精品解析：浙江省杭州市萧山区城区8校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024学年第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 请同学们注意： 1．试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为110分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 4. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 7. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 9. 已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（ ） A. 若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根 B. 若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根 C. 若是方程甲的解，则也是方程乙的解 D. 若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 13. 已知一组数据：1，2，3，a ， 5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． 14. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 15. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中____________． 16. 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 ______． （2）如图2，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程 （1） （2） 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的． （1）在图1中画一个面积为6的 ． （2）在图2中画一个有一条对角线长等于的． 20. 某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 92 92 23.4 九年级 92 94 29.8 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）； （3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？ 21. 如图，在中，于点，于点，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 24. 某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究． （1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：． （2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：； （3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 请同学们注意： 1．试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为110分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A. ，是最简二次根式，故本选项符合题意 B. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A． 绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形重合，是中心对称图形，故该选项符合题意； C． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16 则这组数据的中位数是16； 故选C． 4. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解． 【详解】解：， 移项：， 配方：， 即：， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点， ∴B与D关于原点O对称， ∵点D的坐标为（2，1）， ∴点B的坐标为（-2，-1）， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，由关于原点对称的点的坐标特征得出点B的坐标是解决问题的关键． 6. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差的定义及加权平均数的计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义． 【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、， ∴这组数据的平均数为， 故选D． 7. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直角三角形面积求法列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 即，故D正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大． 8. 如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 9. 已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（ ） A. 若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根 B. 若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根 C. 若是方程甲的解，则也是方程乙的解 D. 若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或 【答案】D 【解析】 【分析】由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n1=n2=1，可对D进行判断． 【详解】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a＞0， 解得4b2＞4a2， 所以4a2-4b2＜0， 而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2＜0， 所以方程乙没有实数解，故说法A正确； 若方程甲有两个相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a=0， 解得4b2=4a2， 所以4a2-4b2=0， 而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2=0， 所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确； 若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b， 则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0， 解得x1=x2=1， 所以x=1也是方程乙的解，故说法C正确； 若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解， 所以， ①-②得（a-b）n2-2（a-b）n+（a-b）=0， ∵a≠b， ∴n2-2n+1=0， 解得n1=n2=1， 故说法D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵， 即， ∵， ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的有意义的条件，直接利用二次根式的定义，得出，进而得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， 则， 解得：． 故答案为：． 12. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 13. 已知一组数据：1，2，3，a ， 5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数．解题的关键是掌握方差和平均数的定义． 先根据平均数的定义求出a的值，再依据方差的定义求解即可得出答案． 【详解】解：∵1，2，3，a ， 5的平均数为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 15. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中____________． 【答案】最多有一个钝角 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”，应先假设三角形的三个外角中最多有一个钝角， 故答案为：最多有一个钝角． 16. 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 ______． （2）如图2，连接，若，则的长为______． 【答案】 ①. ## ②. 4 【解析】 【分析】（1）过点D作，交的延长线于点H，利用轴对称的性质得到，利用平行四边形的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理求出，利用平行四边形的性质和含角的直角三角形的性质求得线段，利用勾股定理求得，进而求得，则； （2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，利用平行四边形的判定与性质得到，设，利用矩形的判定与性质得到，再利用勾股定理和（1）的结论解答即可得出结论． 【详解】解：（1）过点D作，交的延长线于点H，如图1， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，如图2， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 由（1）知：， ∴， 在中，， 由折叠得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和恰当的添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先混合运算法则，先算除法，再化简二次根式，最后计算二次根式的加减运算即可； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减运算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解： 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，。 【小问2详解】 解： 移项得， 提取公因式得， 则或， 解得，． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的． （1）在图1中画一个面积为6的 ． （2）在图2中画一个有一条对角线长等于的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）结合网格特性，且一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行作图即可； （2）结合网格，得，再结合，得四边形是平行四边形，即可作答． 本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：一条对角线长等于的如图所示： 20. 某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 92 92 23.4 九年级 92 94 29.8 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图； （2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）； （3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？ 【答案】（1）92.5，95， 补全频数分布直方图如图： （2）九年级成绩较好，理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高 （3）360名 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全频数分布直方图； （2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论； （3）由样本估计总体的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， 八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是； 九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即， 九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)， 图如答案所示； 故答案为：92.5；95； 【小问2详解】 解：九年级成绩较好， 理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高； 【小问3详解】 解： (名)， 故该校八年级约有360名同学被评为优秀． 21. 如图，在中，于点，于点，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，，则，由于点，于点，得，，即可根据“”证明，得，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，，得，则，，所以，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 （1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 于点，于点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，，， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为13． 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）根为2，，不是邻根方程 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 24. 某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究． （1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：． （2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：； （3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键. （1）由勾股定理可得出结论； （2）连接，由，可得出结论； （3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线于是证出，由四边形是平行四边形，得到，，分别是，的中点，得到，证出四边形是平行四边形，证得，推出，分别是的中线，由（2）的结论得即可得到结果. 【小问1详解】 如图由勾股定理得： ， ， 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ，， ，， ， ，，， ， 【小问3详解】 解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $