专题02 有理数的概念及数轴-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题02 有理数的概念及数轴 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数的定义 可以写成分数形式的数称为有理数(rational number).其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数. 【典例分析01】下列各数中，0，，，，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练01】在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），-2025中，有理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练02】下列各数：0,-5.11,3.151151115,,7π中，有理数有 __个. 【变式训练03】在3.14,,0,,,0.1010010001中，有理数有( ) A.5个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点二：0的意义 “0”的意义：①它是正数和负数的分界点；②它既可以表示没有也可表示有； ③0不是最小的数。 【典例分析2】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式训练01】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式训练02】下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 知识点三：有理数的分类 有理数的分类： ①（以有理数的定义为标准） ②（以有理数的正负为标准） ★★【提示：有限小数和无限循环小数都可化成分数，所以这两类小数也被看成了分数，是有理数。但无限不循环小数不属于分数，不是有理数。】 【典例分析3】下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③非负数就是正数； ④是无限不循环小数 ，所以不是有理数； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（      ） A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2个 【变式训练01】如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 【变式训练02】下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【变式训练03】把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，， 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 知识点四：带“非”字的有理数 【典例分析4】把下列各数填在相应的括号里 ，，7，3.14，2024，，0，，，，53 整数集合：{         } 分数集合：{         } 非负数集合：{         } 非负整数集合：{         } 【变式训练01】在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式训练02】将下列各数填入适当的括号内： π，5，，，，，，，，0， 正数集合：{                                 …} 负数集合：{                                 …} 整数集合：{                                 …} 分数集合：{                                 …} 正整数集合：{                                 …} 负整数集合：{                                 …} 非负数集合：{                                 …}． 知识点五：数轴的定义及画法 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 画数轴的步骤： (1)画直线，取原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； (2)标正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； (3)选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，……。 【典例分析05】下列数轴的画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练01】下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【变式训练02】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   知识点六：用数轴上的点表示有理数 任何一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。 【典例分析06】如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【变式训练01】小蚂蚁在数轴上爬，它从A点出发向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为5，则点A表示的数是 ． 知识点七：数轴上的整点覆盖问题 【典例分析07】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（     ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【变式训练01】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练02】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 三、课后巩固 1．下列各数中，正整数是（     ） A． B． C． D． 2．下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数有 个； 3．把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，，，π， (1)有理数集合：{                              } (2)分数集合：{                                } (3)负数集合：{                                } (4)非负数集合：{                              } 4．下列说法正确的是（     ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 5．如图，数轴上点P表示的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 6．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（     ） A． B．1 C． D．3 7．如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ． 8．给出下面六个数： ，1，，，0，． 先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 9．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 10．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm； (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【详解】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 【变式训练01】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），-2025中，有理数有，，0，，-2025，共5个， 故选：C． 【变式训练02】4 【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数是整数和分数的统称逐个判断即可. 【详解】解：所给的数中，0,-5.11,3.151151115,是有理数，有4个，故答案为：4. 【变式训练03】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握有理数的概念.根据有理数的概念依次判断即可. 【详解】解：3.14是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；0是整数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；0.1010010001是有限小数，是有理数；故有理数有4个，故选：D. 【典例分析2】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练01】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式训练02】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【典例分析3】B 【分析】此题考查了有理数，根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：没有最小的整数，故①错误， 0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误， 非负数是正数和0，故③错误， 是无限循环小数，是有理数，故④错误， 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确， 综上可知，错误的说法为①②③④， 故选：B． 【变式训练01】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数． 【详解】解：，9，0，，，，1300中， 属于正数的有：9，3.14，，1300； 属于整数的有：，9，0，1300． 所以既是正数也是整数的是9，1300． 填入数字如下图所示： 【变式训练02】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练03】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数． 【详解】正数集合{8，，，2，，，，　…}； 负数集合{，，，， …}； 整数集合{，8，2，0，， …}； 分数集合{，，，，，， …}． 【典例分析4】见解析 【分析】本题考查的是有理数的分类，直接利用有理数的概念与分类把符合条件的数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：{ ，7， 2024，0， 53，} 分数集合：{， 3.14， ， ，， } 非负数集合：{，7，3.14，2024，0，，，53，} 非负整数集合：{7，2024，0， 53，} 【变式训练01】B 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 【变式训练02】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：正数集合：{π，5，，，19，} 负数集合：{，，，  …} 整数集合：{5，，19，，0．…} 分数集合：{，8.9，，，} 正整数集合：{5，19．…} 负整数集合：{，            …} 非负数集合：{π，5，，8.9，19，，0…} 【典例分析05】D 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练01】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 【变式训练02】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可． 【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键． 【典例分析06】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 【变式训练01】或 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离解答即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为5， ∴点B表示的数为， ∵从A点出发向右移动2个单位后到达点B， ∴点A表示的数为：或． 故答案为：或． 【典例分析07】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 【变式训练01】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【变式训练02】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 三、课后巩固 1．A 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2．5 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，据此求解即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个． 故答案为：5． 3．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．根据有理数的定义及其分类可得． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，1，，0，，，，}； （2）解：分数集合：{，，，，，}； （3）解：负数集合：{，，，}； （4）解：非负数集合：{，1，，0，，，π，}． 4．D 【分析】根据有理数的性质判断求解． 【详解】解：A选项：有理数包括正有理数、负有理数和0，故A错误，不符合题意； B选项：是非负数，故B错误，不符合题意； C选项：正数和0可称为非负数，故C错误，不符合题意； D选项：有理数中有绝对值最小的数， 故D正确,符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的性质，熟练掌握有理数的性质是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 7． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴可以得到被盖住的整数，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为 ， ∴被盖住的整数的个数为， 故答案为： 8．见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值和化简多重符号，在数轴上表示出各数即可； 【详解】解：数轴表示如下所示：    9．(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律即可求解． （2）由数轴上的点的移动规律即可求解． （3）由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （2）因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （3）一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 10．(1)8 (2)14，22 (3)37岁 【分析】（1）根据图象可知3倍的长为（cm），这样长就可以求出来了． （2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）观察数轴可知三根木棒长为（cm），则这根木棒的长为（cm）； 故答案为8． （2）， ． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁）． 【点睛】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄． 8 9 学科网（北京）股份有限公司 $$