精品解析：2025年广东省广州市广州中学中考二模数学试卷

广州中学2024学年第二学期6月阶段性练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1、答题前在答题卡按要求填写好班级、姓名、座位号、考号等信息． 2、将答案正确填写在答题卡题号指定区域内，不得使用涂改液、修正带，不得擅自更改答题卡上的题号，否则该题作答无效，作图题使用2B铅笔画图． 3、考试期间不准使用计算器． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 3. 港珠澳大桥是世界上最长跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 一次函数图象上有两点，，则______（填，，） 13. 分解因式：_____． 14. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是______． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 16. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 三、解答题（共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）． 17. 解二元一次方程组： 18. 如图，在中，，求证：． 19. 已知． （1）化简； （2）若点在一次函数的图像上，请求出的值． 20. 祁阳市某中学开展了一系列形式多样，内容丰富的“阳光大课间”活动，学生们热情高涨，操场上欢声笑语不断，学生们在运动中挥洒汗水，不仅增强了体质，还培养了团队协作精神和积极向上的生活态度．为了解学生周末在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中周末运动时间不少于2小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了__________名学生： （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数： （3）若该校有学生2000人，试估计该校学生周末在家运动时间达标的人数． 21. 2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 22. 如图，中，． （1）在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 23. 如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，． （1）若为边的中点，求的值及点的坐标； （2）若，求的面积． 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求取值范围； ②若，且，求取值范围． 25. 已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点对应点落在边的中点上，交于点，连接． （1）如图，若，时 ①_____ ②求的长； （2）若为的三等分点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2024学年第二学期6月阶段性练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1、答题前在答题卡按要求填写好班级、姓名、座位号、考号等信息． 2、将答案正确填写在答题卡题号指定区域内，不得使用涂改液、修正带，不得擅自更改答题卡上的题号，否则该题作答无效，作图题使用2B铅笔画图． 3、考试期间不准使用计算器． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是理解相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义，直接判断的相反数． 【详解】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 对于，改变其符号后得到，所以的相反数是， 故选D． 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体， 由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱， 故选：A． 3. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】数据55000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，积的乘方，同底数幂相除，绝对值的意义，根据二次根式的加减法则，积的乘方法则，同底数幂相除法则，绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解∶A．与不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误； B．，故原计算错误； C．，故原计算正确； D．，故原计算错误； 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6. 小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程 故答案为：C． 7. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当时，反比例函数的图象位于第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所标元素能组成“”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率为， 故选：D． 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系得到，然后解不等式进行判断． 【详解】解：根据题意得：， 解得：．   故选：A ． 10. 如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，由此得解． 【详解】解：， ， ， 在中，，， ， ， ， 当时，的最大值为． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点Q的坐标是． 故答案为：． 12. 一次函数图象上有两点，，则______（填，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据，得随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大， ∵一次函数的图象上有两点，，且， ∴， 故答案为：． 13. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解： 故答案为． 14. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 【答案】##40厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面周长为，半径为， ∴扇形的弧长为， 设扇形的半径为r， 则， 解得：， ∴高为： 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，矩形的性质， 先画出抛物线，根据图像的位置可知当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5，再根据矩形的性质可得答案． 【详解】解：根据题意画出图象， 可知抛物线， 此时抛物线有最高点． 当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题（共9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）． 17. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 18. 如图，在中，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的基本性质以及相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 根据平行线的性质得到，，由此即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴． 19. 已知． （1）化简； （2）若点在一次函数的图像上，请求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把坐标代入一次函数解析式求出值，代入原式计算即可求出值． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ∵点在一次函数的图像上， ∴， 即， ∴． 20. 祁阳市某中学开展了一系列形式多样，内容丰富的“阳光大课间”活动，学生们热情高涨，操场上欢声笑语不断，学生们在运动中挥洒汗水，不仅增强了体质，还培养了团队协作精神和积极向上的生活态度．为了解学生周末在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中周末运动时间不少于2小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了__________名学生： （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数： （3）若该校有学生2000人，试估计该校学生周末在家运动时间达标的人数． 【答案】（1）120 （2）见解析， （3）估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及补全频数分布直方图及用样本估计总体，熟记相关统计指标的定义是解决问题的关键． （1）根据条形统计图与扇形统计图中数据关联，利用组实际人数除以其占比，即可得到这次抽样调查的总人数； （2）计算出C组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）由样本估计总体，列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：组36人，占比， 在这次抽样调查中，共调查了（名）， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：组频数为：，补全频数分布直方图如下： 扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：该校学生周末在家运动时长达标人数约为：（人）， 所以，估计该校学生周末在家运动时间达标的人数约为1300人． 21. 2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 【答案】（1） （2）当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得， 解得， 与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得． （元）， 当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元． 22. 如图，中，． （1）上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可，根据线段垂直平分线的性质即可得到； （2）先求得，推出，作于点，利用等腰三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得即可． 小问1详解】 解：如图，点M即为所作； 由作图知，是线段的垂直平分线， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边，分别交于点，（不与边的端点重合），连接，，． （1）若为边的中点，求的值及点的坐标； （2）若，求的面积． 【答案】（1）， 点E坐标为 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设点D的坐标为，点E坐标为，证明，可得，即，求出 或32（不合题意，舍去），则点D的坐标为，点E坐标为，求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，为边的中点， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 点E坐标为． 【小问2详解】 ∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点， 设点D的坐标为，点E坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，或32（不合题意，舍去）， 则点D的坐标为，点E坐标为， ∴， ∴，， ∴． 24. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． （1）将点代入抛物线表达式，即可求解； （2）①当时，，即可求解；当时， 即，，同理可解； ②将点，代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线表达式得： ， 则 ∵对称轴 ∴ 【小问2详解】 ①当时，， 则抛物线的表达式为：， 顶点坐标为 ∵点，在抛物线上 由，∴时， 解得：； 故； ②∵点，在抛物线上，， ∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大， ∴ 将点，代入抛物线表达式得： 得 ， ， ， 由，整理得 则， ∵， 则， ∵ 则， 则 则， 综上 25. 已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接． （1）如图，若，时 ①_____ ②求长； （2）若为的三等分点，求的值． 【答案】（1）①，② （2）或1 【解析】 【分析】（1）作于点，设与交于点，根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，，即可求出的长，再通过证明得到，即可解答； （2）延长与交于点，利用折叠的性质推出，通过证明得到，结合为的三等分点，分2种情况讨论，设，利用相似三角形的性质和勾股定理表示出，进而表示出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，作于点，设与交于点， 矩形， ，，， ∴， 点落在边的中点， ， ，， 解得，即． ， ， ，， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得，垂直平分， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：①，② 【小问2详解】 延长与交于点， 由折叠的性质得，，， ， ，即， ， ， ， ， 为的三等分点， 或， ①当时，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； ②当时，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $