精品解析：河南省郑州市六校2024-2025学年高二下学期第二次联考（5月）数学试题B卷

2025年春期六校第二次联考B卷 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ） A. 第2次投篮命中 B. 第3次投篮未命中 C. 前3次投篮均未命中 D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的意义即可判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中. 故选：D. 2. 已知正项等比数列的前项和为，其中，，则公比的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用等比数列的前n项和公式求公比即可. 【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得， ，因为为正项等比数列，所以. 故选：A 3. 3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（ ）种. A. 6 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算可得. 【详解】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种. 故选：C 4. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出，再代入等差数列前项和公式即可. 【详解】由题意得， 所以，则. 故选：B. 5. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断单调区间，再依据区间单调性、极值点定义判断各项的正误. 【详解】由图象知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，因为，所以，不正确； 对于B，C，由单调性知：为极大值点，为极小值点，B不正确，C正确； 对于D，由于，则，不是最小值，不正确. 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再结合参变分离即可求解. 【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，，所以，即， 故实数的取值范围为. 故选：D. 7. 人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：B． 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对已知等式变形，构造函数，利用其单调性得出与的关系，再将转化为关于的函数，最后通过求导分析函数的单调性来确定其最大值. 【详解】由，可得，， 令，可得，所以在单调递增， 因为，可得，即，则， 令，，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，可得，所以的最大值为. 故选：C. 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）． A. 将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B. 盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C. 某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D. 从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【解析】 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 10. 数列的前项和为，且，则（） A. B. 数列为等差数列 C. D. 数列为单调递减数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给递推公式令求出，当时作差得到，即可求出的通项公式，即可判断；结合等差数列的定义可判断B；再根据等比数列求和公式判断C． 【详解】因为①， 当时,，所以， 当时,②， ①－②得，所以，经检验当时也成立，所以， 则，所以，即，故A错误，D正确； 又是以为首项，为公比的等比数列，则， 故数列是公差为的等差数列，故B正确； ，所以，即C正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数只有1个零点 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调性可判断AC，根据单调性判断B，转化为，交点问题，数形结合判断D. 【详解】由得：， 由得：，由得：， 所以在单调递减，在单调递增，只有极小值，无极大值， 当恒有，当恒有，且，故A不正确，C正确： B：在单调递增，又，故，故正确； D：方程，即有一根为， 令．则， 令得：或， 令得：， 所以在和单调递增，在单调递减， ， 作出，的图形如图所示： 所以存在时有3个实数解，此时有4个实数解，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，的系数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项求对应项系数，结合已知列方程求参数即可. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得. 故答案为： 13. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若，则，，. 【答案】8186 【解析】 【分析】根据求出概率，再乘以总数即可. 【详解】由题得，，则，， 则 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）. 故答案为： 14. 若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上有2个不同的实数根，令，利用导数求得的单调性和最小值，进而求得实数的取值范围. 【详解】由， 因为函数具有“凹凸趋向性”时，则在上有2个不同的实数根， 当时显然不成立，则问题等价为在上有2个不同的实数根， 令，可得， 令，可得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，且时，， 且当时，，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知二项展开式. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）应用赋值法求及奇数项系数和即可. 【小问1详解】 令，得； 【小问2详解】 令，得①， 令，得②， 由①②可得. 16. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有，此外还有五张字母牌，正面标有，将这十三张牌随机排成一行. （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用古典概型和排列数的计算公式结合插空法求解即可； (2)利用古典概型和排列数的计算公式结合题意，先排字母牌，再排1-7求解即可； 【小问1详解】 记五张字母牌互不相邻为事件为， 五张字母牌互不相邻采用插空法共有种排法， 则. 【小问2详解】 记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有8的牌的右侧，所以先排字母牌共有种排法，剩余位置最左侧放标有8的卡牌，剩余标的牌全排列共有种排法，所以. 17. 已知数列的前项和为，若，. （1）求； （2）记，数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，则，即， 所以. 又因为为递增数列，所以， 故. 【解析】 【分析】（1）由关系取可求，当时，用替换，与原式相减化简可得，由此可求结论； （2）由（1）可求，由此可得，利用裂项相消法求，再证明结论. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，，且，所以. 当时，，② 由①②得，，整理得到， 所以，故， 故当时，，而也符合， 综上，当时，. 【小问2详解】 略. 18. “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进2个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，甲队踢进足球为事件，乙队踢进足球为事件． （1）求，； （2）经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为，求的概率分布列及数学期望； （3）求恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率． 【答案】（1）， （2） 0 1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出. （2）求出的可能取值范围及对应的概率，列出分布列并求出. （3）按乙队进球数为、和次分类，利用互斥事件概率的加法公式求解. 【小问1详解】 依题意，，． 【小问2详解】 依题意，的可能取值为，，， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 所以． 【小问3详解】 若乙队踢进0个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球， 其概率为； 若乙队踢进1个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球， 前3轮中不出现甲在前2轮进2球，乙在第3轮进球，其概率为； 若乙队踢进2个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球， 其概率为， 所以恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率为. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. 【小问2详解】 若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期六校第二次联考B卷 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ） A. 第2次投篮命中 B. 第3次投篮未命中 C. 前3次投篮均未命中 D. 前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 2. 已知正项等比数列的前项和为，其中，，则公比的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（ ）种. A. 6 B. 24 C. 64 D. 81 4. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）． A. 将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B. 盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C. 某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D. 从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 10. 数列的前项和为，且，则（） A. B. 数列为等差数列 C. D. 数列为单调递减数列 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数只有1个零点 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 在的展开式中，的系数为，则______. 13. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若，则，，. 14. 若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知二项展开式. （1）求的值； （2）求. 16. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有，此外还有五张字母牌，正面标有，将这十三张牌随机排成一行. （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率. 17. 已知数列的前项和为，若，. （1）求； （2）记，数列的前项和，证明：. 18. “村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进2个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，甲队踢进足球为事件，乙队踢进足球为事件． （1）求，； （2）经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为，求的概率分布列及数学期望； （3）求恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率． 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $