2025年广东省潮州市六校联盟中考四模数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级综合素质测评数学科试题卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．﹣2025的倒数是（　　） A．2025 B．- C．﹣2025 D． 2．我国北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度约是12 500 000米．数据12 500 000可用科学记数法表示为（　　） A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108 3．如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A．B．C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．x8÷x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．（4x2）2＝8x4 D． 5．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　） A．14° B．44° C．46° D．74° 6．若x2﹣3y﹣5＝0，则2x2﹣6y﹣6的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 7．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 8．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠E等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若AB＝3，∠BED＝45°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．把抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得到的解析式为 　 　 ． 13．端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了3只红豆粽、2只碱水粽、2只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是　 　 ． 14．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　 　 cm． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA； ③∠MPN＝60°；④PM+PN＝BD．其中正确的是 　 　 ．（填写序号） 第14题图 第15题图 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．计算：． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC＝2BC＝8，求AD的长． 18．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c 2 （1）在以上成绩统计表中，a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，请问小明是 组的学生． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？ 20．“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证：∠A＝∠BDC； （2）若，CB＝4，求车轮的半径长． 图1 图2 21．【问题背景】 （1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求BC的长； 【问题提出与解决】 （2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数图象经过顶点D，求k的值； （3）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，请直接写出这个圆的半径． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22．综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片ABCD中，若边AB＝8，，AC与BD交于点O． ①请判断A′B′与对角线AC的位置关系，并说明理由； ②当B′D＝4时，请直接写出此时AE的长． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标； （3）点D是线段OB上一点，且△BCD的面积是12． ①求点D的坐标； ②将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′C、D′B，求D′BD′C的最小值． 第3页 （共4页） 第4页 （共4页） 第1页 （共4页） 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页（共 5 页） 2025 年广东省初中学业水平第三次模拟考试 数学试卷答案和评分标准 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．B． 2．B．3． A．4．D． 5． A． 6． A．7．C． 8．D． 9．A．10． A． 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分. 11． x≥5 ．12． y＝2（x+3）2 ．13． 3 7 ．14． 3 ．15． ①②③④ ． 三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分． 16．√4 − 2𝑠𝑖𝑛45° − (𝜋 − 3)0 + |1 − √2| 解：原式＝2 − 2 × √2 2 − 1+（√2 − 1）------------4 分 ＝2 − √2 − 1 + √2 − 1 =0 --------------7 分 17．解：（1）如图，作线段 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D， 则 AD＝BD， ∴AC＝AD+CD＝BD+CD， 则点 D 即为所求．--------------3 分 （2）∵AC＝2BC＝8， ∴BC＝4． 设 BD＝AD＝x，--------------4 分 则 CD＝8﹣x． ∵∠C＝90°， ∴BD2＝CD2+BC2， 即 x2＝（8﹣x）2+42，--------------6 分 解得 x＝5， ∴AD 的长为 5．--------------7 分 18．解：（1）a＝6；b＝7；c＝7．--------------3 分 （2）甲--------------5 分 （3）选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同，而 ， ∴乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛．--------------7 分 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分． 19．解：（1）设单枪新能源充电桩的单价为 a 元，、双枪新能源充电桩的单价为 b 元， 由题意得： ，--------------3 分 解得 ，--------------4 分 答：单枪新能源充电桩的单价为 800 元，、双枪新能源充电桩的单价为 1000 元； 第 2 页（共 5 页） （2）设原计划平均每天制作 x 个充电桩，则实际平均每天制作 1.5x 个充电桩， 根据题意得： ，--------------6 分 解得 x＝20， --------------7 分 经检验，x＝20 是所列方程的解，且符合题意．--------------8 分 答：原计划平均每天制作 20 个充电桩．--------------9 分 20．（1）证明：连接 OD， ∵AB 是车轮⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠BDO＝90°，--------------1 分 ∵CD 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥DC，∴∠ODC＝∠BDC+∠BDO＝90°，--------------2 分 ∴∠BDC＝∠ADO，--------------3 分 ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠BDC＝∠A--------------4 分 （2）解：在 Rt△ABD 中，tanA= 𝐵𝐷 𝐴𝐷 = 2 3 ∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠C， ∴△CDB∽△CAD，--------------5 分 ∴ 𝐶𝐵 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 𝐶𝐵 = 𝐵𝐷 𝐴𝐷 ，∴ 4 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 𝐶𝐵 = 2 3 ， ∴CD=6，CA=9，∴AD=9-4=5 --------------8 分 ∴𝑟 = 5 2 ，即车轮的半径长为 5 2 ．--------------9 分 21.解：解：（1）如图所示： 由题意知 GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°， ∴∠CFG＝∠B＝30°，∠A＝60°， ∴CF= √3 2 GF＝2√3，BF=2FH=4 ∴BC＝2√3+4，--------------3 分 （2）如图所示：过 D 作 DE⊥x 轴于 E， 由题意知，AB＝1．AD＝4，CF＝1，BF＝3，∠DAB＝∠ABF＝∠CFB＝∠AOB＝∠DEA＝90°， 在 Rt△BCF 中，由勾股定理得 BC＝ ＝ ， ∵∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠CBF， ∴∠BAO＝∠CBF， ∴△BAO∽△CBF， ∴ ，即 ， 解得：AO＝ ，BO＝ ， 同理△ADE∽△BAO， ∴ ，即 ， 第 3 页（共 5 页） 解得：AE＝ ，DE＝ ， ∴OE＝AO+AE＝ ， ∴D（﹣ ， ）， ∴k＝xy＝﹣ × ＝﹣ ；--------------7 分 （3）如图，取 AB 中点 E，作 EF⊥FC，取圆心 O，连接 OB，OC，则 OB＝OC， 由正方形的性质 CF＝ ，BE＝ ，EF＝4， 设 OF＝x，OE＝4﹣x， 在 Rt△COF 中，由勾股定理得：OC2＝CF2+OF2＝（ ）2+x2， 在 Rt△BOE 中，由勾股定理得：OB2＝BE2+OE2＝（ ）2+（4﹣x）2， ∴（ ）2+x2＝（ ）2+（4﹣x）2， 解得 x＝ ， ∴OC＝ ， ∴⊙O 的半径为 ，--------------9 分 五、解答题（三）：本大题共 2小题，共 27分． 22．解：（1）四边形 BEDF 是菱形；理由如下： ∵将矩形纸片 ABCD 折叠，点 B′与点 D 重合， ∴BE＝DE，BF＝DF，∠BEF＝∠DEF， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF， ∴BE＝DE＝BF＝DF， ∴四边形 BEDF 是菱形；--------------4 分 （2）①A′B′∥AC；理由如下： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OD， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴∠ACB＝30°， 第 4 页（共 5 页） ∴∠CAB＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠OBA＝∠AOB＝60°， ∴∠CBO＝90°﹣∠OBA＝30°， 由折叠的性质得：∠A′B′F＝∠ABF＝90°，FB＝FB′， ∴∠FB′B＝∠CBO＝30°， ∴∠A′B′B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠A′B′B＝60°， ∴A′B′∥AC；-------------9 分 ②AE＝ 或 ．--------------13 分 23．解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与 y 轴交于点， ∴{ 4𝑎 − 2𝑏 + 4 = 0 64𝑎 + 8𝑏 + 4 = 0，解得： { 𝑎 = − 1 4 𝑏 = 3 2 ． ∴抛物线的表达式为𝑦 = − 1 4 𝑥2 + 3 2 𝑥 + 4；--------------3 分 ①当点 P 在 BC 上方时，如图 2， ∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB， ∴点 C，P 的纵坐标相等， ∴点 P 的纵坐标为 4， 令 y＝4，则− 1 4 𝑥2 + 3 2 𝑥 + 4 = 4， 解得：x＝0（舍）或 x＝6， ∴P（6，4）；--------------6 分 ②当点 P 在 BC 下方时，如图 3， 设 PC 交 x 轴于点 H， ∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB． 设 HB＝HC＝m， ∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m， 在 Rt△COH 中， ∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2， 解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．--------------7 分 设直线 PC 的解析式为 y＝kx+n， ∴{ 𝑛 = 4 3𝑘 + 𝑛 = 0 ，解得：{𝑘 = − 4 3 𝑛 = 4 ． ∴𝑦 = − 4 3 𝑥 + 4．--------------8 分 ∴{ 𝑦 = − 4 3 𝑥 + 4 𝑦 = − 1 4 𝑥2 + 3 2 𝑥 + 4 ，解得：{ 𝑥1 = 0 𝑦1 = 4 （舍），{ 𝑥2 = 34 3 𝑦2 = − 100 9 ， ∴P( 34 3 ，− 100 9 )．--------------9 分 第 5 页（共 5 页） 综上：点 P 的坐标为（6，4）或( 34 3 ，− 100 9 )． （3）①∵S△BDC= 1 2 BD×OC＝12， ∴BD＝6，∴OD＝2，∴D（2，0）--------------10 分 ②如图，在 y 轴上取一点 M 使得 OM＝1，连接 BM，在 BM 上取一点 D′使得 OD＝OD． ∵OD′＝2，OM•OC＝1×4＝4， ∴OD′2＝OM•OB， ∴ 𝑂𝐷′ 𝑂𝑀 = 𝑂𝐶 𝑂𝐷′ ，又∵∠COD′＝∠MOD′， ∴△MOD′∽△D′OC， ∴ 𝑀𝐷′ 𝐶𝐷′ = 𝑂𝐷′ 𝑂𝐶 = 1 2 ．∴𝑀𝐷′ = 1 2 𝐶𝐷′． ∴D′B+ 1 2 D′C＝D′B+MD′＝BM，此时 D′B+ 1 2 D′C 最小（两点 间线段最短，B、M、D′共线时）， ∴D′B+ 1 2 D′C 的最小值＝BM= √12 + 82 = √65． --------------14 分