湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（一）数学试题

2025年邵阳市高考信息卷（一） 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”中，平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，O为正方形的中心，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有. 则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ） （1）为； （2）为； （3）若，则为； （4）若为，则也为（为自然对数的底数）. A. （1）（4） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （2）（3） 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 B. 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，则 10. 设函数，则（ ） A. 当时，方程有三个实根 B. 存在实数，使恒成立 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，的图象关于点对称 11. 有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点到直线的距离的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 13. 已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则_____. 14. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，过直线上一点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交轴于A，B两点，则外接圆的面积的最小值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校高三年级为了让学生缓解学习压力，设计了A，B，C，D四款有趣智力游戏，每名学生每次可以从这4款游戏中等可能地选取一款，且任意两名学生的选取互不影响. （1）若甲同学连续3次选取游戏，记甲同学选取款游戏的次数为，求的分布列和数学期望； （2）若有甲、乙、丙、丁4名学生同时选取游戏，求在恰有3名学生选取款游戏的条件下甲同学选取款游戏的概率. 16. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，证明：恒成立； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 18. 通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， （1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： （2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 19. 如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，. （1）求证：点为线段的中点； （2）若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面. （3）设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围. 2025年邵阳市高考信息卷（一） 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 当时，，. 令，，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. . . 当时，在上恒成立. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）是，2 【19题答案】 【答案】（1）过作交于点，连接. ，，平面，. ，为的中点. 在梯形中，，∴梯形为等腰梯形. 又，为线段的中点. （2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接. 在等腰梯形中，，. .又，∴四边形为平行四边形， . 为直线与所成角（或补角）， ，. 在中，，. 由余弦定理得：，得： ，解得，或（舍）， 在中，，，，. . 二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角， 平面平面. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $