精品解析：江西省宜春市十校 2024-2025学年九年级下学期6月联考数学试题

江西省宜春市十校九年级学业水平模拟联考 数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个几何体中，主视图与其它三个不同是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式： __________． 8. 已知有理数，满足：，则整式____． 9. 如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是______． 10. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度约是___________（参考数据：，，． 11. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》，《三国演义》，《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，小红随机抽取两个项目进行阅读，恰好抽到《西游记》和《红楼梦》阅读项目的概率是______． 12. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 14. 先化简，再求值：，且满足，取一个值即可． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标_______； （2）若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______； （3）求的面积． 16. 如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为的中点，连接并延长交边于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为22，，求的长． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求a的值及线段的长； （2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； （3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 19. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，且）． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线在x轴上方，当时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； （3）已知该二次函数图象上有，两点，若对于，，总有，求m的取值范围． 20. 如图，小明在海按高度为的水平观景台上选定一点A，在点A处测得对面C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下： ①【收集数据】：七年级20名学生测试成绩统计如下： 67，58，64，56，69，70，95，84，74，77，78，78，71，86，91，86，86，92，86，70 ②【整理数据】：七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）： 八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 ③分析数据，两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76．9 a b 119．89 八年级 79．2 81 74 100．4 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）请直接写出、的值； （3）请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人； （4）通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可） 22. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省宜春市十校九年级学业水平模拟联考 数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．根据负数的绝对值等于它的相反数即可解答. 【详解】解：的绝对值是 故选：B． 2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 3. 某种感冒病毒的直径是米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：； 故选：D 5. 下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 【详解】解：A、C、D选项的三种几何体的主视图是；B选项的几何体的主视图是． 故选：B． 6. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 已知有理数，满足：，则整式____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件直接可化为，然后两边同时除以即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了代数式求值，由已知条件进行变形是解决本题的关键． 9. 如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等角对等边及线段垂直平分线的性质，根据，得到，然后根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 故答案为：4． 10. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度约是___________（参考数据：，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．设，根据三角函数的定义，在和中，分别求出的值，再根据列方程，求出的值，即可进一步求得答案． 【详解】解：由题意得：， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ， ， 解得：， ， ， ∴图书馆的高度为． 故答案为：． 11. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》，《三国演义》，《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，小红随机抽取两个项目进行阅读，恰好抽到《西游记》和《红楼梦》阅读项目的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为、、、，画树状图找出所有等可能结果，再找出符合题目要求的结果数，根据概率公式即可得解． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为、、、， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中恰好抽到《西游记》和《红楼梦》阅读项目的结果有种可能， 恰好抽到《西游记》和《红楼梦》阅读项目的概率是． 故答案为：． 12. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第1个图案有4个五角星，第2个图案有个五角星，第3个图案有个五角星，第4个图案有个五角星，可得数字变化的规律再根据规律解答即可. 详解】解：第1个图案有4个五角星； 第2个图案有个五角星； 第3个图案有个五角星； 第4个图案有个五角星， 第12个图案有个五角星. 故答案为：37. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． 14. 先化简，再求值：，且满足，取一个值即可． 【答案】，当时，原式或当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ∵，且，， ∴可以取整数或， ∴当时，原式或当时，原式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标_______； （2）若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为_______； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键： （1）根据点和点的坐标，确定平移规则，进而画出，再写出点的坐标即可； （2）根据平移规则确定点P的坐标即可； （3）分割法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由图可知，， ∴点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，如图： 由图可知： 【小问2详解】 由题意，点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴； 【小问3详解】 的面积为：． 16. 如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为的中点，连接并延长交边于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为22，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）证明得，结合得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是菱形； （2）先证明是等边三角形，得；再证明四边形是平行四边形，得，由周长关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些性质与判定是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求a的值及线段的长； （2）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积； （3）将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由题意可得，又两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，如图所示，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． 【小问1详解】 解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为． 令，则，即， 所以， 故． 【小问2详解】 解：如图1所示， 由题意可得， 故的横坐标为的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设． 设直线的表达式为， 则，解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故，解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． 【小问3详解】 解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：，解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则， 的图象沿着直线翻折后如图所示， 是公共角， 根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况， 当时，有， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 【答案】（1）400，见解析 （2）800名 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，（名）， ∴D等级的人数为：（名）， 补全条形统计图如下所示： 故答案为：400； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果， ∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，且）． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线在x轴上方，当时，抛物线在x轴下方，求a，c满足的关系式； （3）已知该二次函数图象上有，两点，若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线对称轴方程直接求解； （2）可得到抛物线经过，将其代入抛物线解析式即可得到a，c满足的关系式； （3）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，总有故当时，y随x的增大而增大，则始终成立，解得；当时，y随x的增大而减小，此时，如解图，要使，则和在对称轴两侧，且直线到直线的距离小于等于直线到直线的距离，即，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，抛物线在x轴上方，对称轴为直线， 由对称性可知当时，抛物线也在x轴上方． 当时，抛物线在x轴下方， 抛物线经过，即； 【小问3详解】 解：对称轴为直线，且， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，， ，总有 当时，y随x的增大而增大，则始终成立， 解得； 当时，y随x的增大而减小，此时， 如解图， 要使，则和在对称轴两侧，且直线到直线距离小于等于直线到直线的距离， 即， 解得 ， 综上所述． 20. 如图，小明在海按高度为的水平观景台上选定一点A，在点A处测得对面C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，） 【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下： ①【收集数据】：七年级20名学生测试成绩统计如下： 67，58，64，56，69，70，95，84，74，77，78，78，71，86，91，86，86，92，86，70 ②【整理数据】：七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）： 八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 ③分析数据，两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76．9 a b 119．89 八年级 79．2 81 74 100．4 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）请直接写出、的值； （3）请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人； （4）通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断理由（两条即可） 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析；（2），；（3）估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人；（4）八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）求出七年级70～80分的人数即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的求解即可； （3）求出七年级成绩优秀的人数所占的百分比即可； （4）根据中位数、众数、平均数的比较得出答案． 【详解】解：（1）20﹣2﹣3﹣5﹣3＝7（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）七年级20名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 因此中位数是77.5，即a＝77.5， 七年级20名学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， 因此众数是86，即b＝86， 答：a＝77.5，b＝86； （3）（人）， 答：全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人； （4）八年级成绩较好，理由为：八年级学生测试成绩的平均数、中位数均比七年级的高，而八年级的方差较小． 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的关键． 22. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面的距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 【答案】（1）“U”型碗池最低点到地面的距离为米 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答； （2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可； ②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称，米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴， 将代入，则， 解得：， 则“U”型碗池最低点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为， ∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反， 设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为， 过点作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵点为斜坡的中点， ∴，即， ∴米，米， ∴米， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴此抛物线的解析式为； ②由①知， ∵， 根据题意：， 解得：； ∴若此次挑战成功，b的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离． 【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2）；理由如下： ， ， 又， ， ； （3）如图，连接，在的上方取点， 使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$