2025年河南省郑州枫杨外国语学校中考五模数学试题　

2024-2025年下期九年级五质检模拟考试数学试题 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）》 1.斗拱是中国古典建筑上的重要部件。如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主 视图，则它的左视图为() 正面 主视图A 第1题图 2.下列调查中，最适合全面调查的是() A.调查全国中学生对人工智能的了解情况 B.对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查 C.调查信阳地区2025年空气质量情况 D。对信阳市初中学生每天写作业时间的调查 3.歼~20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国 空军幅起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机，它的最大航速约为每小时 3427000m.数据3427000用科学记数法表示为() A.0.3427×10 B.3.427×10 C.34.27×10 D.342.7×103 4,下列运算正确的是() A.d+d=d B.d=d C.()=d D.(a-3)=d-g 5.在平面直角坐标系x0中，抛物线y=向左平移1个单位长度得到的抛物线为() A.y=(+1) B.y=(x-1) C.=2+1 D.y=-1 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光 线与经过光心0的光线相交于点P点F为焦点。若∠1=… 155°，则∠2=30°，则∠3的度数为() A.45 B.50 第6题图 C.55 D.60° 7.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺。别立一表， 长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短.在阳光下，将其 垂直立于地面，测得影长为一丈五尺，同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的 影长为五寸.问竿的长度是多少？(1丈=10尺；1尺=10寸).设竿的长度为x尺， 则下列方程正确的是() A言=总 B.若=岩 C.x+15=1.5+0.5 D.x-15=1.5-0.5 8.如图，AB是⊙0的直径，则∠1+∠2+∠3=( A.70 B.80 C.90° D.100° 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，抛物线y=a+b+c交x轴于点A、B,点A的坐标为(·4,0)，对称轴为直线 x=-1,有以下结论：①该抛物线的最大值为a-btc②a+b+c>0:③B-4ac>0:④ 2+b=0:同一元二次方程a+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根.其中正确的 个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,2),A(3,0),A(5,3),A(8,1),A (10,4),A(13,2),“,按照此规律，点A=的坐标为() A.(1013,1012)B.(5063,1012)C.(5065,1012)D.(5065,2025) 二，填空题（共5小题，每题3分，共15分）》 1山.若普=答=岁=k则仁 12.若关于x的一元二次方程(1)。-2x-1=0有两个不相等实数根，则实数k的取 值范围是 13.如图用六块全等的含30°的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小 的正六边形空隙，现向大正六边形内部投提飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为」 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在口ABCD中，∠BCD=60°，AB=2BC=4.将口ABCD绕点B逆时针旋转一定角 度后得到口'BC,其中点C的对应点C落在边CD上，则图中阴影部分的面积 是 15.如图，将边长为5的正方形ABD的边AB绕点A逆时针旋转至AB,连接丽，过 点D作DE垂直于直线B,垂足为E连接DB,CB当以B,E,GD为顶点的 四边形是平行四边形时，丽的长为 三.解答题（共8小题，16题10分，17-22题每题9分，23题11分，共75分） 16.1)计算：(2025-)°+2am60-（(-2+W5-3引：(2)解方程：忌2+4=焉 17。【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观 察中发现：植物叶子通常有着不同的特征.如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？ 于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动， 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量 它们长和宽（单位：©m)的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 2 3 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 杏树叶的长宽比1.51.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 2.4 0.0949 杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089 【问题解决】填空：(1)上述表格中：a= (2)这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小：一片长为11.5cm, 宽为5cm的树叶，这片树叶来自于树的可能性比较大， (3)三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你 用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 第17题图 第18题图 18.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数=的图象相交于4，B两点，其中点 A的坐标是(3，m). (1)求反比例函数的表达式 (2)设直线y=x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为，(x<:),与直线 y=2x的交点横坐标为名，若x<黑<，求b的取值范围 19。数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平 放置，即绳轮⊙0与水平面DB相切于点E,线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上， 即线绳CD与⊙0相切于点G,过切点E的直径与⊙0交于点A(图中点Q,A,B,D,C 在同一平面内). (1)连接AG求证：∠ACD+∠A0C=180, (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30cm,且圆心0与D处锭子 之间的水平距离DE在70cm与120cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDB=45°，06=30cm, 请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由.（参考数据：√万≈1.414，结果精确 到个位) 第19题图 20。洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如 图②，把手AW与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同 一直线上，其相关数据为A=10cm,D=6cm,D0=22cm,求EC的长.（结果取整数。 参考数据：sin37°≈是cos37°≈专tan37”≈是V3e1.7) 37 第20题图 21.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,从，D分别是AGAB的中点，连接C②， 动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿一→D→C匀速运动，到点C停止，将 射线PW绕点P顺时针旋转45”，与△ABC的边BC或AC交于点成设点P的运动时间 为x(s),W的长为头探究y与x的函数关系.经过探究发现在点P从点D运动到点 C的过程中，y是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象， 根据以上信息，回答下列问题： (1)观察图象，直接写出： ①AC的长为： ②点P从点D运动到点C的过程中，CW的最大值是 (2)当点P从点A运动到点D时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）. (3)在点P的运动过程中，若恰有两个时刻黑和，（黑<，），使其对应的W的值相 等，请你借助函数图象分析，直接写出，和，的值. 5 23 图1 图2 第21恩图 22.四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合 了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的 进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进 乙种茶叶的重量相同。 (1)求甲、乙两种茶叶的进价： (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的 若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶 获得的最大利润为多少元？ 23.四边形ABCD是边长为10的菱形，AC与即相交于点Q.将△BCD绕点B按顺时针方向 旋转得到△BEF点CGD旋转后的对应点分别为E,F旋转角为a(0°<a<360°). (1)如图1，当点F第一次落在对角线4C上时，求0B与F的数量关系以及ā的度数， (2)如图2，当a>180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G.试判断四边形0GF的 形状，并说明理由 （3)蜘图3，连接cB在旋转过程中，当F与菱形BcD的一边平行时，且，tam∠DAB=-是 请直接写出线段CE的长。 D D 图1 图2 图3 第23题图 6 2 2024-2025年下期九年级五质检模拟考试数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B． B A C A C C B 一．选择题（共10小题） 1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线， 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线． 2．下列调查中，最适合全面调查的是（　　） A．调查全国中学生对人工智能的了解情况 B．对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查 C．调查信阳地区2025年空气质量情况 D．对信阳市初中学生每天写作业时间的调查 【分析】根据全面调查的特点，逐一判断即可． 【解答】解：A、选项事件调查的对象范围广，不适合采用全面调查，不符合题意； B、选项事件涉及安全性，适合采用全面调查，符合题意； C、选项事件调查的对象范围广，不适合采用全面调查，不符合题意； D、选项事件调查的对象范围广，不适合采用全面调查，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了抽样调查与全面调查，掌握考查的对象的特征灵活选用是关键． 3．歼﹣20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的最大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（　　） A．0.3427×107 B．3.427×106 C．34.27×105 D．342.7×103 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3427000＝3.427×106． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（a﹣3）2＝a2﹣9 【分析】利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意， a2•a3＝a5，则B符合题意， （a2）3＝a6，则C不符合题意， （a﹣3）2＝a2﹣6a+9，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 【分析】直接利用抛物线平移规律：左加右减得出平移后的解析式． 【解答】解：抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为：y＝（x+1）2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，则∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°，求出∠PFO＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形的外角性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵光线平行于主光轴， ∴∠1+∠PFO＝180°， ∵∠1＝155°， ∴∠PFO＝25°， ∵∠POF＝∠2＝30°， ∴∠3＝∠POF+∠PFO＝55°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°． 7．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短．在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈＝10尺；1尺＝10寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C．x+15＝1.5+0.5 D．x﹣15＝1.5﹣0.5 【分析】利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可． 【解答】解：根据题意得． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，通常利用“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 8．如图，AB是⊙O的直径，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OC，OE， ∵∠1∠AOC，∠2∠COE，∠3∠BOE， ∴∠1+∠2+∠3∠AOC∠COE∠BOE∠AOB＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B，点A的坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a﹣b+c；②a+b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a+b＝0；⑤一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值）以及过特殊点时，系数a、b、c所满足的关系进行判断即可． 【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，而抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1， ∴顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）， 又∵a＜0， ∴当x＝﹣1时，y的值最大， 即该抛物线的最大值为a﹣b+c， 因此①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B，点A的坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点B的坐标为（2，0）， 又∵a＜0， ∴当﹣4＜x＜2时，y＞0， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0， 因此②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，点A、点B， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，有两个不相等的实数根， 即b2﹣4ac＞0， 因此③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，即1， ∴b＝2a， 即2a﹣b＝0， 因此④不正确； 由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点， 即一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值）以及过特殊点时，系数a、b、c所满足的关系是正确判断的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），A1（3，0），A2（5，3），A3（8，1），A4（10，4），A5（13，2），⋯，按照此规律，点A2025的坐标为（　　） A．（1013，1012） B．（5063，1012） C．（5065，1012） D．（5065，2025） 【分析】由图象与点坐标可知，每两个坐标一个周期，每个周期横坐标+5，纵坐标+1，找到规律求解即可． 【解答】解：已知A（0，2），A1（3，0），A2（5，3），A3（8，1），A4（10，4），A5（13，2），⋯，按照此规律， 可得每两个坐标一个周期，每个周期横坐标+5，纵坐标+1， 即A2n（5n，n+2），A2n+1（5n+3，n）， ∴A2025（5×1012+3，1012）， 即A2025（5063，1012）， 故选：B． 【点评】本题考查了点坐标的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．若k，则k＝　﹣1或2　 ． 【分析】用k表示出a+b，b+c，c+a，然后相加求解即可． 【解答】解：∵k， ∴a+b＝kc，b+c＝ka，c+a＝kb， ∴2（a+b+c）＝k（a+b+c）， ∴（a+b+c）（2﹣k）＝0， ∴a+b+c＝0或2﹣k＝0， 当a+b+c＝0时，k1， 当2﹣k＝0时，k＝2， 所以，k＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2． 【点评】本题考查了比例的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键，易错点在于忽视a+b+c＝0的情况． 12．若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则实数k的取值范围是 　k＞﹣2且k≠﹣1　 ． 【分析】根据根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＝4+4（k+1）＞0，且k+1≠0， 解得k＞﹣2且k≠﹣1， 故答案为：k＞﹣2且k≠﹣1． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 13．如图，用六块全等的含30°的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为　　 ． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖射中灰色部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：设直角三角形中30°所对的直角边边长均为1，则斜边为2，所以另一条直角边为， ∴小正六边形的边长为2﹣1＝1， ∴小正六边形的面积＝6， ∴大正六边形的面积＝6， ∴飞镖射中灰色部分的概率＝1． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 14．如图，在▱ABCD中，∠BCD＝60°，AB＝2BC＝4．将▱ABCD绕点B逆时针旋转一定角度后得到▱A′BC′D′，其中点C的对应点C′落在边CD上，则图中阴影部分的面积是　　 ． 【分析】由旋转可得CB＝C′B，根据∠C＝60°可得△BCC′为等边三角形、△BCD为直角三角形，继而可得旋转角∠ABA′＝∠DBD′＝∠CBC′＝60°，BD＝2，最后根据阴影部分的面积＝S扇形BAA′﹣S扇形BDD′计算可得． 【解答】解：如图，连接BD、BD′， ∵▱A′BC′D′是由▱ABCD绕点B旋转得到的， ∴∠ABA′＝∠CBC′＝∠DBD′，AB＝A′B，CB＝C′B，BD＝BD′， ∵∠BCD＝60°，AB＝2BC＝4， ∴BC′＝BC＝2ABCD， ∴△BCD是直角三角形，∠ABA′＝∠CBC′＝∠DBD′＝60°， ∴BD， 则阴影部分的面积＝S扇形BAA′﹣S扇形BDD′ ． 故答案为： 【点评】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形等知识点，根据已知条件求得旋转半径和旋转角是求扇形面积的关键． 15．如图，将边长为5的正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为E，连接DB′，CE，当以B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，BB′的长为　10或　 ． 【分析】分两种情况讨论：当CD为平行四边形的对角线时，当CD为平行四边形的边时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：当CD为平行四边形的对角线时，如图： ∵四边形B′CED是平行四边形，正方形ABCD的边长为5， ∴B′D＝CE，B′C＝DE，，EF＝B′F，B′C∥DE， ∵DE⊥B′E， ∴CB′⊥BE， ∵∠BCD＝90°， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在直角三角形BCB′中，由勾股定理得：； 当CD为平行四边形的边时，如图2： 此时四边形CDB′E为平行四边形，点E与点A重合， ∴B′E＝CD＝5， ∴BB′＝5+5＝10． 综上所述，或10． 故答案为：10或． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，正方形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入、求出绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先去分母化成整式方程求解，然后再检验即可求解． 【解答】解：（1） ； （2）， 5+4（2x﹣2）＝4x， 解整式方程，得：5+8x﹣8＝4x， 4x＝3， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴方程的解为． 【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，掌握相应的运算法则是关键． 17．【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 杏树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 a 2.4 0.0949 杏树叶的长宽比 1.51 1.5 b 0.0089 【问题解决】填空： （1）上述表格中：a＝ 　2.15　 ，b＝ 　1.5　 ； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，　杏　 树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于　杨　 树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可，计算出该树叶的长宽比即可得出答案； （3）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）将杨树叶的长宽比重新排列为1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8， 所以其中位数a2.15， 杏树叶的长宽比的众数b＝1.5， 故答案为：2.15，1.5； （2）由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； 11.5÷5＝2.3， 所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大， 故答案为：杏，杨； （3）根据题意画树状图如下： ∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种． ∴恰好小娟小东被选中的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 18．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是（3，m）． （1）求反比例函数的表达式． （2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），与直线y＝2x的交点横坐标为x3，若x1＜x3＜x2，求b的取值范围． 【分析】（1）将点A（3，m）代入y＝2x和之中得m＝6，k＝18，由此可得点A（3，6）及反比例函数的表达式； （2）先根据对称性求出点B（﹣3，﹣6），当直线y＝x+b过点A（3，6）时得b＝3，当直线y＝x+b经过点B（﹣3，﹣6）时得b＝﹣3，结合函数的图象即可得出b的取值范围． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A（3，m）， ∴， 解得：m＝6，k＝18， ∴点A（3，6），反比例函数的表达式为：； （2）∴正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝18/x的图象都关于原点O点对称， ∴点A，B关于原点O对称， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣6）， 当直线y＝x+b经过点A（3，6）时，则6＝3+b， ∴b＝3， 当直线y＝x+b经过点B（﹣3，﹣6）时，则﹣6＝﹣3+b， ∴b＝﹣3， 结合函数的图象可知：当x1＜x3＜x2时，直线y＝x+b与y＝2x的交点在线段AB上，如图所示： ∴b的取值范围是：﹣3＜b＜3． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，理解反比例函数的图象及其性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解决问题的关键，利用数形结合思想求b的取值范围是解决问题的难点． 19．数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮⊙O与水平面DB相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． （1）连接AC，求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70cm与120cm之间时，纺线较为舒适．若∠CDE＝45°，OE＝30cm，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【分析】（1）根据CD切⊙O于点C，得出∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA．根据∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，得出，最后证明结论即可； （2）连接OD，证明△OED≌△OCD，得出，作OD的垂直平分线交DE于F，连接OF，根据等腰三角形的性质得出∠DOF＝∠ODF＝22.5°，证明△OEF为等腰直角三角形，得出，EF＝OE＝30cm，求出，即可得出结论即可． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠OCD＝90°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°． ∴， ∴． （2）解：连接OD， 由题意可得：∠OED＝90°，DE＝DC， ∵OC＝OE，OD＝OD， ∴△OED≌△OCD， ∴， 作OD的垂直平分线交DE于F，连接OF， 则OF＝DF， ∴∠DOF＝∠ODF＝22.5°， ∴∠OFE＝∠DOF+∠ODF＝45°， ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴，EF＝OE＝30cm， ∴， ∴使用该纺车纺线时舒适． 【点评】本题主要考查了切线的性质，等于三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 20．洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求EC的长．（结果取整数，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.7） 【分析】过点A作AH⊥EC于H，交DB于G，过点M作MF⊥AH于F，根据正弦的定义求出AF，根据余弦的定义求出MF，根据正切的定义求出HC，进而求出EC． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥EC于H，交DB于G，过点M作MF⊥AH于F， 则四边形MDGF、四边形DEHG都是矩形， ∴FG＝MD＝6cm，DG＝MF＝EH，GH＝DE＝22cm， 在Rt△AFM中，AM＝10cm，∠AMF＝37°， 则AF＝AM•sin∠AMF≈106（cm），MF＝AM•cos∠AMF≈108（cm）， ∴EH＝MF＝8cm，AH＝AF+FG+GH＝6+6+22＝34cm， 在Rt△AHC中，∠ACH＝60°， 则CH20（cm）， ∴EC＝EH+HC＝8+20＝28（cm）， 答：EC的长约为28cm． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M，D分别是AC，AB的中点，连接CD，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→D→C匀速运动，到点C停止，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，与△ABC的边BC或AC交于点N，设点P的运动时间为x（s），CN的长为y，探究y与x的函数关系．经过探究发现在点P从点D运动到点C的过程中，y是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． 根据以上信息，回答下列问题： （1）观察图象，直接写出： ①AC的长为 　2　 ； ②点P从点D运动到点C的过程中，CN的最大值是 　　 ． （2）当点P从点A运动到点D时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）． （3）在点P的运动过程中，若恰有两个时刻x1和x2（x1＜x2），使其对应的CN的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出x1和x2的值． 【分析】（1）①由图（2）知，AD+CD＝2，而AD＝AC，则ACAD＝2，即可求解； ②点P从点D运动到点C的过程中，点N在AC上，CN长度由0逐渐变大，当点P移动到CD的中点时，PN为等腰直角△PMC的中位线，即可求解； （2）证明△APM∽△BNP，则．由题意，可知AP＝x，CN＝y，BP＝2x，BN＝2﹣y．即可求解； （3）画出y＝x2﹣2x+2（0≤x）的图象，由函数图象，可知当CN的值为时，恰有两个时刻x1和x2，满足题意，即可求解． 【解答】解：（1）①由图（2）知，AD+CD＝2，而AD＝AC， 则ACAD＝2； ②由①知，CMAC＝1， 点P从点D运动到点C的过程中，点N在AC上，CN长度由0逐渐变大，当点P移动到CD的中点时，PN为等腰直角△PMC的中位线， 则PMCM， 故答案为：①2，②； （2）由函数图象，可知AD+DC＝2． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点， ∴∠A＝∠B＝45°，AD＝DC． ∴AC＝BC＝2，AB＝2． ∵M是AC的中点， ∴AM＝1． ∵∠BPN+∠MPN＝∠AMP+∠A，∠A＝∠MPN＝45°， ∴∠AMP＝∠BPN． ∴△APM∽△BNP， ∴． 由题意，可知AP＝x，CN＝y，BP＝2x，BN＝2﹣y． ∴，整理，得y＝x2﹣2x+2． ∴当点P从点A运动到点D时，y与x的函数关系式为y＝x2﹣2x+2（0≤x）； （3）画出y＝x2﹣2x+2（0≤x）的图象，如图所示． 由函数图象，可知当CN的值为时，恰有两个时刻x1和x2，满足题意． 令x2﹣2x+2， 解得x或x（舍去）． ∴x1， 由图象，可知x2． 【点评】本题为二次函数综合题，涉及到三角形相似、二次函数的图象和性质、动点问题，明确点N的移动情况是解题的关键． 22．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【分析】（1）设每千克甲种茶叶的进价是x元，则每千克乙种茶叶的进价是（x+100）元，利用购进数量＝进货总价÷进货单价，结合4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每千克甲种茶叶的进价），再将其代入（x+100）中，即可求出每千克乙种茶叶的进价； （2）设购进m千克甲种茶叶，则购进（30﹣m）千克乙种茶叶，根据购进甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设商店销售完两种茶叶获得的总利润为w元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每千克甲种茶叶的进价是x元，则每千克乙种茶叶的进价是（x+100）元， 根据题意得：， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是所列方程的解，且符合题意， ∴x+100＝400+100＝500（元）． 答：每千克甲种茶叶的进价是400元，每千克乙种茶叶的进价是500元； （2）设购进m千克甲种茶叶，则购进（30﹣m）千克乙种茶叶， 根据题意得：m（30﹣m）， 解得：m≥12， 设商店销售完两种茶叶获得的总利润为w元，则w＝（530﹣400）m+（650﹣500）（30﹣m）， 即w＝﹣20m+4500， ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝12时，w取得最大值，最大值为﹣20×12+4500＝4260（元）． 答：商店销售完两种茶叶获得的最大利润为4260元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 23．四边形ABCD是边长为10的菱形，AC与BD相交于点O．将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，点C，D旋转后的对应点分别为E，F．旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）如图1，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及α的度数． （2）如图2，当α＞180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G．试判断四边形BDGF的形状，并说明理由． （3）如图3，连接CE，在旋转过程中，当EF与菱形ABCD的一边平行时，且，，请直接写出线段CE的长． 【分析】（1）设AC交BD于点O，先由菱形的性质得出∠BOF＝90°，BD＝2OB，再由旋转的性质得BF＝BD，则BF＝BD＝2OB，得∠BFO＝30°，即可得出答案； （2）由菱形的性质得∠ADB＝∠BDC，再由旋转的性质得BD＝BF，∠F＝∠BDC，然后证四边形BDGF是平行四边形，即可得出结果； （3）分三种情况：①当EF∥BC时，先证四边形BCFE是菱形，过点D作DH⊥AB于点H，则tan∠DAB，设DH＝3a，则AH＝4a，由菱形的性质求出a＝2，则DH＝6，AH＝8，再由勾股定理得BD＝2，进而由勾股定理求出EG的长，即可得出CE的长；②当EF∥AB时，则∠E＝∠ABE，证E、B、C三点共线，即可得出CE的长；③当EF∥BC，且EF在BC上方时，过点E作EG⊥BC于点G，则∠EBG＝∠BEF，由锐角三角函数定义求出BG＝8，EG＝6，则CG＝2，再由勾股定理求出CE的长即可． 【解答】解：（1）如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠BOF＝90°，BD＝2OB， 由旋转的性质得BF＝BD， ∴BF＝BD＝2OB， ∴∠BFO＝30°， ∴∠OBF＝90°﹣∠BFO＝90°﹣30°＝60°， ∴α＝60°； （2）四边形BDGF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB＝∠BDC， 由旋转的性质得BD＝BF，∠F＝∠BDC， ∴∠F＝∠ADB， ∵EF∥BD， ∴∠F+∠DBF＝180°， ∴∠ADB+∠DBF＝180°， ∴DG∥BF， ∵EF∥BD， ∴四边形BDGF是平行四边形， 又∵BD＝BF， ∴平行四边形BDGF为菱形； （3）①如图，当EF∥BC时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， 由旋转的性质得BE＝BC，EF＝CD， ∴BC＝BE＝EF， ∴四边形BCFE是菱形， 过点D作DH⊥AB于点H， 则tan∠DAB， 设DH＝3a，则AH＝4a， 由勾股定理得AD5a， ∵四边形ABCD是边长为5的菱形， ∴AD＝AB＝10， ∴a＝2， ∴DH＝6，AH＝8， ∴BH＝AB﹣AH＝2， 由勾股定理得BD2， ∵EF∥BC， ∴∠F＝∠FBC， ∵EB＝EF＝BC＝10， ∴∠F＝∠EBF， ∴∠EBF＝∠FBC， ∴BG⊥CE，CE＝2EG， ∴BGBF， ∵BF＝BD＝2， ∴BG， ∴EG3， ∴CE＝2EG＝6； ②如图，当EF∥AB时，则∠E＝∠ABE， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠F， ∴∠F＝∠ABD， ∴∠ABD+∠ABE+∠EBF＝∠F+∠E+∠EBF＝180°， ∴∠DBC＝∠FBE， ∴∠FBE+∠ABE+∠ABD＝180°， ∴E、B、C三点共线， ∴CE＝BC+BE＝10+10＝20； ③如图，当EF∥BC，且EF在BC上方时，过点E作EG⊥BC于点G， 则∠EBG＝∠BEF， ∴tan∠EBG＝tan∠BEF＝tan∠DAB， ∵BE＝10， ∴BG＝8，EG＝6， ∴CG＝2， ∴CE2； 综上所述，CE的长为6或20或2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/13 11:32:48；用户：刘畅；邮箱：fywgy01@xyh.com；学号：21522761 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$