专题04 有理数的加法-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题04 有理数的加法 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数的加法运算 有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加仍得这个数. 注意：先定和的符号，再算和的绝对值是一种有效方法. 【典例分析01】计算： (1) ； (2) (3)； (4)． 【变式训练01】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【变式训练03】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练04】大于且小于的整数的和为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练05】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 知识点二：有理数加法中的符号问题 【典例分析02】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【变式训练01】如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【变式训练02】若数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则是（  ）    A．正数 B．0 C．负数 D．都有可能 【变式训练03】如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 知识点三：有理数加法在生活中的应用 【典例分析03】在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-9，+8，-7，+14，-6，+13，-5． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28.5升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ 【变式训练01】我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【变式训练02】一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？ (2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 知识点四：有理数加法运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a＋b）+c= a＋（b＋c） 同样适用于有理数的加法运算,常用的有理数加法运算技巧有：同号结合法、凑整法、同分母结合法、互为相反数的两个数先相加等. 【典例分析04】1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2.阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【变式训练01】计算，比较合适的做法是（　　） A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合 B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合 C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合 D．把第一、二、四这三个加数结合 【变式训练02】在这个运算中，（    ） A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律 【变式训练03】若a、b互为相反数，则 ． 【变式训练04】用适当方法计算： (1) (2) 【变式训练05】计算： (1) (2) 【变式训练06】拆项法．计算：． 三、课后巩固 1.下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 2．绝对值大于且小于的所有负整数的和为（    ） A． B． C． D． 3．已知，b两个数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 5．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如果两个不为0的数满足，那么（　　） A．， B．， C．a，b异号 D．，，或a，b异号且负数的绝对值较小 7．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 8．计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 9．若，，且的绝对值与它的相反数相等，求的值． 10．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 11．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 知识点一： 【典例分析01】(1)-7 (2)-21 (3)0.6 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法进行计算即可求解； （3）根据有理数的加法进行计算即可求解； （4）根据有理数的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式训练01】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 【变式训练02】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【变式训练03】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练04】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，先根据题意求出大于且小于的整数，再把这些整数求和即可． 【详解】解：大于且小于的整数有， ∴大于且小于的整数的和为， 故选：B． 【变式训练04】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)． 【分析】（）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将分数化为带分数，进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）通分进行计算即可得； （）先直接计算，再去绝对值即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）先去绝对值，再进行计算即可得； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ； （11）解：原式 ， ； （12）解：原式 ． 【典例分析02】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式训练01】D 【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可． 【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如； 一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如； 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【变式训练02】C 【分析】本题结合数轴考查了有理数的加法法则，体现了数形结合的思想，熟练掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 先根据数轴发现异号，再进一步比较其绝对值的大小，然后根据有理数的加法运算法则确定结果的符号．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． 【详解】解：由图可知：． 则， 故选：C． 【变式训练03】B 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【典例分析03】(1)B地在A地的东边23千米 (2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油 (3)最远处离出发点28千米 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向； （2）根据耗油量与已有的油量，可得答案； （3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远． 【详解】（1）解：∵15-9+8-7+14-6+13-5=23（千米）， 答：B地在A地的东边23千米； （2）解：这一天走的总路程为：15+|-9|+8+|-7|+14+|-6|+13|+|-5|=77（千米）， 应耗油77×0.5=38.5（升）， 故还需补充的油量为：38.5-28.5=10（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油； （3）解：∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 15千米；15-9=6（千米）；6+8=14（千米）；14-7=7（千米）；7+14=21（千米）；21-6=15（千米）；15+13=28（千米）；28-5=23（千米）， ∴最远处离出发点28千米． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则． 【变式训练01】(1)615(2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【详解】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【变式训练02】(1)王女士最后停在1楼 (2)她办事时电梯需要耗电千瓦时 【分析】本题考查了有理数的加减法运算的应用和绝对值的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意将数据相加起来即可求解； （2）将所有数据加绝对值进行相加即可求解，再结合题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：王女士最后回到了原出发点，即1楼位置． （2）解：由题意可得， （层）， （千瓦时） 答：耗电千瓦时． 【典例分析04】1.(1) (2)0 (3)0 (4)3 (5) (6)1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）利用加法交换律计算即可； （2）利用加法交换律和结合律计算即可； （3）利用加法交换律和结合律计算即可； （4）利用加法交换律和结合律计算即可； （5）利用加法交换律计算即可； （6）利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 【变式训练01】A 【分析】根据凑整法利用加法运算律把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合，计算即可． 【详解】解：计算，比较合适的做法是把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算律是解题关键． 【变式训练02】C 【分析】本题考查了有理数的运算律，掌握加法交换律，结合律是解题的关键，根据题意将第二项与第四项交换，再将第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，由此即可求解． 【详解】解：原等式中第四项与第二项带着符号交换位置，是加法交换律，交换后，第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合， ∴既用了加法交换律，又用了加法结合律， 故选：C ． 【变式训练03】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练04】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练05】(1)0 (2) 【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】（1） = = = =0； （2） = = = = 【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 【变式训练06】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 三、课后巩固 1.C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 2．B 【分析】本题考查有理数的大小比较及有理数的加法，先列举出所有符合条件的数，再求出其和即可．掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绝对值大于且小于的所有负整数是：，， ∴， ∴绝对值大于且小于的所有负整数的和为． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了数轴和有理数大小的应用，根据数轴得出，，再判断即可． 【详解】解：：，， A、由，，知,故本选项错误； B、从数轴可知，，故本选项正确； C、由，，知，故本选项错误； D、从数轴可知，，故本选项错误； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 5．D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查有理数的加法、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据有理数的加法法则和绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：∵两个不为0的数满足， ∴，，或a，b异号且负数的绝对值较小． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简． 【详解】解：根据题意得到， ， ， ， 故选：D． 8．(1)﹣3 (2)﹣50 (3)﹣5 (4)2 (5)1 (6) 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． 【详解】（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 9．的值为或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据，得出，，根据的绝对值与它的相反数相等得出，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵的绝对值与它的相反数相等， ， ∴， ∴，或，， 或， 的值为或． 10．(1)该司机距下午出发点的距离是千米 (2)公升 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算；理解用代数求和还是绝对值求和是解题关键． （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据行车就耗油，可得耗油量． 【详解】（1）解：（千米）， 该司机距下午出发点的距离是千米； （2）（升）， 这天下午汽车共耗油公升． 11．(1) (2)17升 (3)45元 【分析】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【详解】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地； （2）解：（升） （3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为元； 第三次5公里，超过3公里，收费为元， ∴ 总共收入为：元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$