专题03 相反数、绝对值及有理数的大小比较-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题03 相反数、绝对值及有理数的大小比较 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：相反数的定义 像1和-1,2.5和-2.5,4和-4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何意义：互为相反数的两个数表示的点在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等。 【典例分析01】写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【变式训练01】2022的相反数是（    ） A．2022 B． C． D． 【变式训练02】下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 【变式训练03】下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 知识点二：多重符号的化简 多重符号的化简方法: 方法1：当数字前面的符号是“+”号时，省略“+”号直接写；当数字前面的符号是“—”号时，去掉“—”号，写出括号内的数的相反数，并依此进行化简。 方法2：一个具体的数前面有几个正、负号时，化简结果是由“-”号的个数决定的。如果“-”号的个数是奇数，那么化简结果为负数，如果负号的个数为偶数，那么化简结果为正数，简称“奇负偶正”。 【典例分析02】（1） ；                 （2） ； （3） ；              （4） ． 【变式训练01】化简 ． 【变式训练02】（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 知识点三：求一个数的绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作，读作“a的绝对值”。 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是它的相反数. 用符号表示绝对值的性质： (1)如果a＞0，那么 (2)如果a=0，那么； (3)如果a＜0，那么. 【典例分析03】-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【变式训练01】下列计算结果为5的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】化简： ； ； ． 【变式训练03】当时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 知识点四：绝对值的几何意义 |x|表示数轴上数x对应的点到原点的距离. 【典例分析04】若，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．或6 【变式训练01】实数a的绝对值是，的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】有理数，，0，中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 知识点五：绝对值的非负性 因为绝对值是两点间的距离，所以绝对值是非负数。 【典例分析05】已知为有理数，则的最小值为 ． 【变式训练01】若|a-4|+=0,则a+b= 【变式训练02】已知|x-3|+|y-7|=0,求|x+y|的值。 知识点六：绝对值的应用 【典例分析06】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【变式训练02】一种大米每袋的标准质量为20kg，下列选项记录了4袋大米的质量，不足20kg的记为负数，超过20kg的记为正数，则其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 知识点七：利用数轴上的点比大小 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数. 【典例分析07】实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（     ） A．2 B．-1 C．-2 D．-3 【变式训练01】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【变式训练02】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练03】两数在数轴上的位置如图所示，将用“”连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点八：利用法则比较有理数的大小 一般地， (1)正数大于0,0大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 【典例分析08】比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【变式训练01】比较大小：①   ②   ③ ． 【变式训练02】下列说法正确的有（    ） （）任何一个有理数的绝对值都是正数； （）两个数比较，绝对值大的反而小； （）不一定是负数； （）符号相反的两个数互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练03】设为不超过x的最大整数，如，．填空： ， ． 知识点九：有理数大小比较的实际应用 【典例分析09】已知某地某一天的气温如下表： 2时 6时 8时 10时 12时 15时 根据上表中的气温，回答： (1)从左到右，表中的气温是由 到 （填“高”或“低”）变化； (2)根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系（用“＜”或“＞”填空）： 0 1 3； (3)在如图所示的数轴上画出表示数、、、0、1、3的各点； (4)根据（3）中各点在数轴上的位置关系，你能总结出在数轴上比较数大小关系的方法吗？ 【变式训练01】一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 三、课后巩固 1．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法错误的个数是（    ） ①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．的相反数是 ，的相反数是 ． 4．数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．若，则 ； ． 6．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（    ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 7．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 8．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．有理数的绝对值的相反数是 ． 10．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．比较大小（用“”或“”）．． 13．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 14．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】，3，0，，， 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：16的相反数为，的相反数为3，0的相反数为0，的相反数为，m的相反数为，的相反数为n． 【变式训练01】B 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【详解】解：实数2022的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 【变式训练02】D 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练03】B 【分析】本题主要考查相反数，掌握多重符号的化简是解题的关键． 根据相反数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、不互为相反数，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【典例分析02】 8 6 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练01】/ 【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式训练02】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是；（3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【典例分析03】A 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：-2025的绝对值是， 故选：A． 【变式训练01】C 【分析】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可． 【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意； B、+（-5）=-5，不符合题意； C、-(-5)=5，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键． 【变式训练02】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 【变式训练03】C 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 根据绝对值的意义得到． 【详解】解：， ． 故选：C． 【典例分析04】D 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选D 【变式训练01】D 【分析】根据绝对值的意义直接进行解答 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【变式训练02】A 【分析】根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可． 【详解】，，0的绝对值为0，， ∵， ∴绝对值最大的数为-2， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的含义以及有理数的大小比较等知识，掌握绝对值的含义是解答本题的关键． 【典例分析05】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【变式训练01】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则 ，解出，，即可． 【详解】∵|a-4|+=0， ∴ ∴， ∴a+b=4+5=9． 故答案为：． 【变式训练02】10 【分析】本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与|y-7|的和为0可求解． 【详解】解：由题意得： ∵+|y-7|=0， ∴， 解得：， ∴|x+y|=|3+7|=10. 【典例分析06】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键 ． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， 而， 最接近标准的是选项D． 故选：D． 【变式训练01】甜味 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 【变式训练02】B 【分析】本题考查了正负数和绝对值的应用，比较绝对值得，据此即可求解；理解正负数的意义，会用绝对值进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 的那袋大米最接近标准质量， 故选：B． 【典例分析07】B 【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， ， ∴， 观察四个选项，只有选项B符合. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键． 【变式训练01】见解析， 【分析】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴上的点与实数一一对应的关系是解题的关键． 画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 【详解】解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数， 所以． 【变式训练02】D 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【变式训练03】B 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小，先由数轴得到，再在数轴上准确找到的位置，利用数轴性质比较大小即可得到答案，掌握数轴性质、相反数定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，， ，， ，即， 故选：B． 【典例分析08】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 【变式训练01】 【分析】此题考查了有理数比较大小，掌握相关规则是解题的关键． 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小和正数大于负数等规则，即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为，， 【变式训练02】A 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的大小比较，根据绝对值，相反数，有理数的大小比较进行排除即可，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（）的绝对值是，故错误； （）两个负数比较，绝对值大的反而小，故错误； （）当为负数时，表示正数，故正确； （）只有符号不同的两个数互为相反数，故错误； 综上：有个正确， 故选：． 【变式训练03】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据新定义和有理数比较大小的方法即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 故答案为：；． 【典例分析09】(1)低，高 (2)＜，＜，＜，＜，＜ (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大． （1）根据表中数据直接回答即可； （2）由正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可解答； （3）直接在数轴上表示各数即可； （4）结合（2）中的大小关系与（3）中各数在数轴上的位置可总结出在数轴上比较数大小关系的方法． 【详解】（1）解：从左到右，表中的气温是由低到高； 故答案为：低，高； （2）解：根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系为： ； 故答案为：＜，＜，＜，＜，＜； （3）解：在数轴上画出表示数、、、0、1、3的各点如图所示： （4）解：根据（3）中各点在数轴上的位置关系，总结出在数轴上比较数大小关系的方法为：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大． 【变式训练01】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 三、课后巩固 1．A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查有理数的分类，相反数，用数轴表示有理数，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：最大的负整数是；故①正确； 相反数是本身的数是0；故②错误； 有理数分为正有理数和负有理数和零；故③错误； 数轴上表示的点不一定在原点的左边；故④错误； 在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故⑤错误； 故选C． 3． / 【分析】本题考查了相反数，正确理解相反数的定义是解题的关键，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是，的相反数是， 故答案为：，． 4．A 【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点与点到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，表示互为相反数的两个点，两点的距离为， ∴点和点到原点的距离为， ∵在的左边， ∴点表示的数为， 故选：． 5． 3 2 【分析】根据有理数的非负性解答即可． 本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：3，2． 6．A 【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【详解】，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 7．A 【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可 【详解】解：的绝对值是：9 故选:A 【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解定义是关键，熟记负数的绝对值是它的相反数是重点 8．C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，熟练掌握有理数的绝对值和相反数的求法是解题的关键．先求出的绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：有理数的绝对值是， 的相反数是， 故答案为：． 10．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 11．B 【分析】本题考查数轴，绝对值，由，两数在数轴上表示点的位置判断、的符号和绝对值是解题关键．由，两数在数轴上表示点的位置，可以得出、的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可． 【详解】解：由，两数在数轴上表示点的位置，可知， ，且， ，因此选项A错误，不符合题意； ，因此选项B正确，符合题意； ，因此选项C错误，不符合题意； ，因此选项D错误，不符合题意； 故选：B． 12． 【分析】题主要考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键．根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小，逐一进行判断即可． 【详解】解：，，，，， ∴． 13．(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 14．点B，C所表示的数是和5或和11 【分析】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是或， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是或， 由上可得，点B，C所表示的数是和5或和11． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$