精品解析：山东省东营市广饶县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年第二学期限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 总分130分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共4页． 2．数学试题答题卡答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 用放大镜观察一个三角形时，不变的量是（ ） A. 各条边的长度 B. 各个角的度数 C. 三角形的面积 D. 三角形的周长 3. 如图，△∽△，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ） A. 12cm2 B. 9cm2 C. 6cm2 D. 3cm2 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 7. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 10. 如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共8小题，11－14每小题3分，15－18每小题4分，共28分． 11. 若，则________． 12. 若的值为2，则代数式的值为 _____． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 14. 如图，F是平行四边形对角线上的点，，则_____． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 16. 如图，正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A'B'C'D'，则点C'的坐标为 ___． 17. 关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 18. 如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，连接、，和相交于点O，设，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）. 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为，其中点． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）写出，两点坐标． 21. 铜川重兴寺塔为六棱七层仿木建筑结构，密檐式实心砖塔，对研究中国古塔建筑历史艺术、佛教活动、当时的经济与社会发展水平具有重要的价值．数学兴趣小组的同学们开展了测量重兴寺塔高度的实践活动． 课题 测量重兴寺塔高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，在阳光下某一时刻，小辉站在B处，发现他的影子顶端与塔的影子顶端重合于点C；小刚在D处放置一平面镜，在直线上来回移动，在处刚好从点D处的平面镜中看到塔的顶端M的像，已知，，，点N、B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量数据 米，米，米，米，米 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出该塔的高．（平面镜的大小忽略不计） 22. 2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式：______； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ 23. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足，连接，为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 24. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度为？ 25. 为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 附加题 26. 如图，在菱形中，，，点分别在边上，连接，． （1）如图（a），若分别是边的中点，连接，则______． （2）当时，请回答下列问题： ①如图（b），求的值； ②如图（b），若平分时，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 总分130分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共4页． 2．数学试题答题卡答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是； 故选：A． 2. 用放大镜观察一个三角形时，不变的量是（ ） A. 各条边的长度 B. 各个角的度数 C. 三角形的面积 D. 三角形的周长 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形时，放大后的三角形与原来的三角形相似， 两个三角形的对应角相等， 即不变的量是各个角的度数， 用放大镜观察一个三角形时，三角形的各条边的长度会变长， 三角形的面积与周长也会变大， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3. 如图，△∽△，若，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答. 【详解】解：∵△∽△ ∴ ∴ 解得：AB=4 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ） A. 12cm2 B. 9cm2 C. 6cm2 D. 3cm2 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理可得DE=BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE=BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE=3， ∴S△ABC=12， ∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解. 【详解】根据题意得，， 所以． 故选A． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质. 7. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用；设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 【详解】解：设边长为，则边长为长为， 当时，， 解得：， ∵的长不能超过， ，故①不符合题意； ∵菜园面积为， ， 整理得：， 解得：或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②符合题意； 设矩形菜园面积为， 根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值为，故③不符合题意． ∴正确的有个， 故选：B． 8. 如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似； ∵∠C=∠AED=90°， , ∴，即sin∠B=sin∠DAE， ∴∠B=∠DAE， ∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似； ∵AD∥BC， ∴∠B=∠DAE， ∵∠C=∠AED=90°， ∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似； ∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°， ∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③.其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理可得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出其他结论． 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DEBC，且DE=BC， ∴BC=2DE，故①正确； ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC，故②正确； ∴，故③正确． 故选C． 10. 如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共8小题，11－14每小题3分，15－18每小题4分，共28分． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案． 【详解】由，得 故答案为. 【点睛】考查比例的性质，根据比例的性质得到是解题的关键. 12. 若的值为2，则代数式的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得，由此即可求解． 【详解】解：把代入一元二次方程得，，且， 解得，，且， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，F是平行四边形对角线上的点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的对边平行且相等．根据平行四边形的性质，证明，利用对应边对应成比例，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A'B'C'D'，则点C'的坐标为 ___． 【答案】（2，1）或（0，-1）##（0，-1）或（2，1） 【解析】 【分析】根据位似图形的定义“两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形”作图得正方形，即可得． 【详解】解：根据题意，可知正方形与正方形ABCD的位似比是， 则位似后的正方形的边长为1， 根据位似的定义，得位似后的正方形，如图所示： 故点的坐标位（2，1）或（0，-1）， 故答案：（2，1）或（0，-1）． 【点睛】本题考查了位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握位似图形的定义． 17. 关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，当时，即时，方程为一元一次方程，方程有实数根；当时，根据根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围．综上即可得出结论． 【详解】解：当时，即时，方程为一元一次方程，方程有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，则，即， 解得． 综上，当时方程有实数根． 故答案为：． 18. 如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，连接、，和相交于点O，设，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】四边形和四边形是正方形，根据正方形的性质，即可得，，，则可根据证得①；然后延长交于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得，则可得②．由即可判定③错误，由与相似即可求得④． 【详解】解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， 故①正确； 延长交于点H， ， ， 又， ， ， ， ． 故②正确； 四边形是正方形， ， ， 是错误的． 故③错误； ， ， 又， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推理论证． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 由题意得，， 则， ∴， 即，； 【小问2详解】 ∴， 因式分解为， ∴， ∴ 【点睛】此题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为，其中点． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）写出，两点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点， 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）由位似变换可得，，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：根据图象，可得点，． 21. 铜川重兴寺塔为六棱七层仿木建筑结构，密檐式实心砖塔，对研究中国古塔建筑历史艺术、佛教活动、当时的经济与社会发展水平具有重要的价值．数学兴趣小组的同学们开展了测量重兴寺塔高度的实践活动． 课题 测量重兴寺塔的高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，在阳光下某一时刻，小辉站在B处，发现他的影子顶端与塔的影子顶端重合于点C；小刚在D处放置一平面镜，在直线上来回移动，在处刚好从点D处的平面镜中看到塔的顶端M的像，已知，，，点N、B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量数据 米，米，米，米，米 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出该塔的高．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】16米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，相似三角形的性质和判定， 先证明，可得，再说明，得，然后将上式代入可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得， ∴该塔的高为16米． 22. 2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式：______； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸利润可达到1800元？ 【答案】（1）； （2）公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，一元二次方程，理解数量关系，正确列式，掌握一次函数的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）定价为元，每卷利润元，结合（1）中的函数解析式，令函数值为1800元，求自变量的值即可； 【小问1详解】 解：根据题意设， 代入已知数据点和得 ， 解得：， 则y与x的函数关系式：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：定价为元，每卷利润元， 由（1）知销售量为， 则， 解得：（舍去），， ∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元； 23. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角对应相等，证明两个三角形相似，即可得△ADF∽△DEC. （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度. 【小问1详解】 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC ∵ ∵∠AFD+∠AFE=180°， ∴∠AFD=∠C 在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC， ∴△ADF∽△DEC 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴， ∴ 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， 所以AE的长为6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质和勾股定理，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． 24. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空： ， （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度为？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间就可以表示出，，再用就可以求出的长． （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：，， ∴当，时，的长度为． 25. 为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 【答案】（1）苹果的单价为元，桃李的单价为元； （2）当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设苹果的单价为元，桃李的单价为元，依题意，列式，解出，即可作答． （2）依题意，列式，解出，即可作答． 【小问1详解】 解：设苹果的单价为元，桃李的单价为元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴， ∴， ∴苹果的单价为元，桃李的单价为元； 【小问2详解】 解：依题意， ， 整理得， 即， 则（故舍去） ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 附加题 26. 如图，在菱形中，，，点分别在边上，连接，． （1）如图（a），若分别是边的中点，连接，则______． （2）当时，请回答下列问题： ①如图（b），求的值； ②如图（b），若平分时，求的值； 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接交于点O，则，求出，证明是的中位线，则可得出答案； （2）①过点E作于点P，由勾股定理可得出答案； ②延长交的延长线于点G，证明，得出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：连接交于点O，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是边的中点 ∴是的中位线 ∴, 故答案为：； 【小问2详解】 解：①过点作于点， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：； ②将延长交延长线于点， 由平分得： 由，可得： 从而得：， ， ，， ， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $