专题9 探索三角形全等的条件 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

专题9 探索三角形全等的条件 期末专项训练 2024~2025学年北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 3．如图所示，已知AE=AC，∠C=∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是(　　) A．∠B=∠D B．BC=DE C．∠1=∠2 D．AB=AD 4．如图，，，则添加下列条件能使的为（　　） A． B． C． D． 5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上全等的三角形，那么这两个三角形全等的依据是(　　) A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 6． 如图， 是 的高线， 与 相交于点 . 若 ，且 的面积为 12，则 的长度为（　　） A．1 B． C．2 D．3 7． 如图， 要测量河岸相对两点 的距离， 已知 垂直于河岸 ， 先在 上取两点 ， 使 ， 再过点 作 的垂线段 ， 使点 在一条直线上， 测出 米， 则 的距离是（ ） A．10 米 B．15 米 C．20 米 D．25 米 8．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为　 　． 10．如图，在四边形ABCD中，是边BC的中点，AE平分且，若，，则　 　. 11．如图，已知，要使，只需添加一个条件：　 　（写一个即可）． 12．如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为　 　． 13．如图，在四边形中，，，点F在线段上，且，点E为的中点，若的面积为3，则的面积为　 　． 14．如图，是的平分线，于点D，于点C，则关于直线对称的三角形共有　 　对． 15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为　 　． 16．数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，现测得C，D之间的距离为，那么小口圆柱形瓶底部的内径　 　． 三、解答题 17．如图所示，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且.AE=CF，CE、BF交于点P. （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC的度数. 18．如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19．如图， CB 为∠ACE 的平分线，F 是线段 CB 上一点， CA=CF，∠B=∠E， 延 长 EF与线段 AC 相交于点 D. （1）求证： AB=FE； （2） 若 ED⊥AC，AB//CE，求∠A 的度数. 20．如图，在中，O为的中点，，直线交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 21．如图，中，，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：； （2）若，，，求AF的长． 22．已知：如图，在中，，过点C作，垂足为D．在射线上截取，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】由垂直定义得∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，结合对顶角相等及三角形内角和定理可得∠DBF=∠CAD，从而用ASA判断出△ACD≌△BFD，由全等三角形的对应边相等得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等逐项分析即可求解. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、添加，由“”可证，A不符合题意； B、添加，由“”可证，B不符合题意； C、添加，由“”可证，C不符合题意； D、添加，不能证明，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据三角形全等的判定结合题意证明即可求解。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵，∴， A．当时，，即，根据可以判定；故A符合题意； B．当时，不能判定；故B不符合题意； C．当时，不能判定；故C不符合题意； D．当时，不能判定；故D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵由题意得三角形的两角及其夹边， ∴根据可画出全等的三角形， 故答案为：D 【分析】先根据图片得到三角形的两角及其夹边，进而根据三角形全等的判定结合题意即可求解. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 的面积为 12，AD=6， ∴， ∴CD=4， ∵ 是 的高线 ， ∴∠DBF+∠C=∠DAC+∠C=90°， ∴∠DBF=∠DAC， 在和中 ∵∠DBF=∠DAC，BD=AD，∠BDF=∠ADC=90°， ∴≌， ∴FD=CD=4， ∴AF=AD-FD=6-4=2. 故答案为：C. 【分析】首先根据三角形的面积计算公式可得出CD=4，然后根据ASA可证明≌，得出FD=CD=4，进而得出AF=2. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故答案为：C 【分析】先根据垂直得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到米. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【分析】根据线段中点可得，，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用线段的和差解题即可． 10．【答案】6 【解析】【解答】解：在AD边上截取AF=AB，连接EF，如下图： ∵E是边BC的中点， ∴BE=EC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， 在△ ABE和 △ AFE中 ∴△ ABE ≌△ AFE（SAS）， ∴BE=FE， ∴BE=FE=CE， ∵∠AED=90°， ∴∠AEF+∠DEF=∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC， 在△ DEF和△DEC中 ∴△ DEF ≌ △DEC（SAS）， ∴DF=DC， ∵CD=2AB，AD=18， ∴AD=DF+AF=2AB+AB=3AB=18， ∴AB=6， 故答案为：6. 【分析】在AD边上截取AF=AB，连接EF，证明 △ ABE和 △ AFE全等，得BF=EF=CE，再证明 △ DEF和△DEC全等，得DF=DC，进而利用线段的和差即可解决问题. 11．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据平行得到，，然后根据全等三角形的判定定理添加边相等即可解题． 12．【答案】34°或80° 【解析】【解答】解：由作法可知，AD=BC，BD=AC， 又∵AB=AB， ∴△ABD≌△BAD（SSS）， ∴∠ABD=∠BAC=23°， 当点D在AB上方时， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=57°-23°=34°； 当点D在AB下方时， ∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=57°+23°=80°； ∴∠DBC的度数为34°或80°， 故答案为：34°或80°． 【分析】由作法得AD=BC，BD=AC，利用SSS证明△ABD≌△BAD，可得∠ABD=∠BAC=23°，再分两种情况：当点D在AB上方时和当点D在AB下方时，据此分别画出图形，再利用角的和差分别求解即可． 13．【答案】 【解析】【解答】解：延长DE、CB交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠G， ∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BGE中， ， ∴△ADE≌△BGE（AAS）， ∴AD＝BG，DE＝GE，S△ADE＝S△BGE＝3， ∴BC＝2AD＝2BG， ∴S△BCE＝2S△BGE＝6， ∴S△DCE＝S△GCE＝S△BGE+S△BCE＝3+6＝9， ∵DF＝3CF， ∴DC＝3CF+CF＝4CF， ∴DFDC， ∴S△DEFS△DCE9， 故答案为：． 【分析】延长DE、CB交于点G，由AD∥BC，得∠ADE＝∠G，而AE＝BE，∠AED＝∠BEG，可利用“AAS”证△ADE≌△BGE，得出AD＝BG，DE＝GE，S△ADE＝S△BGE＝3，由BC＝2AD＝2BG，得S△BCE＝2S△BGE＝6，可求得S△DCE＝9，由DF＝3CF，得DFDC，所以S△DEFS△DCE，即可解答． 14．【答案】4 【解析】【解答】解：∵ OE 是 的平分线， ∴∠AOE =∠BOE ∵ ， ， OE = OE ， ∴ △ODE ≌ △OCE（AAS) ∴∠ODE =∠OCE ，∠ OED =∠OEC ， DE = CE ∴∠ADE =∠BCE ∴ △ADE ≌ △BCE(AAS) 同理可证；△AEO ≌△ BEO，△OBD ≌ △OAC. 故答案为：4. 【分析】根据题意可知，关于 OE 对称的两个三角形全等，则问题转化为寻找图中的全等三角形； 结合已知 OE 是∠AOB 的平分线， ， ， OE = OE ，根据全等三角形的判定定理 AAS 即可得到△ODE ≌ △OCE ； 由△ODE ≌ △OCE便可以得到∠ ODE =∠OCE ，∠OED =∠ OEC ， DE = CE ，进而得到∠ADE =∠BCE ，从而得到△ ADE ≌ △BCE ； 按照上步提示得到的结论与条件，自己找出其它的全等三角形，即可得到正确答案． 15．【答案】2 【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°， ∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠C， ∵∠2=∠3， ∴∠3=∠C， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴FD=CD，AD=BD， ∵CD=6，BD=8， ∴AD=8，DF=6， ∴AF=8-6=2， 故答案为：2． 【分析】先用三角形全等的判定证明△BDF≌△ADC，再利用全等的性质求出 AF的长度 16．【答案】75 【解析】【解答】解：在△AOB和△COD中， ∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD=75mm. 故第1空答案为：75. 【分析】可通过证明△AOB≌△COD，得到对应边AB=DC，从而得出AB的长度。 17．【答案】（1）证明：∵ 三角形ABC 是等边三角形 ∴AC=CB，∠A=∠BCF=60° 在△ACE和△CBF中 ∵ ∴△ACE△CBF（SAS) ∴CE=BF （2）解：∵△ACE△CBF ∴∠CBF=∠ACE ∵∠BPE=∠CBF+∠BCP ∴∠BPE=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60° ∴ ∠BPC =180°-60°=120° 【解析】【分析】 本题主要涉及等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质。 （1）通过等边三角形的性质得出边和角的关系，再利用全等三角形的判定定理（SAS）证明两个三角形全等，从而得出对应边相等； （2）利用全等三角形的性质得到角的关系，再结合三角形内角和定理及外角的性质求出∠BPC的度数。 18．【答案】（1）证明：∵， ∴即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可； （2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可. 19．【答案】（1）证明：∵CB 为∠ACE 的角平分线， ∴∠ACB=∠FCE 在△ABC与△FEC中， ∴△ABC≌△FEC（AAS）， ∴AB=FE （2）解：∵AB//CE， ∴∠B=∠FCE， ∴∠E=∠B=∠FCE=∠ACB， ∵ED⊥AC， 即∠CDE=90°， ∴∠E+∠FCE+∠ACB=90°， 即3∠ACB=90° ∴∠ACB=30°， ∴∠B=30°， ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-30°=120° 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠ACB=∠FCE，从而由AAS判断出△ABC≌△FEC，从而由全等三角形的对应边相等得AB=EF； （2）由二直线平行，内错角相等，得∠B=∠FCE，结合角平分线的定义及已知得∠E=∠B=∠FCE=∠ACB，由直角三角形的两锐角互余建立方程可求出∠ACB=30°，最后根据三角形内角和定理可算出∠A的度数. 20．【答案】（1）证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 【解析】【分析】（1）通过说明两个三角形有两对角和它们的夹边对应相等，来证明两个三角形全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，得到一对线段相等，再利用线段的差求出未知线段的长. 21．【答案】（1）证明：∵AE平分， ∴． 又∵，， ∴． 在和中： ，，， ∴． （2）解：∵AE平分且，， ∴． ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 在和中 ，， ∴． ∴． 又∵，， 即， 又∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠EAG=∠EAF，由垂直的定义得∠EGA=∠EFA=90°，从而用AAS可判断△EGA≌△EFA； （2）由垂直的定义得∠EGB=∠EFC=90°，由△EGA≌△EFA可得EG=EF，∠GEA=∠FEA，AG=AF，从而结合已知推出∠BEC=∠GEF，再根据等式性质推出∠GEB=∠FEC，然后根据ASA判断出△EGB≌△EFC，由全等三角形对应边相等得BG=CF，然后根据线段的和差及等量代换得2AF=AC-AB，最后代入计算即可. 22．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴，， ∴ 【解析】【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得到：，进而根据平行线的性质得到：，最后根据已知条件并利用"AAS"即可证明； （2）根据全等三角形的性质得：最后根据线段间的数量关系即可求出BF的长度 学科网（北京）股份有限公司 $$