14.1 全等三角形及其性质-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（人教版2024）

14.1 全等三角形及其性质 1. 全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫作全等形. 2. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫作对应顶点,重合的边叫作对应边,重合的角 叫作对应角. 3. 全等三角形的表示方法 记作: △ABC≌△A'B'C',读作:△ABC 全等于△A'B'C'. 4. 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等. 例1 下列图形是全等图形的是 ( ) A B C D 解析:A. 两个图形不全等,故此选项不符合题意;B. 两个图形不全等,故此选项不符合题意; C. 两个图形不全等,故此选项不符合题意;D. 两个图形全等,故此选项符合题意.故选:D. 例2 如图,若△ABC≌△ADE,则AB 的对应边是 ( ) A. CD B. BD C. AD D. AE 解析:∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,∴AB 的对应边是AD,故选项C正确.故选:C. 例3 已知△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠B=75°,则∠E= . 解析:∵△ABC≌△DEF,∴∠E=∠B=75°.故答案:75°. 例4 如图,△ABC 的两条高AD,CE 相交于点F,若△ABD≌△CFD,DC=6,DF=2,则 07 △ABC 的面积为 . 解析:∵△ABD≌△CFD,DC=6,DF=2,∴AD=DC=6,BD=DF=2,∴BC=BD+CD=8, ∵AD⊥BC,∴S△ABC= 1 2BC ·AD=24.故答案:24. 例5 如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B 到C 的方向平移 到△DEF 的位置,AB=8,DO=3,平移距离为4,则阴影部分面积为 ( ) A. 18 B. 24 C. 26 D. 32 解析:由平移的性质可知,△ABC≌△DEF,∴DE=AB=8,BE=4,S△ABC=S△DEF,∴OE=DE- DO=8-3=5,∴阴影部分的面积=S△ABC-S△OEC=S梯形ABEO= 1 2×5+8 ×4=26 ,故选:C. 例6 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,一条线段PQ=AB,P,Q 两点 分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动,若以A,B,C 为顶点的三角形与以A,P,Q 为顶点的 三角形全等,求AP 的长. 解析:有两种情况:①根据全等三角形的性质得出AP=BC=6 cm;②根据全等三角形的性质得 出AP=AC=12 cm.综上所述,AP 的长为6 cm或12 cm. 1. 下列说法中正确的是 ( ) A. 面积相等的两个图形是全等图形 B. 周长相等的两个图形是全等图形 C. 所有正方形都是全等图形 D. 能够完全重合的两个图形是全等图形 2. 如图,已知两个三角形全等,那么∠1的度数是 ( ) A. 72° B. 60° C. 58° D. 50° 17 3. 如图,若△ABC≌△DEF,∠F= ( ) A. 30° B. 62° C. 92° D. 88° 第3题 图1 图2 第4题 4. 四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放,形成两个正方形,大正方形的面积为 60 cm2,空白区域所示的小正方形面积为48 cm2.将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里 翻折,形成如图2所示的更小正方形,若直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),则代 数式(a-b)的值为 ( ) A. 4 B. 6 C. 12 D. 18 5. 如图,已知线段AB=20 m,MA⊥AB 于点A,MA=5 m,射线BD⊥AB 于B,P 点从B 点向 A 运动,每秒走1 m,Q 点从B 点向D 运动,每秒走3 m,P,Q 同时从B 出发,则出发x秒后, 使△MAP 与△PBQ 全等,则x的值为 ( ) A. 5 B. 5或10 C. 10 D. 6或10 第5题 第6题 6. 如图,△ABC≌△DEF,点A 与D,B 与E 分别是对应顶点,且测得BC=5 cm,BF=7 cm,则 EC 长为 cm. 7. 如图,△ABE≌△ACD,点D,E 分别在边AB,AC 上,若AD=3,AC=5,则BD= . 第7题 第8题 第9题 8. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB 和BC 上,△ADE≌△BDE,且△ABC 的周长比 △AEC 的周长大6,则AD 的长为 . 9. 如图,△ABC≌△A'B'C',其中AB=3,A'C'=7,B'C'=5,则△ABC 的周长为 . 27 10. 如图1,数轴上从左至右依次有B,O,M,A,N 五个点,其中点B,O,A 表示的数分别为 -7,0,4.如图2,将数轴在点O 的左侧部分绕点O 顺时针方向旋转90°,将数轴在点A 的 右侧部分绕点A 逆时针方向旋转90°,连接BM,MN.若△OBM 和△AMN 全等,求点M 表 示的数. 图1 图2 11. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=8 cm.点C 在直线l上,动点P 从A 点出 发沿A→C 的路径向终点C 运动;动点Q 从B 点出发沿B→C→A 路径向终点A 运动.点P 和点Q 分别以每秒1 cm和2 cm的速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止 运动,分别过点P 和Q 作PM⊥直线l于M,QN⊥直线l于N.当△PMC 与△QNC 全等 时,求点P 的运动时间. 37 BD=245 ,∴S△ABC= 1 2AC ·BD=12AC ·24 5= 24,解得AC=10. 13.3 三角形的内角与外角 1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. B 8. B 9. 直角三角形 10. 75 11. 25° 12. 22 13. 60° 14. 1 2α 90°+ 1 2α 15. (1)∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠BAD= ∠EBC,∴ ∠AFE = ∠ABE + ∠EBC = ∠ABC,即∠ABC=∠AFE; (2)∵∠BFD=∠AFE=∠ABC=35°,又∵ EG∥AD,∴∠BEG=∠BFD=35°,∵EH⊥ BE,∴∠BEH=90°,∴∠HEG=∠BEH - ∠BEG=55°. 16. ∵∠DFE=∠B+∠BEF,∠B=42°,∠DFE= 73°,∴∠BEF=73°-42°=31°,∵EF 平分 ∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°,∵DE∥ AC,∴∠C=∠DEB=62°,∵∠A+∠B+ ∠C=180°,∴∠A=180°-42°-62°=76°. 17. (1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+ ∠COD=180°,∠AOB = ∠COD,∴ ∠A + ∠B=∠C+∠D; (2)结论:∠B+∠C=2∠P,理由如下,∵AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,∴∠BAP= ∠PAC = 12 ∠BAO ,∠BDP = ∠PDC = 1 2∠CDO ,由(1)可知,∠BAO+∠B=∠CDO+ ∠C,∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+ ∠C=∠PAO+∠P,即∠B+ 12∠BAO= 1 2∠ODC+∠P ,∠C+12∠CDO= 1 2∠BAO+ ∠P,∴∠B+∠C=2∠P; (3)结 论:2∠P = ∠B + ∠C.理 由 如 下, ∵∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点 P,∴∠PAB=12 (180°-∠BAO),∠PDB= 1 2 (180°-∠BDC),∵∠P+∠PAB=∠B+ ∠PDB,∴∠P+12 (180°-∠BAO)=∠B+ 1 2 (180°-∠BDC),即2∠P-∠BAO=2∠B- ∠BDC①,又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②, ①+②得2∠P=∠B+∠C. 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 1. D 2. D 3. A 4. B 5. A 6. 3 7. 2 8. 3 9. 15 10. 当△OBM≌△AMN 时,∴AM=OB= 7, ∵OA=4,∴OM=OA-AM=4- 7,∴点M 表示的数为4- 7;当△OBM≌△ANM 时, ∴OM=AM,∵AO=4,∴OM=2,∴点M 表 示的数为2,∴点M 表示的数为4-7或2. 11. 设点P 的运动时间为t秒,如图1,当点Q 在BC 上时,此时AP=t cm,BQ=2t cm,∴PC= (7-t)cm,CQ=(8-2t)cm, 图1 ∵△PMC≌△CNQ,∴PC=CQ,∴7-t=8- 2t,∴t=1;即点P 的运动时间为1秒; 如图2,当点Q 在AC 上时,此时点P 与点Q 重 合,AP=t cm,BC+CQ=2t cm,∴PC=(7- t)cm,CQ=(2t-8)cm, 图2 ∵△PCM≌△QCN,∴PC=CQ,∴7-t=2t- 8,∴t=5;即点P 的运动时间为5秒,综上所 述,当△PMC 与△QNC 全等时,点P 的运动时 间为1秒或5秒. 14.2 三角形全等的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA或角边角 11. 80 12. 6 13. 1 2 14. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED, ∠A=∠E, AC=EF, ∴△ABC≌△EDF(SAS). 15. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21