9.3 《分式方程》课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

9.3 分式方程 1 2 了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （重点）掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 旧知回顾 1.什么叫做分式？ 一般地，用A，B表示两个整式，将A÷B表示成 的形式.如果B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母B≠0. 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 设：设江水的流速为v千米／时。 分析：轮船顺流航行速度为＿＿千米／时，逆流航行速度为＿＿千米／时，顺流航行100千米所用的时间为＿＿小时，逆流航行60千米所用时间为＿＿小时。 列式如下： 问题1： 合肥与某地相距1600km，两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4h，请求出列车提速前的速度是多少？ 解:设某列车提速前的速度为 x km/h，那么提速后的速度应为 km/h，根据题意，得： 问题2： 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？ ——分母中含有未知数. 思考：分式方程的特征是什么？ ——如何解？ 类比：怎么解有分母的一元一次方程？ 可否效仿有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母，把它转化成整式方程？ 那么提速后的速度为 (1+25%)x km/h. 探究新知 为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行的速度.在相距 1600 km 的两地之间运行一列车，速度提高 25% 后，运行时间缩短了 4 小时，你能求出列车提速前的速度吗？ 解：设该列车提速前的速度为 x km/h， 根据题意，得 1600 (1+25%)x 1600 x - = 4 探究新知 思考：想一想，这两个方程有何异同？ 1600 (1+25%)x 1600 x - = 4 x 2 1- x+6 6 = 分式方程 整式方程 探究新知 1600 (1+25%)x 1600 x - = 4 x 2 1- x+6 6 = 分式方程 整式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 以前学过的分母中不含有未知数的方程叫做整式方程. 分式方程与整式方程的区别： 分母中不含未知数的方程是整式方程. 分式方程和整式方程的根本区别 在于分母中是否含有未知数， 分母中含有未知数的方程是分式方程， 对应练习 判断下列方程是不是分式方程，并说明理由. y-3 2 6- y-2 6 = (1) 3 4-x 4 x+2 (2) = x2 x 1 (3) = 1 x+2 1 y-3 (5) = 3y+1 2y-2 +4 (4) x a (6) -2=x (a为非零常数) 整式方程 分式方程 分式方程 代数式 分式方程 整式方程 方程各分母最简公分母是：2(2y+1)(y-2) 解：方程两边同乘2(2y+1)(y-2)，得 检验：将y=-2代入原分式方程中，左边= =右边， 因此y=-2是原分式方程的解. 3(y-2)=4(2y+1)， 解得 y=－2. 如何解这个分式方程呢？ 解分式方程的基本思路是？ 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。这也是解分式方程的一般思路和做法。 你明白了吗？ 下面我们再讨论一个分式方程的解法： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5为什么不是原分式方程的解呢？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解. 真相揭秘： 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 解： 方程两边同乘以最简公分母 (20+x)(20-x) ，得 100(20-x)=60(20+x) 解得 x=5 检验： 左边= 100 20+5 =4 右边= 60 20-5 =4 所以 左边=右边 ， ， 所以x=5是原分式方程的解. 把 x=5 代入分式方程中， 60 20-x 100 20+x = 整式方程 转化 下面我们一起研究下如何解分式方程： 60 20-x 100 20+x = 整式方程 转化 解分式方程的基本思路： 方程两边同乘最简公分母. 是将分式方程化为整式方程， 具体做法是“去分母” 即 这也是解分式方程的一般方法. 探究新知 x=3 是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根， 解方程 ，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？ 1 3-x 2-x x-3 = -2 解：方程两边同乘以最简公分母 (x-3) ，得 2-x=-1-(x-3) 解得 x=3 把 x=3 代入检查时， 方程中分式的分母为零， 分式 所以 x=3 不是原方程的根， 原方程无解. 但不是原方程的根. 无意义， 像x=3这样的根，称为 . 增根 原分式方程出现无意义的分式， 从而整式的方程的根不是分式方程的根， 未知数的取值范围扩大了. 去分母时， 分式方程两边同乘以最简公分母化为整式方程后， 探究新知 解分式方程时常产生增根， 增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根. 我们把这样的根叫做增根. 当求得的整式方程的根使原分式的最简公分母为零， 想一想为什么会产生增根？ 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的， 解分式方程时常产生增根， 增根是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原分式方程的根. 探究新知 分式方程的增根必须满足什么的条件？ 增根必须满足两个条件 ① 增根一定是所化整式方程的根. ② 增根必须是使最简公分母为 0 的根. 解分式方程时可能产生增根，所以必须验根. 看它的值是否为 0， 怎样检验所得整式方程的根是否是原分式方程的解？ 把整式方程的根代入最简公分母中， 探究新知 使最简公分母不为 0 的根是原方程的根， 使最简公分母为 0 的根是原方程的增根， 必须舍去. 公分母检验法比较简单，因此被广泛地采用. 这种检验方法叫公分母检验法. x 3-x x-1 x+3 = -2 例 1 解方程： 解：方程两边同乘以最简公分母 (x+3)(3-x) ，得 (x-1)(3-x)-2(x+3)(3-x)=x(x+3) 解得 x=21 检验： 当 x=21 时， 最简公分母 (x+3)(3-x) (1) ≠0. 所以 x=21 是原分式方程的根. 例 1 解方程： 4 x2-1 x+1 x-1 = 1 解： 方程两边同乘以最简公分母 (x+1)(x-1) ，得 (x+1)2-4=(x+1)(x-1) 解得 x=1 检验： 当 x=1 时， 最简公分母(x+1)(x-1) - (2) =0. 所以 x=1 是增根. 所以原分式方程无解. 归纳总结 解分式方程的一般步骤： ① 去分母： ② 解这个整式方程. ③ 检验： 在方程的两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程. 把整式方程的根代入最简公分母中，看它的值是否为 0，使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，使最简公分母为 0 的根，是原方程的增根，必须舍去. ④ 写出原分式方程的根. 简记为：“一化，二解，三检验”. 列分式方程的基本步骤： ①审：找出题目中的已知量与未知量； ②找：找出题目中的等量关系； ③列：根据题意设未知数，列出方程. 归纳小结 1.找找看，下列方程哪些是分式方程： 否 是 是 否 当堂检测 2.（课本126页习题5.7第1题）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块实用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg.如果设第一块实验田每公顷的产量为x千克，那么 x 满足怎样的分式方程? 课堂小结 1.什么是分式方程？ 2.分式方程与整式方程的联系与区别. 3.列方程的最基本的思维步骤. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 联系：都是含有未知数的等式. 区别：分式方程分母中含有未知数，整式方程的分母中不含有未知数. ①审：找出题目中的已知量与未知量； ②找：找出题目中的等量关系； ③列：根据题意设未知数，列出方程. 本节课你还运用了什么数学思想呢？ 例1：关于x的分式方程 有解，则实数m应满足的条件是 例2：已知关于x的分式方程 的解满足-4<x<-1, 且k为整数，则符合条件的所有k值有_____个。 分式方程有解 $$