第一章 二次函数 全章复习（知识回顾+3重难点题型）考试满分全攻略同步备考系列讲义-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

第一章 二次函数 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 二次函数的应用 题型三 二次函数综合 知识清单 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 知识点02二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点03 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 知识点04二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型方法 【题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意求出抛物线的对称轴，，分类讨论：点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧；点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，进行解答，即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线图象开口向上，对称轴，， ∵，在抛物线对称轴的两侧， ∴当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧； ∴， 即， 解得：，无解； 当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 【变式3】（24-25九年级下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上的三个点． (1)当时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若，，当时，试比较，的大小，并说明理由； (3)若对于，，都有，求b的取值范围． 【答案】(1)和 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标； （1）当时，求出解析式，再令解方程即可求出 （2）将代入解析式得，由得到，对称轴，再根据开口向上时离对称轴越近，函数值越小判断即可； （3）根据对于，，都有得与异号，再根据对称轴的位置判断即可． 【详解】（1）解：当时，将代入解析式得， 解得， ∴解析式为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与x的交点坐标为和； （2）解：将代入解析式得， ∵即， ∴， ∵抛物线对称轴为：直线， ∴离对称轴比更近， ∵抛物线开口向上，故离对称轴越近，函数值越小， ∴； （3）解：∵对于，，都有 ∴与异号 ①若即， ∵当时，必然大于0， ∴ 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； ②若即， ∵当时，必然大于0， ∴当时，， 解得 当时，，解得， ∴， 综上所述，b的取值范围为或 【题型二】二次函数的应用 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 时，每天的销售利润最大，最大利润是 ． 【答案】 55 450元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值．根据题意列出关于x的二次函数并利用顶点坐标求出本题答案． 【详解】解：根据题意：每件商品售价定为x元，日销售量设为y件，设利润为， ∵成本价为40元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件， ∴销售量， ∴， ∴整理得：， ∵， ∴二次函数开口向下，有最大值， 即当时，利润有最大值为：， 故答案为：元 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【答案】(1)作图见解析， (2)能通过 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法． （1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【答案】(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 【题型三】二次函数的综合 【例3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 【答案】 【分析】（1）由，可以求出、、、四点的坐标，将（或）、代入，即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，再利用顶点横坐标代入即可求出点E的坐标； （2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， 联立与，整理得，由韦达定理可得：，，由完全平方公式可得并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，利用过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，可得，建立等量关系求解即可； 【详解】解：∵抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上， ∴设表达式为， ∵，且， ∴，，，， 即：，，，， 将，代入 ，解得： ∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C， ∴设表达式为 将，代入得： ，解得： ∴ 当时， ∴； 故答案为 设过定点的直线表达式为， 将代入得：，即： ∴， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， ∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等， ∴，即： 与联立得： 整理得： ， ∴ 与联立得： 整理得： ， ∴ ∵ 即：， 整理得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数表达式，二次函数的顶点坐标，函数求交点坐标，韦达定理，完全平方公式等知识点，掌握利用点的坐标求出表达式，联立关系式求交点等基本的函数思路，重点是利用截线段相等转化出交点横坐标差的绝对值相等，并利用韦达定理及完全平方公式将数形结合是解题的关键 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1)， (2)存在点，或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． （1）由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为，即可得顶点； （2）设，可得，，，根据是以为斜边的直角三角形，有，即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线，分三种情况：①当，即时，随的增大而减小，可得，②当，即时，时最小值为，这种情况不存在最小值为；③当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： 对称轴为直线，点的坐标为， ， 将，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； （2）解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令得， ， ， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得或， 或； （3）解：由抛物线对称轴为直线，分三种情况： ①当，即时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得（舍去）或， 此时； ②当，即时，时最小值为， 这种情况不存在最小值为； ③当时，随的增大而增大， 时，取最小值， ， 解得（舍去）或， 此时，综上所述，或． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越小进行判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴抛物线上的点距离y轴越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由函数的图象经过点和，从而，可得，从而函数为，再由二次函数的性质，结合，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，函数的图象经过点和， ． ． 函数为． 当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为． 函数的最大值与最小值之和是：． 故选：B． 3．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（   ） A．若向左平移，则 B．若向右平移，则 C．若向上平移，则 D．若向下平移，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线的平移，解决本题的关键是根据抛物线平移的方向与抛物线的性质，利用数形结合的思想找到抛物线与轴的交点的变化规律． 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， A选项：当抛物线向左平移时，则有，， ， 故A选项错误； B选项：当抛物线向右平移个单位长度时，，， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示，当抛物线向上平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故C选项错误； D选项：如下图所示，当抛物线向下平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故D选项正确． 故选：D ． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性，找出点A的对称点，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小． 【详解】解：∵函数的解析式是， ∴对称轴是， ∴点A关于对称轴的点是， 那么点B在对称轴上，点C 、的对称点都在对称轴的右边， ∵， ∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大， ∵ ∴ 故选D 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本， 根据题意得，， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得出对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，其纵坐标越大，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 且抛物线开口向上， ∴ 故答案为： 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图形及其性质．根据抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线与x轴的一个交点的坐标是，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江台州·期末）某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据对称性求得该图象与x轴负半轴交点的坐标，即可求解． 【详解】解：依题意，二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴该图象与x轴负半轴交点的坐标为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的顶点与正方形的顶点同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线解析式，进而表示出点坐标，利用列出方程解答即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为，将代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 设点坐标为，则， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴正方形的边长， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中的四个点：，，，． （1）若抛物线经过点A，B，则函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． （2）若抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法．熟练掌握二次函数的图象与性质，运用分类讨论的方法是解题． （1）先代入点，，求出抛物线的解析式，再根据二次函数的图象与性质解答即可； （2）根据待定系数法，分四种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把，，代入， 解得：， 故此抛物线的解析式为， ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 故当时y随x的增大而增大． 故答案为：； （2）当抛物线经过A，B，C时，依题意，得， 解得：； 当抛物线经过A，B，D时依题意，得， 解得：； 当抛物线经过A，C，D时依题意，得， 解得：； 当抛物线经过B，C，D时依题意，得， 解得：， ∵ 故满足条件的a的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数，）的图象经过点． (1)求常数a和b满足的关系式． (2)若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． (3)当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．分类讨论是正确解答此题的关键． （1）)将点代入二次函数即可求解； （2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，得，解方程即可求出抛物线的表达式； （3）分，两种情况，探究函数的最大值是最小值的2倍时的取值，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，． ．（或均可） （2）解：由（1）得， ∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ． （舍去），． ． （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线， 当， 时，函数取最小值为， 时，函数取最大值为， ． ． 当， 时，函数取最大值为， 时，函数取最小值为， ． ， 或． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数，，为实数，且的图象经过点． (1)求的值； (2)若，当时，此二次函数恒满足随着的增大而减小，求的取值范围； (3)设是该函数图象与轴的一个交点，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点代入函数关系变换形式即可得； （2）根据对称轴关系式与的取值范围即可确定的取值范围； （3）根据根与系数关系确定二次函数与轴的两个交点位置，再根据的取值范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：的图象经过点， ， ， ， ； （2）解：， 二次函数的图象开口向上， 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 当时，二次函数随的增大而减小， ，即， ， ； （3）解：是二次函数图象与轴的一个交点， 当时，， ， 此二次函数与轴的交点一个在正半轴，一个在负半轴， ， ， 当时，， 当时，， ， ， ． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可设二次函数式为，化简即可得出答案； （2）根据二次函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数式为，化简得， ∴，； （2）解：由题意得，对称轴， ∵， ∴当时，，；，， 即当时，． 16．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)的值为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，掌握知识点的应用及分情况讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法得出，求出即可； （）先求出点，由题意得平移后的坐标恰好落在的图象上，然后代入求值即可； （）分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线，点在抛物线上， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（）得二次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：，， ∴点， ∴点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后点的坐标为， ∵平移后的坐标恰好落在的图象上， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为； （3）解：由（）得二次函数的表达式为， 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：（舍去），（舍去）； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：（舍去），（舍去）； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或． 17．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为， (1)求第一象限中的抛物线的表达式； (2)若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． （1）由题意可得顶点坐标为：，再直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案； （2）把代入求解的值，再进一步解答即可求解． 【详解】（1）解：设第一象限的函数为（）， 由题意，可知在图象上，则， 解得，， ∴. （2）解：蜻蜓不会受到影响，理由如下： 令，，   （不合题意舍去）， ∵， ∴蜻蜓在喷水池外，不会受到影响． 18．（22-23九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标． (2)已知点P是x轴上的一点，连接． ①如图1，当点P在线段上时，以为底边向右侧作等腰，若点Q恰好在抛物线上，求点Q的横坐标； ②如图2，作点P关于直线的对称点，连接，，当是直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标； (2)①；②，，． 【分析】（1）将，带入列方程组求解即可； （2）①由（1）可知，如图证设，则 解出，代入解析式求解即可； ②（i）当时，，先求B、C所在的一次函数表达式为：然后求D、所在的一次函数表达式，连接，证得当时，代入直线解析式得求出结果；（ii）当时，D、P所在的一次函数表达式为：求出坐标即可；（iii）当时，设点P的坐标为连接，过点D作，过点P作，勾股定理求出然后在利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：与x轴交于点， 解得： 抛物线解析式为： 当时 抛物线顶点坐标为：； （2）（2）①∵， ∴ 构造如图所示K字形 设，则 ∴， ∴ 解得，（舍去） ∴ ②（i）当时， 可求B、C所在的一次函数表达式为： 设D、所在的一次函数表达式为： 将得 连接， 则 得 当时，， ∴ ∴ （ii）当时， D、P所在的一次函数表达式为： 当时，， ∴ （iii）当时，设点P的坐标为 连接，过点D作，过点P作 ，， ∵，∴， 由， 得 解得 ∴ 【点睛】本题考查了代入法、勾股定理、二次函数的综合应用；根据题意建立模型，利用勾股定理求解是解题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 二次函数 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 二次函数的应用 题型三 二次函数综合 知识清单 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 知识点02二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点03 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 知识点04二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 题型方法 【题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【变式3】（24-25九年级下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上的三个点． (1)当时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若，，当时，试比较，的大小，并说明理由； (3)若对于，，都有，求b的取值范围． 【题型二】二次函数的应用 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件．当x为 时，每天的销售利润最大，最大利润是 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【题型三】二次函数的综合 【例3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（   ） A．若向左平移，则 B．若向右平移，则 C．若向上平移，则 D．若向下平移，则 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 9．（24-25九年级上·浙江台州·期末）某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的顶点与正方形的顶点同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中的四个点：，，，． （1）若抛物线经过点A，B，则函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． （2）若抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最小值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数，）的图象经过点． (1)求常数a和b满足的关系式． (2)若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． (3)当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数，，为实数，且的图象经过点． (1)求的值； (2)若，当时，此二次函数恒满足随着的增大而减小，求的取值范围； (3)设是该函数图象与轴的一个交点，且满足，求的取值范围． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 16．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值． 17．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点O建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为， (1)求第一象限中的抛物线的表达式； (2)若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由． 18．（22-23九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标． (2)已知点P是x轴上的一点，连接． ①如图1，当点P在线段上时，以为底边向右侧作等腰，若点Q恰好在抛物线上，求点Q的横坐标； ②如图2，作点P关于直线的对称点，连接，，当是直角三角形时，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$