精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2024-2025学年高三三模数学试题

华东师大三附中2024学年第三次模拟检测 高三数学试题 命题：陆敏杰 审题：陆小红 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1－6每题4分，7－12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 2. 复数的虚部是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即得. 【详解】， 故复数的虚部是. 故答案为： 3. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 4. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得，故， 所以展开式中常数项为. 故答案为：. 5. 若，，且，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 6. 圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱轴截面可求得圆柱的半径和高，即可求得圆柱表面积. 【详解】由圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形可知， 该圆柱上底面直径为4cm，半径为2cm，高为4cm； 根据圆柱表面积公式可得. 故答案为：. 7. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 8. 已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数与方程的计算公式直接计算. 【详解】设初始的个数据分别为，，，， 则，， 加入一个数据后，平均数， 方差为， 故答案为：. 9. 若成等比数列，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算公式，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 10. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可确定当最小时，最小，则最小，继而设，表示出，结合二次函数性质求最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知的圆心为，半径为2， 如图，，则， 而，当最小时，最小，则最小； 由于P在抛物线上，设， 则， 当时，取最小值8，即取到最小值， 则取最小值2，故的最小值为4， 故答案为：4 11. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 12. 已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得在以为焦点的椭球上，由，可知在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，进而求得截面圆得半径，根据为焦点过的椭圆方程计算求得点坐标，利用两角和的正切公式计算即可得出结果. 【详解】因为，与的周长均为10， 所以=6 ，=6 ， 所以在以为焦点的椭球上， 因为， 所以在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，则， 所以三棱锥的体积为， 所以，又因为， 所以， 解得：， 由题意，设以为焦点过的椭圆的标准方程为， 设代入解得， 所以 . 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13－14每题4分，15－16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案． 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可． 【详解】对于A选项：举反例可知不成立； 对于B选项： 举反例可知不成立； 对于C选项：， 因为，所以，而且不同时为0， 故，即，正确； 对于D选项： 举反例可知不成立； 故选：C． 14. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 15. 已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 16. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【答案】（1） 由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 18. 如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 19. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【答案】（1）可以，万元 （2）选择方案二 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将数据代入相关系数公式，求出的值，可得出结论，再将代入经验回归方程，可得出结果； （2）计算出方案一、二中实际付款金额，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. 【小问2详解】 设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 略 21. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【小问1详解】 由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 ①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大三附中2024学年第三次模拟检测 高三数学试题 命题：陆敏杰 审题：陆小红 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1－6每题4分，7－12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则______． 2. 复数的虚部是______． 3. 已知，则________． 4. 展开式中的常数项为__________. 5. 若，，且，则的最小值为______． 6. 圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 7. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 8. 已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 9. 若成等比数列，则实数__________. 10. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 11. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 12. 已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13－14每题4分，15－16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案． 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 15. 已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 18. 如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 19. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 21. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $