精品解析：江苏省沭阳如东高级中学2024-2025学年高一下学期5月第二次月考数学试卷

高一下学期5月份阶段测试数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法整理成标准式，根据虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则的虚部为. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得正确答案. 【详解】. 故选：D 3. 如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台、圆锥的高均为，再计算体积即可. 【详解】根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图， 所以即为圆台母线与底面所成角，即， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，则四边形为矩形，且， 因为，，， 所以，所以，且， 因为，则， 所以圆台、圆锥的高均为， 所以该工业部件的体积为 . 故选：B. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可 【详解】设，则，故，故，则 故选：D 5. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 4.76 B. 4.52 C. 4.2 D. 3.8 【答案】A 【解析】 【分析】由分层抽样中数据方差的计算公式计算即可. 【详解】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为，两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 故选：A. 6. 已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答. 【详解】取的中点，连接，则，如图，    则，由，得， 又，因此三点共线， 由为的外接圆的圆心，得，即， 所以. 故选：B. 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. 150 B. C. 300 D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角中，，BC＝100，可求出AC，在中由正弦定理求出AM，在直角△MAN中即可求出山高MN. 【详解】在直角中，，BC＝100，可得， 在中，，，则， 由正弦定理有：，即，故， 在直角△中，，可得(). 故选：A. 8. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为中点，为矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积. 【详解】连接，，相交于点， 因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心. 分别取，，的中点M，P，Q， 连接， 则， 且为的中点， 因为，所以， 为矩形，，则有，，， ，，是平面内的两条相交直线， 平面，平面，平面平面， 平面平面， 等腰梯形中，分别为的中点，则有， 所以平面， 则多面体的外接球球心在上， ，平面，平面，则平面， E到平面ABCD的距离为3，则， 当在线段上时，设，则， 在和中，由外接球半径， 有，即，解得， 外接球半径， 该球的表面积. 当在线段的延长线上时，同理可得，此时无解. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，，的平均数为 B. 设a，，则样本数据，，，的方差为 C. 样本数据，，，的平均数为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数与方差的概念逐项计算，即可判断得结论. 【详解】由题意，， 对于A，，，，的平均数为 ，故A正确； 对于B，，，，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D. ，故D不正确. 故选：AB. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【详解】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断. 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数， 右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有. 故答案为：. 13. 如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案. 【详解】 因为中为锐角三角形，所以分别在之间， 因为，， ，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可； （2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）∵，∴，即. 代入，得， 又，则，. 则. . (2)∵，，∴. 又，∴. ∴= =. 由，得. 【点睛】关键点睛：利用凑角得到是解决本题的关键. 16. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面． 【答案】（1） 由平面，得， 又(是正方形)，， 所以平面，所以. （2） 由分别是线段的中点，所以， 又为正方形，，所以，又平面， 所以平面. 因为分别是线段的中点，所以，又平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及诱导公式可得，再利用二倍角公式化简可得，即可求得答案； （2）根据为锐角三角形，求得角C的范围，利用正弦定理表示出，结合三角恒等变换化简可得，结合正切函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由正弦定理可知，结合， ∴ , ∴, ∵，∴，即， ，则， ∴，∴， 则，即. 【小问2详解】 由题意知, 因为是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，， 则 ， 因为，故， 则， 故， 故的取值范围为. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）众数75，中位数70.5，平均数70.2 （3）80；37.5 【解析】 【分析】（1）由前两组频数关系得频率关系解可得，由各组频率之和为求； （2）由最高小矩形底边矩形中点作为众数的估计值，利用中位数左右的直方图面积相等求解中位数，用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得， 又，解得， 所以，； 【小问2详解】 由题知，估计众数为=75； 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为m，则，解得． 由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04， 各组区间中点值分别为55，65，75，85，95， 所以平均数的近似值为， 故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为； 【小问3详解】 由，得：． 又， 所以：， 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即： 方差：. 故剩余8个分数的平均数为，方差为. 19. 如图1，在直角梯形ABFE中，，，，，，点C、D分别在线段BF、AE上，且.将四边形ABCD沿CD折起，使得二面角的大小为（如图2）. （1）证明：平面平面CDEF； （2）求直线AC与平面CDEF所成的角的正弦值； （3）记平面BCF与平面AEF的交线为l，直线l与平面ABCD的交点为G，求点G到平面CDEF的距离. 【答案】（1）证明: 在图1中，，，， ∴四边形ABCD为矩形，∴图2中， ，且平面ADE，平面ADE， ∵平面CDEF，∴平面平面CDEF. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设易得，可得平面ADE，进而求证即可； （2）过点A作，垂足为M，连接CM，由平面平面CDEF可得平面CDEF，可得为AC与平面CDEF所成角，结合及二面角的定义可得，进而求出，再求解即可； （3）延长FE、CD交于点H，连接AH，并延长HA，CB交于点G，可得FG为平面BCF与平面AEF的交线，即G为l与平面ABCD的交点，进而结合条件分析可得点G到平面CDEF的距离为点A到平面CDEF距离的2倍，进而求解即可. 【小问1详解】 略; 【小问2详解】 过点A作，垂足为M，连接CM， 由（1）得平面平面CDEF， ∵平面平面，平面ADE， 平面CDEF，则为AC与平面CDEF所成角， 又∵， 是二面角的平面角，即， 在中，， 又∵，， ∴在中，， ∴直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 延长FE、CD交于点H，连接AH，并延长HA，CB交于点G， 则FG为平面BCF与平面AEF的交线，即G为l与平面ABCD的交点， 且，∴D为CH的中点，， ，∴A为HG的中点， ∴点G到平面CDEF的距离为点A到平面CDEF距离的2倍， ∴点G到平面CDEF的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期5月份阶段测试数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若复数满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 已知，，则（ ） A. 5 B. C. D. 3. 如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 4.76 B. 4.52 C. 4.2 D. 3.8 6. 已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. 150 B. C. 300 D. 8. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，，的平均数为 B. 设a，，则样本数据，，，的方差为 C. 样本数据，，，的平均数为 D. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为__________. 13. 如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 14. 在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 16. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 如图1，在直角梯形ABFE中，，，，，，点C、D分别在线段BF、AE上，且.将四边形ABCD沿CD折起，使得二面角的大小为（如图2）. （1）证明：平面平面CDEF； （2）求直线AC与平面CDEF所成的角的正弦值； （3）记平面BCF与平面AEF的交线为l，直线l与平面ABCD的交点为G，求点G到平面CDEF的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $