福建省漳州市龙文区第一中学2025届高三上学期第三次月考数学试题

龙文一中2024-2025学年高三上第三次月考数学模拟卷 一、单选题 1．已知，则＝（    ） A．2 B．1 C． D． 2．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点坐标为，则（ ） A．5 B． C．10 D．6 4．已知单位向量满足，则（ ） A．8 B．3 C． D． 5．已知角分别是第二、第四象限角，，，则（ ） A． B． C．2 D． 6．已知为数列的前n项和，，，则（ ）． A．2000 B．2010 C．2020 D．2021 7．“积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①；②，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（ ） A．1.69倍 B．1.96倍 C．1.78倍 D．2.8倍 8．已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于直线对称，则（ ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是的图象的一条对称轴 10．下列结论正确的是（ ） A．掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立 B．已知随机变量X，Y满足，若，则 C．某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3 D．三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点P的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题 12．曲线在处的切线方程为 . 13．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 14. 满足：，且.则的值是 . (提示：) 四、解答题 15．已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 16．记的内角的对边分别为，已知． (1)求． (2)若的面积为，，求边上的高． 17．已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中.是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且存在，满足，证明：； (3)设函数，若，且与的图象有两个交点，求实数的取值范围． 19．已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 参考答案： 1．【答案】C 【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模. 【详解】由题意知， 所以， 故选：C. 2．A 【来源】河南省新乡市封丘县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】求出绝对值不等式的解，由充分、必要条件概念得解. 【详解】由，得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3．A 【来源】高三数学综合原创基础小卷02 【分析】先根据椭圆的方程得到焦点坐标，方法一是根据椭圆的对称性分别得到三角形的三边，然后根据余弦定理得到夹角的余弦值，再根据数量积求得结果；方法二是直接根据向量的坐标法求得结果. 【详解】椭圆方程为，则，所以，，所以， 方法一：因为点坐标为，由对称性得，如图： 在中，结合余弦定理可得， 所以； 方法二：因为点坐标为，则，， 所以， 故选：A． 4．D 【来源】四川省名校联盟2024-2025学年高三12月联考数学试题 【分析】由已知可得，然后展开计算即可得到答案. 【详解】由于，故. 所以，这就得到，所以. 故选：D. 5．A 【来源】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（五） 【分析】利用两角和与差的正弦公式可得，可得，再利用两角和的正切公式可求得，进而可求值. 【详解】由，得， ，则， ，解得（舍去）或， ． 故选：A． 6．A 【来源】全国卷2022届高三一轮复习联考（五）文科数学试题 【分析】根据前n项和与的关系，得出，即可求解. 【详解】由题可得，① 当时，，② 由①－②得，，整理得， 又由， 所以．故选：A． 7．A 【来源】贵州省2024届高三上学期入学考试数学试题 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得答案. 【详解】每天进步2.01%，即0.0201， 因为， 所以30天以后某同学的知识积累约为原来的1.69倍． 故选：A. 8．D 【来源】山西省2024届高三上学期10月月考数学试题 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 9．BCD 【来源】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（八） 【分析】对于B，将图中的已知点坐标代入三角函数解析式，建立方程组，结合题意，可得答案； 对于A，根据函数图像变换，整理平移后的函数解析式，根据三角函数的对称性，可得答案； 对于C，整理函数解释式，根据余弦函数的单调性，可得答案； 对于D，根据余弦函数的对称性，可得答案. 【详解】对于B，由题图知， 则，解得， 结合，令，，得，， ，故B正确． 对于A，由题意，得， 则，即． 又，，故A错误． 对于C，易得． 当时，，在上单调递增，故C正确． 对于D，当时，，直线是的图象的一条对称轴，故D正确． 故选：BCD． 10．AD 【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决. 【详解】 掷一枚质地均匀的骰子一次，则,,而=“出现3点”，所以,则，故事件和相互独立，A选项正确； 由二项分布的期望方差公式， ，，而，于是 ，，B选项错误； 由选项可得，所求的概率为：，C选项错误； 根据选项可得，合格品的概率为： ，D选项正确. 故选：AD 11．ABC 【来源】江苏省镇江市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 12． 【来源】卓越高中千校联盟2020届高考文科数学终极押题卷 【分析】根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】解：对求导得：， 故在处切线斜率为，所以切线方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 13． 【来源】河南省濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 【分析】设向量在基底下的坐标为，则，由此能求出向量在基底下的坐标. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， ，解得. 向量在基底下的坐标是. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】因为，所以， 设，那么， 因此 ， 因此， 所以， 所以的值是. 故答案为： 15．（1），；（2），. 【来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学（文）试题 【分析】（1）设等比数列的公比为，则，由题意可得出关于的方程，解出的值，进而可求得的值，由此可求得等比数列的通项公式； （2）求得，然后利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，，， ，所以，，化简得，解得， ，因此，； （2） 由题， ，① ，② 由①②可得， 化简可得，. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题. 16．(1) (2) 【来源】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学（四） 【分析】（1）由已知条件及正弦定理，二倍角公式，辅助角公式再结合特殊角的正弦值化简即可； （2）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得． 又，， 则， ，则． 又，， 则，解得． （2）由的面积为，得， ，则． 由余弦定理，得， ． 又，，解得．，． 设边上的高为，则， ． 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质可得四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、、， 即，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为． 18．(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)． 【来源】湖南省多校联考2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题 【分析】（1）求导可得，分，，，四种情况讨论，可得函数的单调性； （2）对合（1）可得的单调性，由已知可得，令，求导可得在上单调递增，从而可得，由的单调性可得结论； （3）据题意可得方程有两个实根，令，可得有两个实根，求解即可. 【详解】（1）由题意得， 若，则在上单调递减，在上单调递增． 若，令，得或， 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为， 所以． 令， 则， 当时，，当时，， 所以恒成立，在上单调递增． 因为，所以，即，所以． 又在上单调递增，且， 所以，即． （3）由题意可得方程有两个实根． 设，当时，，则在上单调递增， 令，则，所以关于的方程，即有两个实根， 令，则， 当，，所以在上单调递增， 当，，，在上单调递减， 所以，且时，． 所以，所以， 即的取值范围是． 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【来源】广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期10月份联合考试数学试题 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【详解】（1）设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. （2）由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$