贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测（四）数学试卷

贵阳一中2023级高二年级教学质量监测卷（四） 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，与同向且，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 20 B. 21 C. －20 D. －21 4. 在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 8. 已知对于任意正数都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 为周期数列 11. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若三棱柱存在内切球，则 D. 若，则点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为了提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，贵阳一中校团委将安排该校的三个年级志愿服务团队在暑假期间开展“环境保护、社区服务、博物馆讲解、支教活动、寻找非遗文化、AI智能便民活动”六项活动，并对活动开展提出了如下要求，每个年级开展2项活动，每项活动只安排一个年级，则这六项活动开展的不同安排方案种数是________.（用数字作答） 13. 已知某公司加工一种芯片的不合格率为，其中，若加工后的20颗这种芯片中恰有4颗不合格的概率为，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当取最大值时，________. 14. 三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，若是中一内角，且. （1）求的值； （2）若的面积为2，中三个内角的对边分别为、、，且，求的值. 16. 2025春晚中创意融合节目机器人跳舞引起了很高的关注，跳舞人形机器人Unitree H1搭载了AI驱动的运动控制技术，具备出色的运动控制能力，能够完成复杂的动作，如原地转体、倒立转体等，展现了高精度的运动性能.为了测试某人形机器人在动态环境中捕捉执行动作的能力，命令该机器人在动态环境中执行任务，规则如下：该机器人需要依次通过5个动态环境完成关键动作，成功完成3个动作，即认为其完成任务，每个动态环境中都存在障碍物，若被阻挡则不能完成动作.机器人成功通过一个动态环境完成动作的概率为，被障碍物阻挡的概率为.每个动态环境的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个动态环境，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束. （1）若该人形机器人在过第4个动态环境后完成任务，求此事件的概率； （2）记该人形机器人在任务结束时通过动态环境的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2），，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 19. 函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：. 贵阳一中2023级高二年级教学质量监测卷（四） 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】CD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】90 【13题答案】 【答案】##0.2 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ##0.375 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）分布列如下: 3 4 5 【17题答案】 【答案】（1）证明:中，，，则有； 在中，，， 由余弦定理，，解得， 中，由余弦定理：， .        又，，所以平面，        又平面，所以平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）在和上单增，在上单减. （2）证明： 设， ， 所以要证，即证，即证， 也即证 （*）成立. 设，函数， 由（1）知在上单增，且， 所以时，，所以（*）成立，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $