得,化简得, 即, 解得,又因为,所以, 所以 16. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，平面平面，点是棱上的一点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以. 因为，由余弦定理得， 解得. 因为，所以， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以， 连接，在正方形中，，又平面， 所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明线线垂直，再结合已知的面面垂直，从可证明线面垂直和线线垂直； （2）利用空间垂直关系建立空间直角坐标系，再利用空间向量的运算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，， 所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 所以. 设平面的一个法向量为，又，， 所以，令，解得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，又， ，所以，令， 解得，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8． （1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量 汽车日流量 合计 的平均浓度 的平均浓度 合计 （2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差． ①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值； ②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1） 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中． 相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性． 【答案】（1）列联表见解析，至少有的把握； （2）① 0.84，有价值；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果. （2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值. 【小问1详解】 列联表如下： 汽车日流量 汽车日流量 合计 的平均浓度 16 8 24 的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关， 因为， 所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”． 【小问2详解】 ①因为回归方程为，所以， 又因为，， 所以． 与有较强的相关性，该回归方程有价值． ②，解得 而样本中心点位于回归直线上， 因此可推算. 18. 已知双曲线E：，且四点，，，中恰有三点在E上． （1）求双曲线E的标准方程； （2）如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且． （ⅰ）证明：Q，O，R三点共线； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）证明：由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ：， 则，故， 把代入E：得：， 由题知，设，，则，， 则 ， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， （ⅱ）4 【解析】 【分析】（1）根据双曲线对称性，、关于轴对称，必都在双曲线上.又因第一象限双曲线“上升”，判断不在双曲线上，确定、、在双曲线上.将这三点坐标代入双曲线标准方程，解方程组得出、的值，进而得到双曲线方程. （2）（i）设直线方程，由到直线距离得出与关系.联立直线与双曲线方程，根据韦达定理得到、表达式，进而求出，算出，得，同理，所以，，三点共线. （ii）由，推出，得到.面积是面积的倍，，利用均值不等式求出面积最小值. 【小问1详解】 由题，点，，，中恰有三点在E上， 根据双曲线的对称性，点，都在双曲线上， 又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点不在双曲线E上， 所以点，，为双曲线上的点， 代入得解得，， 所以E的标准方程为E：． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为，，所以，所以， 所以， 由（ⅰ）知，， 又， 当且仅当时等号成立，所以， 所以面积的最小值为4． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）在处取得极小值，无极大值 （2） （3） 证明：先证， 设，则， 所以在区间上单调递减， 所以，即， 所以， 再证， 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以，，， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以， 记，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 又， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新梦想高考复读学校2025年高三考前模拟卷 数学A卷 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 双曲线的渐近线方程的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 5. 若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在有且仅有1个最小值点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 的最大值是 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，则________． 13. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 14. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则_____． 四、解答题（共5小题，共77分；请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 16. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，平面平面，点是棱上的一点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8． （1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量 汽车日流量 合计 的平均浓度 的平均浓度 合计 （2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差． ①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值； ②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1） 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中． 相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性． 18. 已知双曲线E：，且四点，，，中恰有三点在E上． （1）求双曲线E的标准方程； （2）如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且． （ⅰ）证明：Q，O，R三点共线； （ⅱ）求面积的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $