第05讲 圆的对称性（知识清单+2易错+3必考题型）考试满分全攻略同步备考系列讲义-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

第05讲 圆的对称性 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略弦所对的弧有两条致错 易错点二 图形不明确时，考虑不全面导致漏解 题型方法 题型一 圆心角、弧、弦之间的关系 题型二 垂径定理 题型三 垂径定理的应用 知识清单 知识点1：圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 （2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 知识点2：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点3：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点4：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 易错分析 【易错点一】忽略弦所对的弧有两条致错 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴ ∴弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为， 故答案为：或 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可． 【详解】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分， ∴弦对应的圆心角的度数为：， ∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：， 故答案为：或． 【变式2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 ． 【答案】100°或260°/260°或100° 【分析】根据半径相等求得，再根据三角形内角和定理求出∠AOB，再求出劣弧，优弧的度数即可． 【详解】解：如图， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝40°， ∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴弦AB所对的弧的度数为100°或260°， 故答案为：100°或260° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆心角与弧的度数的关系，求得圆心角的度数是解题的关键． 【变式3】如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)． 【答案】圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°. 【分析】求弦所对的圆周角，要分情况考虑：当圆周角在优弧上或在劣弧上．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】如图， ∵弦AB分圆周长为1：4 ∴弧AB＝×360°＝72° ∴圆心角∠AOB＝72°，﹣ 圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144° 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦以及圆周角定理，要特别注意弦所对的圆周角应分两种情况． 【易错点二】图形不明确时，考虑不全面导致漏解 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径是1，弦，点C为上的一点（不与点A、B重合），则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意画出对应几何图即可求解． 【详解】解：如图：作    则 ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识点．根据题意画出对应几何图是解题关键． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知的半径为13cm，弦，，则弦之间的距离为（    ） A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm 【答案】D 【分析】过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解：过点O作于点E，延长交于点F，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当在圆心同侧时，如图， ， 当时在圆心两侧时，如图， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论． 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 【变式3】（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离 【答案】1或7 【分析】根据题意画出符合条件的两个图形，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA，根据垂径定理求出CE、AF，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图1，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA、 ∵AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∴由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3， 在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3， 在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4， 即两条平行弦AB与CD之间的距离是4−3＝1； ②如图2，两条平行弦AB与CD之间的距离是3＋4＝7； 综合上述，两条平行弦AB与CD之间的距离是1或7． 【点睛】本题考查了平行线性质，垂径定理，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，注意一定要进行分类讨论啊． 题型方法 【题型一】圆心角、弧、弦之间的关系 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 【答案】D 【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关键，根据得到时解决问题的关键， 由可得，再由等腰三角形的性质可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选C 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 【题型二】垂径定理 【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【答案】D 【分析】根据垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质判断求解即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； D、直径是同一圆中最长的弦，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，关键是根据以上知识点列出关于圆半径的方程． 连接，设的半径长为，得到，，由垂径定理推出，由勾股定理得到，即可求出． 【详解】解：连接，设的半径长为， ， 弦于点，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 【题型三】垂径定理的应用 【例3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∴中， ，， 所以， 解得． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设点O为圆心，过点O作，垂径定理可得，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设点O为圆心，过点O作于C，连接，，    根据垂径定理可得：， ∵直径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长， ， ， 设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米，连接，，，，则， 处乘摩天轮到地面的距离是47米时， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， ， 游客从处乘摩天轮绕一周需15分钟， 游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时最少需要（分钟）． 故答案为：5． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理推论，圆的对称性，弧的定义，根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；根据垂径定理推论，即可判断；根据对称轴是直线，即可判断；根据弧的定义，即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确； 平分不是直径的弦的直径垂直于弦；故不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故不正确； 半圆是弧，故正确； 综上可知正确的有，共个， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点M，，，则的长为（  ） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出，再由已知条件得出圆的半径为5，在中，由勾股定理得出即可，从而得出． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，由垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径，弦于点E， ， ， ， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：， 即的半径为5， 故答案为：5．    7．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，为的内接三角形，为圆心，于点，于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，垂径定理．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论． 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为 ．    【答案】8 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，    根据题意得，D在上，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：8． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，角的和差等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先求得的度数，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为弧中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为 ． 【答案】1.3 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，设拱门所在圆的半径为，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由题意可得：， ∴， 设拱门所在圆的半径为，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分弦的直径平分弦所对的弧作图即可，连接作线段的垂直平分线交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设， ， ， ∵上的点到的大距离为2， ∴，， ∵在△中， ∴， 解得． 所在圆的半径为5． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1) (2)不需要，见解析 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为， 则， 由垂径定理可知，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； （2）解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆的对称性 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略弦所对的弧有两条致错 易错点二 图形不明确时，考虑不全面导致漏解 题型方法 题型一 圆心角、弧、弦之间的关系 题型二 垂径定理 题型三 垂径定理的应用 知识清单 知识点1：圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 （2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 知识点2：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点3：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点4：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 易错分析 【易错点一】忽略弦所对的弧有两条致错 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【变式2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 ． 【变式3】如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)． 【易错点二】图形不明确时，考虑不全面导致漏解 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径是1，弦，点C为上的一点（不与点A、B重合），则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知的半径为13cm，弦，，则弦之间的距离为（    ） A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm 【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【变式3】（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离 题型方法 【题型一】圆心角、弧、弦之间的关系 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【题型二】垂径定理 【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则半径的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【题型三】垂径定理的应用 【例3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点M，，，则的长为（  ） A．4 B．5 C．8 D．16 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ．    7．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，为的内接三角形，为圆心，于点，于点，若，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为 ．    9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则 ．    10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$