精品解析：四川省成都市棕北中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

四川省棕北中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含答案解析） 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡 一、选择题（共8小题） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知一次函数图象向右平移个单位长度后经过一、二、四象限，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 下列命题是真命题是（ ） A. 若，则 B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 6. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ） A. B. C D. 8. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 二、填空题（共5题） 9. 因式分解：______． 10. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 11. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则________． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 13. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，则的长为______． 14. 分解因式：________． 15. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 16. 如图，在等腰直角中，，，点为斜边的中点，点为线段上一点，连接，在上取点，连接、，若，且，则线段的长为_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为__________． 18. 如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为_______． 三、解答题（共5题） 19. （1）解方程：； （2）解不等式组： 20. 先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 21. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1cm；②所画图中不用标注顶点字母） （1）在图1中，画出将△ABC水平向右平移2cm的格点三角形． （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形． （3）在图3中，画出一个以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 23. 如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标． 四、解答题（共3题） 24. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求最多可以买多少捆A种菜苗； （3）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 25. 综合与探究． 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点是边上一点（），连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到． （1）连接，试判断的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）希望小组受此启发，如图2，在线段上取一点，连接，使得，连接，发现和有一定关系，猜想两者的数量关系，并说明理由； （3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现，，三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由． 26. 如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省棕北中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含答案解析） 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡 一、选择题（共8小题） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可一一判定． 【详解】解： ，，，， 选项A、B、C正确，选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键． 3. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得，当点B的对应的D恰好落在上时，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角； 根据旋转的性质可得，，然后根据等边对等角计算即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得， ∴，， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象向右平移个单位长度后经过一、二、四象限，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据平移的规律确定平移后的直线的解析式为，再根据经过一、二、四象限，得出即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位长度， 平移后的直线的解析式为：， ∵经过一、二、四象限，， ∴， 解得： 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质依次判断． 【详解】解：A、若，则，错误，故不是真命题； B、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高重合，错误，故不是真命题； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故不是真命题； D、一个正多边形的内角和为，则这个正多边形是六边形，它的一个外角等于，正确，是真命题； 故选：D． 【点睛】此题考查了真命题：正确的命题是真命题，熟练掌握不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质是解题的关键． 6. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种， ∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 7. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，弄清题意、确定等量关系成为解题的关键 设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人， 根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点性质和翻折性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据翻折性质得到，根据等边三角形性质得到，根据三角形内角和定理得到． 【详解】∵D是中点， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵等边中，， ∴中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形，折叠，等腰三角形，三角形内角和等．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形性质，折叠图形全等的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形外角性质． 二、填空题（共5题） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先整理原式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 10. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集． 【详解】解：由图象得：两条直线的交点坐标为， ∵当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 11. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰直角三角形的选择，由题意得，，即可求解； 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴ 故答案为： 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，由作图可得，为的角平分线，得，由平行四边形的性质得，即得，可得，即可得，掌握角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，，为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 分解因式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到a的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围求得a的可能值即可． 【详解】解： 由，解得， 由，解得， 则不等式方程组的解为，， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴，解得， 去分母得，， 去括号、移项得，， 系数化为1得，， ∵为分式方程的增根， ∴，解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴当时，； 当时，，舍去； 当时，舍去； 当时，； 则所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角中，，，点为斜边的中点，点为线段上一点，连接，在上取点，连接、，若，且，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，作于，证明得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，作于，作于， ∴， ∵即，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识点．正确作出辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，，，，点是的中点，可求出点的坐标，分类讨论，①如图所示，当；②如图所示，当点与点重合时；③如图所示，当；图形结合，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴，则， ①如图所示，当，过点作轴于， ∵轴，轴，四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，，且， ∴， ∴； ②如图所示，当点与点重合时， ∵，， ∴中，， ∵， ∴，符号题意， ∴； ③如图所示，当，过点作轴于， ∴在中，，且， ∴， ∴； 综上所述，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形的变换与点的坐标的综合，理解题意，掌握等腰三角形的性质，勾股定理求边长，平行四边形的性质，点坐标的表示是解题的关键． 18. 如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E，利用旋转的性质得到，证明得到，再由三线合一定理得到，证明四边形是矩形，得到，利用三角形面积公式得到，则，由勾股定理可得，，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E， ∵将边绕点B逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三线合一定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共5题） 19. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和不等式组，注意分式方程求解需要检验． （1）按照分式方程求解步骤求解即可； （2）根据解不等式组求解步骤进行求解即可． 【详解】解：（1）， 两边同时乘得：， ， 检验，时，， ∴是原方程的解； （2）， 解：由①得：， ， 由②得：， ， ， ∴不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式混合运算法则化简，再选择使分式有意义的a值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ，， ， 当时，原式． 21. 图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1cm；②所画图中不用标注顶点字母） （1）在图1中，画出将△ABC水平向右平移2cm的格点三角形． （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形． （3）在图3中，画出一个以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析（答案不唯一） （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，作图即可，如图1； （2）根据成轴对称可知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）；②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）； （3）根据中心对称的定义，作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3． 【小问1详解】 解：由题意知，向右平移2cm，如图1， 【小问2详解】 解：由题意知，分两种情况作图，①以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（1）； ②以边为公共边的，与△ABC成轴对称的格点三角形，如图2（2）； 【小问3详解】 解：依题意作以点C为对称中心，与△ABC成中心对称的格点三角形，如图3， 【点睛】本题考查了格点三角形，图形的平移，轴对称，中心对称等知识．解题的关键在于对平移，成轴对称，中心对称知识的熟练掌握． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明； （2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 解： 如图所示：连接AC，交BD于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积为：． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键． 23. 如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）直线：；直线： （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点C坐标，设设，，根据平行四边形的性质，分为对角线和为对角线两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得，则， ∴直线：； 将代入中，得，则， ∴直线：； 【小问2详解】 解：令，则，∴， 设，， 如图，∵， ∴点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况： 若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴； 若为对角线，则平行四边形中，， 解得，则， ∴， 综上，满足条件的点Q坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 四、解答题（共3题） 24. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．求最多可以买多少捆A种菜苗； （3）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1）20元 （2）50 （3）2250元 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场价格为元，根据题意，得，解得． （2）设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，根据题意，得，结合m是正整数，解答即可． （3）设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，本次购买一共花费W元,根据题意，得，结合一次函数的性质,随m的增大而减小，确定当时，费用最低，此时费用为2250元． 本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握三种应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场价格为元， 根据题意，得， 解得； 经检验，是原方程的根， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． 【小问2详解】 解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆， 根据题意，得， 解得, 又m是正整数， 故最多可以购买50捆． 【小问3详解】 解：设最多可以购买m捆A种菜苗，则购买B种菜苗为捆，本次购买一共花费W元,根据题意，得， 根据一次函数的性质,得随m的增大而减小， ∴当时，费用最低，此时费用为， 答：最低费用2250元． 25. 综合与探究． 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点是边上一点（），连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到． （1）连接，试判断的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）希望小组受此启发，如图2，在线段上取一点，连接，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由； （3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现，，三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识． （1）根据旋转的性质即可求解； （2）由，，可得，再证明即可求解； （3）根据题意得，由旋转得，，进而得：在中，，结合，即可求解． 【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下： 如图1，由旋转得，， ， ， 为等腰直角三角形； （2）．理由如下： ，， ， ， 又，， 在和中，, ． ． （3）．理由如下： ，， ． 由旋转的性质可知，， ． 在中，． 又， ． 26. 如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接． （1）求证：平分； （2）若，求长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据旋转性质得出，推出，由四边形是矩形可得，得出，从而得到，可证得结果； (2) 作于点G，设与交于点M，先证明，得到，由勾股定理求出，再计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：因为旋转，所以 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴平分 【小问2详解】 作于点G，设与交于点M， 又∵， ∴， ∵平分． ∴，又，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确得出全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$