13.1 三角形的概念-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

13.1 三角形的概念 1. 定义: 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形. 要点: (1) 三角形的基本元素: ①三角形的顶点:三个点叫作三角形的顶点. ②三角形的边: 连接顶点的三条线段叫作三角形的边, 边的长度叫作边长. ③三角形的角: 顶点处两边组成的角叫作三角形的内角, 简称三角形的角. (2) 三角形的表示:三角形用符号“△”表示,顶点为A,B,C 的三角形记作“△ABC”,读作 “三角形ABC”,注意单独的△没有意义;△ABC 的三边可以用大写字母AB,BC,AC 来表示,也可以用小写字母a,b,c来表示,边BC 用a 表示,边AC,AB 分别用b,c 表示. 2. 三角形的分类 (1) 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 要点: ①锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形. ②钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形. ③直角三角形:有一个内角是直角的三角形叫作直角三角形.在直角三角形中,直角的两条 边叫作直角边,直角所对的边叫作斜边. 直角三角形可用符号“Rt△”表示,例如直角三角形ABC 可以表示为“Rt△ABC”,读作“直角三角形ABC”. (2) 按边分类: 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 85 要点: ①等腰三角形:有两边相等的三角形叫作等腰三角形. ②等边三角形: 三边都相等的三角形叫作等边三角形. ③既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形. 例如,有45°角的三角尺 的形状是等腰直角三角形. 例1 下列图形中,三角形是 ( ) A B C D 解析:由三角形定义可知, 是三角形,故选:C. 例2 如图,在△ABC 中,D,E 分别是BC 边上的点,连接BE,AD,相交于点F. (1) △BDF 的三个顶点是什么? 三条边是什么? (2) AB 是哪些三角形的边? 解析:(1) △BDF 的三个顶点是点B,D,F,三条边是BF,BD,DF;(2) AB 是△ABE,△ABF, △ABD,△ABC 的边. 例3 有下列两种图示均表示三角形分类,则正确的是 ( ) A. ①对,②不对 B. ②对,①不对 C. ①、②都不对 D. ①、②都对 解析:按边的相等关系分类:不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等 的等腰三角形即等边三角形).按角分类:直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.故①的分类不 正确;图②中的三角形的分类正确.故选:B. 95 1. 如图,下列图形中是三角形的有 ( ) (1) (2) (3) (4) (5) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 三角形按边长关系,可分为 ( ) A. 等腰三角形,等边三角形 B. 直角三角形,不等边三角形 C. 等腰三角形,不等边三角形 D. 直角三角形,等腰三角形 3. 三角形的三个角的度数分别是90°,60°,30°,则这个三角形的形状是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 若如图表示三角形分类,则下列说法正确的是 ( ) A. M 表示等边三角形 B. M 表示锐角三角形 C. P 表示等腰三角形 D. N 表示三边都不相等的三角形 第4题 第5题 第6题 5. 如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 上的点,AD,BE 相交于点F. (1) 图中共有三角形 个; (2) 在△ABD 中,∠ADB 所对的边是 ;在△ADC 中,边CD 所对的角是 . 6. (1) 图中共有 个三角形,它们分别是 ; (2) 以AE 为边的三角形有 . 7. 观察图形. (1) 图中有几个三角形? 把它们一一写出来; (2) 写出△ABD 的边、顶点及三个内角; (3) 以∠C 为内角的三角形有哪些? (4) 以AB 为边的三角形有哪些? 06 得 x+y=22 , 5x+6y=120. 解这个方程组,得 x=12,y=10. 所 以圆珠笔买了12支,钢笔买了10支; (2)设购买圆珠笔x 支,购买钢笔(22-x)支.依 题意得5×0.9x+6×0.8(22-x)≤100.解这个 不等式,得x≥563. 因为x 为整数,所以x=19, 20,21,22.所以一种方案是购买圆珠笔19支,购 买钢笔3支.(答案不唯一) 4. EG⊥EF,理由略. 5. AD∥BC,理由略. 6. 正确,理由略. 7. 两点确定一条直线. 8. OE⊥ OD,理由略. 9. E,O,F 在一条直线上,理由略. 10. ∠A=∠C,∠B=∠D,理由:∵AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°,又∵AB∥CD,∴∠B+ ∠C=180°,∴∠A=∠C.同理∠B=∠D. 11. AE∥CF,理由:∵∠B=∠D=90°,∠DAB+ ∠B+ ∠BCD + ∠D =360°,∴ ∠DAB + ∠BCD=180°,∵AE 平分∠DAB,CF 平分 ∠DCB,∴∠DAE+∠DCF=90°,又∵∠DAE+ ∠DEA=90°,∴∠DEA=∠DCF,∴AE∥CF. 专项训练五 实践与应用 1. (1)b=0.8×(220-14)=164.8(次) (2)没有危险 2. (100a+60b)元 3. 略 4. 五边形:3个 4个 5个 图略 n边形:(n- 2)个 (n-1)个 n个 5. (1)363+7=19 (分钟),19分钟>15分钟,∴王老 师应选择绕道而行去学校; (2)设维持秩序时间为t分钟,则t+36-3t9 = 36 3- 6,解之得t=3,∴维持秩序的时间为3分钟. 6. (1)设甲种笔记本的单价是x 元,乙种笔记本的 单价是y 元.根据题意可得 20x+10y=110, 30x+10=20y, 解 得 x=3 , y=5; (2)设本次购买乙种笔记本m 本,则甲种笔记本 (2m - 10) 本, 根 据 题 意 可 得 2m-10+m≥80, 3(2m-10)+5m≤320, 解得30≤m≤31911,因 为m 为正整数,所以m=30或m=31,当m=30 时,2m-10=50;当m=31时,2m-10=52. 7. (1)设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元, 改造一所B 类学校的校舍需资金y万元, 则 x+3y=480 , 3x+y=400, 解之得 x=90,y=130; (2)设A 类学校有a 所,则B 类学校有(8-a) 所,则: 20a+30(8-a)≥210, (90-20)a+(130-30)(8-a)≤770, 解得a≤3 , a≥1, ∴1≤a≤3,即a=1,2,3.即有3种改 造方案:方案一:A 类学校1所,B 类学校7所; 方案二:A 类学校2所,B 类学校6所;方案三:A 类学校3所,B 类学校5所. 专项训练六 新题型 1. A 2. C 3. D 4. 将一个三角板的一条直角边紧贴材料的下底边, 平移至另一直角边经过已知点A,沿已知点A 所 在直角边画直线即可. 5. 90° 6. 略 7. 28个, (n+2)(n+1) 2 个 8. 720度 第三部分 探究先飞 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 1. A 2. C 3. B 4. C 5. (1)8 (2)AB ∠CAD 6. (1)6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE, △ADC,△AEC (2)△ABE,△ADE,△AEC 7. (1)图中有7个三角形,分别是△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG; (2)△ABD 的边是AB,BD,AD;顶点是点A, B,D;三个内角是∠B,∠BDA,∠BAD; (3)以 ∠C 为 内 角 的 三 角 形 有 △AEC, △ADC,△ABC; (4)以 AB 为 边 的 三 角 形 有 △ABD, △ABE,△ABC. 13.2 与三角形有关的线段 1. C 2. B 3. D 4. B 5. B 6. B 7. 11 cm 8. 11或4 9. 2,3,4 10. 3.5<a<6.5 11. 8 12. 7或9 13. 9 14. < 15. 7 16. BE 17. 如图,AD 为所作. 18. ∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∴S△ABC= 1 2AB ·BC=12×6×8=24.∵AC 边上的高 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11