精品解析：河北省承德市高新区第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第二学期高二年级数学5月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知，等于（ ） A. B. C. D. 3. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数在区间上是增函数,实数的取值范围为(　 　) A. B. C. D. 6. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 7. 年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 8. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________． 13. 若，则______． 14. 已知随机变量X的概率分布为，则实数______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 16. 大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示． 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列； （2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列． 17. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）求函数的极值. （3）若时，，求的取值范围. 18. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 19. 已知函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第二学期高二年级数学5月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由组合数的性质求解． 【详解】依题意，则或， 得或， 故选：D 2. 已知，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法公式求解即可. 【详解】. 故选：B 3. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得. 【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐， 所以不同排法种数是. 故选：B 4. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】列举出数列的前几项，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， ，，， 又，所以 故选：A 5. 已知函数在区间上是增函数,实数的取值范围为(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案. 【详解】函数, , 函数在区间上是增函数, 可得,在区间上恒成立, 即:在区间上恒成立 , 当且仅当时取等号, 可得. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求参数范围,解题关键是掌握导数的求法和不等式恒成立求参数的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 6. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在(,)内存在最小值，则，得． 故选：C 7. 年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】计算出年该市投入的资金，再利用等差数列和等比数列的求和可求得结果. 【详解】由题意可知，从年到年该市每年投入的资金成等差数列，且首项为，公差为（单位：万元）， 则年该市投入的资金为（万元）， 由题意知，从年开始，每年投入的资金成等比数列，且首项为（万元）， 公比为， 因此，到年底该市生态环境建设投资总额约为（万元）. 故选：B. 8. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项. 【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确； 对于B选项：因为指数为偶数，即， 所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确； 展开式通项为， 对于C选项： 令，解得， 所以展开式中含项，故C错误； 对于D选项：令，可得， 故展开式中常数项为，故D正确. 故选：ABD. 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误； 对与D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】函数有3个零点，转化为与有3个交点，利用数形结合，以及导数的几何意义，即可求得实数a的取值范围. 【详解】，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值， 函数有3个零点，转化为方程有3个实数根，即与有3个交点，表示斜率的直线，如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时，当直线与相切时，设切点 ，解得：，， 如图，满足条件的的取值范围是 故答案为： 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表： 个 个 个 0 5 0 1 3 1 2 1 2 由上表可知. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的正确分类，另外一点值得注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取、、这三项. 14. 已知随机变量X的概率分布为，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答. 【详解】依题意，， 由分布列的性质得，解得， 所以实数. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 16. 大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示． 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）求该超市水果日需求量（单位：千克）的分布列； （2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为（单位：元），求的分布列． 【答案】（1） 140 150 160 170 180 190 200 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 680 750 0.1 0.9 （2）【解析】 【分析】（1）根据日需求量的频数求对应的概率，写出的分布列即可. （2）将水果日需求量分为140千克、不小于150千克，确定利润的可能值，结合（1）求各可能值的概率，进而写出的分布列． 【小问1详解】 由表格知：总频数为， ∴的分布列为 140 150 160 170 180 190 200 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 【小问2详解】若水果日需求量为140千克，则（元）， ∴． 若水果日需求量不小于150千克，则（元）， ∴． 故的所有可能取值为680，750，则的分布列为 680 750 0.1 0.9 17. 设函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）求函数的极值. （3）若时，，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，，则，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） ， 当时，在上单调递增，无极值， 当时，由，得，由0得 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得极小值，无极大值， 所以当时，函数无极值， 当时，函数有极小值，无极大值； （3） 【解析】 【分析】（1）由和解出，即可得到函数的单调区间； （2）判断的单调性，由极值的概念即可求出函数的极值.； （3）对分类讨论分析函数的单调性，得到的范围或最值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知当时，在上单调递增，所以当时，符合题意， 当时，在上单调递增，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 综上,的取值范围是. 18. 已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； 【小问2详解】 因为 ， 所以 ； 【小问3详解】 ∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 19. 已知函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值； （2）当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解. 【解析】 【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为， 则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增. 所以故; 【小问2详解】 由（1）可知作出函数图像， 由图，当时，方程的解个数为个； 当或时，方程的解个数为个； 当时，方程的解个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $