精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，是二次根式，故本选项不符合题意； B． 被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意； C． 由于，是二次根式，故本选项不符合题意； D． ，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】，故A错； ，故B错； ，C正确； ，故D错． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 3. 如图，在中，，是边上的中线且，则的长是（　　） A. 10 B. 7.5 C. 5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，直接求解即可． 【详解】解：在中，，是边上的中线且， ， 故选：A． 4. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 5. 观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：0、、、、、……， 由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：0、、、、、……， 由此发现，第n个数为， ∴第10个数据是． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 6. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由四边形是正方形与点E、F、H分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得，则问题得解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点E、F、H分别是、、的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，H是边的中点， ，故④正确； 如图，连接， 同理可得：， ， ， 垂直平分， ，故②正确； ， 同理：， ， ， ， ， ，故③正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 化简的结果为 __． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键． 9. 若，则的值是______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，偶次幂的非负性，负指数幂，掌握二次根式和偶次幂的非负性是解题关键． 根据多个非负数相加和为0，可得，，进而计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 即， 故答案为：． 10. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】x2＋62＝(10－x)2 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程. 【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2， 故答案为x2+62=(10﹣x)2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 11. 如图，长方体三条棱的长分别为7，5，5，蚂蚁从出发，沿长方体的表面爬到点，则最短路线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意并分情况讨论是解题关键．长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有两种可能，根据两点之间线段最短，结合勾股定理可求出答案． 【详解】解：当展开的长方形的长是，宽是5，路径长为； 当展开的长方形的长是，宽是7，路径长为， ∵， ∴最短的路线长为． 故答案为：． 12. 已知，正方形的边长为16，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点落在点上，延长交于，当点与的中点的距离为2时，则此时的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，分两种情况，点在点上方或下方，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得，连接，设 由折叠的性质可得：，， 在正方形中：，，， 当点在点上方时， ∵F为的中点：，， 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中，，即 解得 点在点下方时， 由题意可得：，， 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中，，即 解得 故答案为：或 【点睛】此题考查了正方形与折叠，涉及了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键． （1）先将每项化成最简二次根式，再加减，即可解答； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再加减，即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 . 14. 已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE． 【答案】 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∵E，F分别是AD，BC的中点 ∴AE = CF 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴　AD∥BC，即AE∥CF ∴　四边形AFCE是平行四边形 ∴　AF=CE 【解析】 【详解】 略 15. 已知数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据a、b在数轴上的位置，得到a、b的大小关系，再根据二次根式和绝对值的性质去化简． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得，，， ∴，，， ∴原式． 【点睛】本题考查二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简方法． 16. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 【答案】（1） 如图1所示：即为的平分线； （2） 如图2所示，为的角平分线； 【解析】 【分析】(1)作射线，由得到，由得，则，即平分； (2)连接交于点，作射线，由平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质可知为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是作图-基本作图、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质，熟知平行四边形及等腰三角形的性质是解答此题的关键． 17. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质． 首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， ∴， 根据折叠可得：， ∴，， 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先化简分式，再代值求解即可； 【详解】解：原式= = = =， 将代入得，原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】 解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 20. 如图所示，中，，、分别为、的中点，延长到，使. 求证：四边形是平行四边形. 【答案】 证明：∵D、E分别为AB、AC中点， ∴DE= BC且DE//BC ∵EF//BC ∴2DE=BC=EF ∴BC=EF ∴四边形BCFE为平行四边形. 【解析】 【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，即可证明四边形BCFE是平行四边形 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键在于判定定理 五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF. （1）求证：四边形ACEF是矩形； （2）求四边形ACEF的周长. 【答案】 （1）∵DE=AD，DF=CD， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD， ∴DE=AD=DF=CD ， ∴AE=CF， ∴四边形ACEF是矩形， （2）2+2 【解析】 【分析】（1）由DE=AD，DF=CD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACEF是平行四边形，继而由四边形ABCD为菱形，可以推导得到AE=CF，问题即可得到证明； （2） 由三角形ADC为等边三角形，得到AC=AB=1，利用矩形的性质可得∠ACE=90º，继而可得∠AEC=30º，根据30度角的直角三角形的性质可得AE=2AC=2，继而根据勾股定理求得CE长，根据矩形的周长公式即可得答案. 【详解】(1)略 (2)∵菱形ABCD， ∴∠ADC=∠B=60º，AD=AB=1， ∵AD=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=1，∠CAD=60º， ∵矩形ACEF， ∴∠ACE=90º， ∴∠AEC=30º， ∴AE=2AC=2，CE= ， ∴四边形ACEF的周长为：2(AC+CE) =2+2. 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知 ，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算可得，，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 23. 如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． （1）请判断：与的关系是___； （2）如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 【答案】（1）， （2），理由如下： 过点G作，交于的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在与中，，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴，． 【解析】 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形即可得出，； （2）构造辅助线后证明，利用对应边相等求证四边形是矩形后，利用等量代换即可求出，； （3）证明后，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 在正方形中，有，， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是边上的中线且，则的长是（　　） A. 10 B. 7.5 C. 5 D. 2.5 4. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 5. 观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（ ） A. B. C. 7 D. 6. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 化简的结果为 __． 8. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 9. 若，则的值是______． 10. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 11. 如图，长方体三条棱的长分别为7，5，5，蚂蚁从出发，沿长方体的表面爬到点，则最短路线长是______． 12. 已知，正方形的边长为16，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点落在点上，延长交于，当点与的中点的距离为2时，则此时的长为_______． 三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. 计算 （1）； （2） 14. 已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE． 15. 已知数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：． 16. 如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）： （1）在图1中，作出的角平分线； （2）在图2中，作出的角平分线． 17. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 如图所示，中，，、分别为、的中点，延长到，使. 求证：四边形是平行四边形. 五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF. （1）求证：四边形ACEF是矩形； （2）求四边形ACEF的周长. 22. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知 ，求代数式的值． 六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 23. 如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． （1）请判断：与的关系是___； （2）如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $