四川省资阳中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

资阳中学高2023级第四学期6月月考测试 数 学 试 题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 4．函数的图象如图，则函数的单调增区间是 A． B． C． D． 5．，则的值为（    ） A． B． C． D． 6、若，则（    ） A． B． C． D． 7．某单位选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）） 9．等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当时，的最小值为16 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．琴生利用业余时间研究数学，其研究的 “琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，有 B．若，有 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．记为正项数列的前项积，且.数列的通项公式是 13．若函数在取得极值，则函数的单调递减区间是 14．已知，若在上有解，则的最小值 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）某大学开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该滑雪场的季利润数据如下： 第个季度 1 2 3 4 5 6 季利润（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5 设，，根据上面的数据得到的一些统计量如下： 4.3 0.5 101.4 14.1 1.8 (1)用方程拟合该滑雪场的季利润与季度的关系，根据所给数据求出方程； (2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元； 附：线性回归方程中，，.参考数据： 16．（15分）某单位在某市定点帮扶某村户贫困户，工作组对这户村民进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 （2）为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 17．（15分）已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．（17分）某校食堂从开学第一天起，每餐只推出米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．(1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）牛顿在《流数法与无穷级数》中，给出了代数方程的数值解法：如图所示，要找到的根，即点的横坐标，先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时 比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．(1)根据牛顿迭代法，求；(2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 资阳中学高20243级高二下6月月考数学参考答案 1.【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 2.【答案】C 【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D. 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 3.【答案】B 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为， 故A错误； 对于B，，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，正确； 对于C，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于D，由，则，，故D错误. 故选：B. 4.【答案】A 【详解】分析：由图象知，先对函数进行求导，根据x=-2，x=3时函数取到极值点知，由一元二次方程根与系数关系可得：，再根据函数二次函数的性质可得解． 详解：∵，∴ 由图可知，且 由一元二次方程根与系数关系可得：，即 ∴，为开口向下的抛物线，对称轴为：. ∴函数的单调增区间是. 故选A. 5.【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、组合数的性质及应用 【分析】利用可得答案. 【详解】 ， 所以 故选：C. 6.【答案】A 【解析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意可得，进而得到，由此即可得解. 【详解】依题意， ， 令， 则， 所以函数在上单调递增； 又， 得， 又， 则， 又函数在上单调递增， 则， 即， 所以， 选项A正确，B不正确； 又无法确定与的关系， 故CD不正确； 故选：A. 7.【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】既有党员又有民主党派人士有种， 其中党员甲被选中有种， 所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为. 故选：C. 8.【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【解析】存在两对称点,,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可 【详解】由题,设两对称点,, 则,所以,即与有交点, 设与的切点为, 则切线斜率为, 又有,所以,即, 所以当与有交点时,, 故选:B 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点问题,考查数形结合思想 9.【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 10.【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意可构造函数利用导数判断其单调性可得，再构造函数，由导数可得其单调性可知，便可得出结论. 【详解】令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，则，所以，可得，即B错误，C正确； 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，即，所以，可得，即A正确，D错误； 故选：AC 11.【答案】ACD 【分析】求出并确定其正负，再由“琴生不等式”判断AB；由选项CD的信息构造函数，求出，再利用“琴生不等式”求解判断CD. 【详解】对于A，，，则在是“凸函数”， ，，A正确； 对于B，，，则在是“凹函数”， ，有，B错误； 对于C，令函数，， 函数在是“凹函数”， ， 因此，C正确； 对于D，令函数，， 在是“凸函数”， ，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据给定的信息构造函数，再利用“琴生不等式”是求解选项CD的关键. 12.【详解】（1）由可得，，即， 又因为， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； 13.【详解】分析：先求出函数的导函数，由条件在取得极值算出的值，再利用导数性质求出函数的单调递减区间 详解：已知，定义域为 则， 在取得极值， ,解得， 故，令，解得， 结合定义域可得函数的单调递减区间是和， 14.【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案. 【详解】设函数在上的零点为，则， 所以点在直线上. 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 所以， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，，所以的最小值为. 故答案为： 15.【答案】(1)； (2)第12个. 【分析】（1）根据最小二乘法可得，进而即得； （2）由，解不等式进而即得. 【详解】（1）由，先求y关于u的线性回归方程， 由已知数据得， 故， 所以y关于u的回归方程为， 故y关于x的回归方程为； （2）令，得， 所以， 故预测从第12个季度开始季利润超过6.5万元； 16.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，. 【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、完善列联表 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论； （2）根据题意可得贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户）， 则的可能值为，，，列出分布列，计算期望值即可. 【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表： 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 ． 故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关． （2）贫困指标在的贫困户共有（户）， “亟待帮助户”共有（户）， 依题意的可能值为，，， ，， ， 则的分布列为 故． 17.【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由与的关系得到数列递推式，利用等比数列定义判断并求出其通项公式即得； （2）由数列递推式构造两方程，相减即可求得通项，检验首项即得； （3）根据数列为递增数列，得到对任意恒成立，化简得对任意恒成立，即，再由解得，综合即可求得参数范围. 【详解】（1）由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. （2）由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. （3）因为， 时，则. 因为数列递增，则对任意恒成立 由，化简得， 即对任意恒成立，故 又因为，则，解得. 综上，的取值范围为. 18.【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 （2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 19.【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得； （2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式； （3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论. 【详解】（1），，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得； （2）当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即； （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 资阳中学高2023级第四学期6月月考 数学 答题卡 姓 名： 班 级： 准考证号： ) ( 贴 条 形 码 区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） ) ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] )一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） ( 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 14 ( 此区域禁止答题 ) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ( 15.（13分） ) 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分）       ■第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ 学科网（北京）股份有限公司 $$