精品解析：2026年河南省平顶山市二模数学试题

2026年中招学科第二次调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在数轴上，表示的点到原点的距离为（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 2. 2026年清明假期，全国跨区域人员流动量达84269万人次，彰显我国交通出行活力与经济复苏态势．数据“84269万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万． 3. 如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知，该展开图由三个长方形和两个三角形组成， ∵三棱柱的侧面展开图是三个长方形，底面是两个三角形， ∴该几何体是三棱柱． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，D正确． 5. 某鞋厂为了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班20名男生进行了调查，结果如图所示，则这20名男生穿鞋尺码的众数为（ ） A. 1 B. 7 C. 37 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，观察条形统计图，找出人数最多的尺码即可． 【详解】解：由条形统计图可知：尺码为的人数最多，是人， 这名男生穿鞋尺码的众数为． 6. 不等式组中，两个不等式的解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴两个不等式的解集在同一数轴上表示如图所示： ． 7. 按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8. 如图，将一块三角尺的顶点放在上，，分别交于点D，E，连接，已知，的直径为10，则的长为（ ）． A. B. 10 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接．  是的直径，  ．  与都是所对的圆周角，  ． 在 中，，  ． 9. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 10. 物质的溶解度会随温度的变化而变化，如图是甲、乙两种固体物质的溶解度随温度变化的曲线，下列说法错误的是（ ） 信息1：固体的溶解度表示在一定温度下，某固体物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量 信息2：①溶质质量+溶剂质量=溶液质量 ②溶液浓度=溶质质量÷溶液质量 ③在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 时，甲、乙两种固体物质的溶解度都为 B. 乙种固体物质的溶解度随温度的升高而增大 C. 将乙种物质的饱和溶液从升到，需加入乙种物质才能使溶液再次达到饱和 D. 时，甲种固体物质的饱和溶液中，含甲种溶质的质量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象中的信息，结合溶解度的相关知识，逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，时，甲、乙两物质的溶解度曲线相交于纵坐标为40的点， 时，甲、乙两种固体物质的溶解度都为， 故选项A说法正确，不合题意； 由图可知，乙种固体物质的溶解度曲线随温度升高而上升， ∴乙种固体物质的溶解度随温度的升高而增大， 故B说法正确，不合题意； 图象可知，时乙的溶解度为，时乙的溶解度为， ∴时乙的饱和溶液中含有水和乙， 升温至，溶解度变为，需加入溶质质量为， 故C说法正确，不合题意； 由图象可知，时甲的溶解度为， ∴甲种固体物质的饱和溶液中，含甲种溶质的质量为， 故D说法错误，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 平顶山是豫中南地区的中心城市．平顶山境内有多处知名景区，其中尧山、二郎山、画眉谷深受游客喜爱．如图，现有3张景区的卡片，小明将卡片背面朝上放在桌面上（背面完全相同），从中随机翻开1张，记录后放回，再随机翻开1张，则两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：设尧山为A，二郎山为B，画眉谷为C， 由题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的结果种， 两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点在菱形的边上，且的顶点都在小正方形的顶点上，以为圆心，的长为半径画，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出、、的长度，利用勾股定理逆定理可判断出为等腰直角三角形，即得，，再根据解答即可求解． 【详解】解：勾股定理得，，，， ，  是直角三角形，且，  ∴， ，  是等腰直角三角形，  ，  ∵四边形是菱形， ，  ，  ． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】设，则，由折叠性质可得 ， ，利用平角定义及垂直定义推导出，从而可知点关于直线的对称点在直线上，且，进而得到 ，，分和两种情况，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：设，四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， 在 中，， 由折叠的性质可得：， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴点关于直线的对称点在直线上，如图， ∴， ∴ ，，是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况讨论： ①当时，，即，解得，此时； ②当时，， ∴， ∴，在 中，， ∵在直线上，在，之间， ，， ， ∴，整理得，解得 ，， 当时，与重合， 不存在，舍去， ∴，此时， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8道小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式  ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校为推进“书香校园”建设，对本校的甲、乙、丙、丁四个班级的月度课外阅读量（单位：本）进行跟踪统计，并对四个班级最近10个月的阅读量数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 四个班10个月的阅读量信息统计表 甲 乙 丙 丁 平均数 10 10 a 10 中位数 10 10 b 9 方差 4.8 c 9 11.1 丙班10个月阅读量数据：3，9，8，5，9，13，10，11，9，13 根据以上信息回答下列问题： （1）的值为_____；的值为_____． （2）c_____4.8（填“>”“=”或“<”）． （3）请对该校四个班级学生“最近10个月的课外阅读量”的情况作出评价．（写出一条即可） 【答案】（1）9，9 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的定义求解即可； （2）计算出方差，再比较即可； （3）可从平均数，方差，中位数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：； 将丙班的数据排列为3，5，8，9，9，9，10，11，13，13， 由于10个数据中位数为第5，6个数据的平均数， ∴中位数 【小问2详解】 解：乙的10个数据为：，平均数为10 ∴方差， ∴； 【小问3详解】 解：甲、乙、丁的平均数相同，说明甲、乙、丁的阅读量的平均水平相同；甲的方差最小，说明甲班的阅读量比较稳定等，合理即可． 18. 学校综合实践小组通过查阅资料得知，当教室与其它功能室之间的水平距离不小于25米时，教室内的噪声可控制在50分贝以内，从而避免噪声对教学的干扰．为了了解学校实验楼的高度及教学楼与实验楼之间的距离是否符合标准，他们进行了相关测量．如图，测得教学楼的高度米，从实验楼顶部测得教学楼顶部的俯角为，从实验楼底部沿地面向教学楼方向行走18米到达点，此时测得教学楼顶部的仰角为．（参考数据：，，） （1）判断：两栋楼之间的距离_____（填“符合”或“不符合”）噪声控制标准． （2）求实验楼的高度． 【答案】（1）符合 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得到米，进而求出米，根据噪声控制标准判断即可； （2）作交于点F，可知四边形是矩形，则，米，米，由题意可知，根据三角函数求出米，即可求出实验楼的高度． 【小问1详解】 解：由题意可知米， ∵米，， ∴米， ∴米， 即两栋楼之间的距离符合噪声控制标准； 【小问2详解】 解：如图，作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米，米， 由题意可知， ∴， ∴米， ∴米． 19. 水车是我国古代重要的灌溉工具，也是中原农耕文化的标志性符号．如图，某水车的转轮与水面交于点B，C两点，为其中一个水斗，为的半径． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作半径所在直线的垂线，交直线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交于点，连接，，求证． （3）连接，若，，直接写出水槽的长．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据作垂线的方法作图即可； （2）先由圆周角定理得到，再根据同角的余角相等证明即可； （3）证明即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，为直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得（舍负）． ∴水槽的长为． 20. 如图，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴于点，轴于点，在射线上取一点，连接，使，当时，． （1）求反比例函数表达式； （2）当点在轴正半轴上，且时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解即可； （2）设，则，然后解，用的代数式表示点，再代入反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴，轴，当，． ∴， ∵点为反比例函数图象上一点 ∴ ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：设，则， ∵轴，轴， ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴此时， ∵点在反比例函数图象上， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ 21. 为丰富校园文化生活，某中学计划采购甲、乙两款文创书签作为校园读书节的纪念奖品．已知乙款文创书签的单价是甲款文创书签单价的，用20元购买甲文创书签的数量比用20元购买乙文创书签的数量少4个． （1）甲、乙两款文创书签的单价分别是多少元？ （2）实际购买时，恰逢降价销售，两款书签的销售规则如下：甲文创书签打七折销售，乙文创书签打八折销售．若学校准备购买甲、乙两款书签共120枚，且乙款书签的数量不超过甲款书签数量的2倍，设购买甲款书签枚． ①求购买这些书签的总费用与之间的函数关系式； ②学校如何购买可使总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1）甲款文创书签单价为5元，乙款文创书签单价为2.5元 （2）①函数关系式为 (，且m为整数)；②购买甲款书签40枚，乙款书签80枚时总费用最低，最低总费用为300元 【解析】 【分析】（1）设甲款单价为未知数，根据数量关系列分式方程求解，检验后得到两款书签的单价； （2）①根据降价规则表示两款书签的实际单价，结合总数量写出总费用的表达式，再根据乙数量的限制条件求出自变量的取值范围，得到完整函数关系式；②根据一次函数的增减性，结合的取值范围求出最小总费用和对应的购买方案．用到的知识点为分式方程应用，一元一次不等式，一次函数的性质． 【小问1详解】 解：设甲款文创书签的单价为元，则乙款文创书签的单价为元． 根据题意，得 ． 解方程得 ． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则． 答：甲款文创书签单价为5元，乙款文创书签单价为2.5元． 【小问2详解】 解：①由题意，购买甲款书签枚，则购买乙款书签枚． 甲款打折后单价为（元），乙款打折后单价为（元）． 总费用， 化简得． 根据题意，乙款书签数量不超过甲款的2倍，得， 解不等式得． 又，为整数， 因此自变量取值范围为，且为整数． ∴函数关系式为 (，且m为整数)． ②， 随的增大而增大． 当取最小值时，取得最小值． 的最小值为， 此时． ∴（元）． 答：购买甲款书签40枚，乙款书签80枚可使总费用最低，最低总费用是300元． 22. 如图，抛物线（a为常数）与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）作直线轴于点，分别交抛物线于点P，Q两点（在左边），若线段的长为4，求点的坐标． （3）已知，线段的两个端点的坐标为，，且线段和抛物线有且只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解函数表达式，再配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称性求解即可； （3）当时，，要使得线段和抛物线有且只有一个交点，只需满足，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a为常数）与轴交于， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为 而， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：设 由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 而线段的长为4 ∴，即 将代入，则； 【小问3详解】 解：当时，， ∴要使得线段和抛物线有且只有一个交点，只需满足 解得． 23. 在数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，已知正方形，点，分别在，上，且，连接，试猜想：线段，，之间的数量关系．小明和小红通过翻折、旋转的方法进行了探索，下面是两位同学的探索过程：小明：如图1，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接，易证，所以，又，所以，即点E，G，F在一条直线上，由此小明得到了线段，，之间的数量关系． 小红：将绕点顺时针旋转得到图2，其中点对应点，点与点重合，易知点，B，E在一条直线上， 根据以上探索，回答下列问题： （1）小明得到线段，，之间的数量关系为_____． （2）补全小红的证明过程． （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D，E为射线上两点（在的左边）且，，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用翻折性质可推导出，推出且，，共线，故； （2）将顺时针旋转得，证，从而； （3）在等腰直角中，分点在点左或右侧两种情况，类比第（2）小题的方法，构造旋转变换将转移至，利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 ，理由如下： 在正方形中，， 由翻折得到 ，，， 又， ， 即，，共线 ． 【小问2详解】 证：由旋转得到 ，，， 即，，共线 ， 又， ． 【小问3详解】 (3)①当在左侧时，如下图， 将绕点逆时针旋转，点对应点，点与点重合，连接， ， 是由旋转得到 ，，， ， 又， 设，则 ， 在中， 解得； ②当在右侧时，如下图， 将绕点逆时针旋转，点对应点，点与点重合，连接， ， 是由旋转得到 ，，， 即 ， 设，则 在中 综上所述的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形的翻折与旋转、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是利用“半角”条件（）构造旋转变换（如将  绕点  顺时针旋转 ），将分散的线段  、  、  通过全等关系转化到同一直线上，从而得出数量关系  ；在拓展应用中，需类比上述方法并结合分类讨论思想，利用勾股定理列方程求解线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科第二次调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在数轴上，表示的点到原点的距离为（ ） A. B. C. 4 D. -4 2. 2026年清明假期，全国跨区域人员流动量达84269万人次，彰显我国交通出行活力与经济复苏态势．数据“84269万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱柱 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某鞋厂为了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班20名男生进行了调查，结果如图所示，则这20名男生穿鞋尺码的众数为（ ） A. 1 B. 7 C. 37 D. 40 6. 不等式组中，两个不等式的解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一块三角尺的顶点放在上，，分别交于点D，E，连接，已知，的直径为10，则的长为（ ）． A. B. 10 C. 5 D. 9. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 13尺 10. 物质的溶解度会随温度的变化而变化，如图是甲、乙两种固体物质的溶解度随温度变化的曲线，下列说法错误的是（ ） 信息1：固体的溶解度表示在一定温度下，某固体物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量 信息2：①溶质质量+溶剂质量=溶液质量 ②溶液浓度=溶质质量÷溶液质量 ③在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 时，甲、乙两种固体物质的溶解度都为 B. 乙种固体物质的溶解度随温度的升高而增大 C. 将乙种物质的饱和溶液从升到，需加入乙种物质才能使溶液再次达到饱和 D. 时，甲种固体物质的饱和溶液中，含甲种溶质的质量为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 平顶山是豫中南地区的中心城市．平顶山境内有多处知名景区，其中尧山、二郎山、画眉谷深受游客喜爱．如图，现有3张景区的卡片，小明将卡片背面朝上放在桌面上（背面完全相同），从中随机翻开1张，记录后放回，再随机翻开1张，则两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为_____． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点在菱形的边上，且的顶点都在小正方形的顶点上，以为圆心，的长为半径画，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8道小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）计算： （2）化简： 17. 某校为推进“书香校园”建设，对本校的甲、乙、丙、丁四个班级的月度课外阅读量（单位：本）进行跟踪统计，并对四个班级最近10个月的阅读量数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： 四个班10个月的阅读量信息统计表 甲 乙 丙 丁 平均数 10 10 a 10 中位数 10 10 b 9 方差 4.8 c 9 11.1 丙班10个月阅读量数据：3，9，8，5，9，13，10，11，9，13 根据以上信息回答下列问题： （1）的值为_____；的值为_____． （2）c_____4.8（填“>”“=”或“<”）． （3）请对该校四个班级学生“最近10个月的课外阅读量”的情况作出评价．（写出一条即可） 18. 学校综合实践小组通过查阅资料得知，当教室与其它功能室之间的水平距离不小于25米时，教室内的噪声可控制在50分贝以内，从而避免噪声对教学的干扰．为了了解学校实验楼的高度及教学楼与实验楼之间的距离是否符合标准，他们进行了相关测量．如图，测得教学楼的高度米，从实验楼顶部测得教学楼顶部的俯角为，从实验楼底部沿地面向教学楼方向行走18米到达点，此时测得教学楼顶部的仰角为．（参考数据：，，） （1）判断：两栋楼之间的距离_____（填“符合”或“不符合”）噪声控制标准． （2）求实验楼的高度． 19. 水车是我国古代重要的灌溉工具，也是中原农耕文化的标志性符号．如图，某水车的转轮与水面交于点B，C两点，为其中一个水斗，为的半径． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作半径所在直线的垂线，交直线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交于点，连接，，求证． （3）连接，若，，直接写出水槽的长．（结果保留根号） 20. 如图，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴于点，轴于点，在射线上取一点，连接，使，当时，． （1）求反比例函数表达式； （2）当点在轴正半轴上，且时，求线段的长． 21. 为丰富校园文化生活，某中学计划采购甲、乙两款文创书签作为校园读书节的纪念奖品．已知乙款文创书签的单价是甲款文创书签单价的，用20元购买甲文创书签的数量比用20元购买乙文创书签的数量少4个． （1）甲、乙两款文创书签的单价分别是多少元？ （2）实际购买时，恰逢降价销售，两款书签的销售规则如下：甲文创书签打七折销售，乙文创书签打八折销售．若学校准备购买甲、乙两款书签共120枚，且乙款书签的数量不超过甲款书签数量的2倍，设购买甲款书签枚． ①求购买这些书签的总费用与之间的函数关系式； ②学校如何购买可使总费用最低？最低总费用是多少？ 22. 如图，抛物线（a为常数）与轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）作直线轴于点，分别交抛物线于点P，Q两点（在左边），若线段的长为4，求点的坐标． （3）已知，线段的两个端点的坐标为，，且线段和抛物线有且只有一个交点，直接写出的取值范围． 23. 在数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，已知正方形，点，分别在，上，且，连接，试猜想：线段，，之间的数量关系．小明和小红通过翻折、旋转的方法进行了探索，下面是两位同学的探索过程：小明：如图1，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接，易证，所以，又，所以，即点E，G，F在一条直线上，由此小明得到了线段，，之间的数量关系． 小红：将绕点顺时针旋转得到图2，其中点对应点，点与点重合，易知点，B，E在一条直线上， 根据以上探索，回答下列问题： （1）小明得到线段，，之间的数量关系为_____． （2）补全小红的证明过程． （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D，E为射线上两点（在的左边）且，，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $