精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

天津市南仓中学2024至2025学年度第二学期 高一年级 过程性检测（数学 学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟． 第I卷至1页，第Ⅱ卷至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共36分． 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11.2，3，则它们75%分位数是（ ） A. 10.3 B. 10.4 C. 10.5 D. 10.6 5. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为6的概率是_________． 11. 在中，若有，则角A的大小是________． 12. 如图，已知等腰三角形是一个平面图形直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________． 13. 已知样本数据 2、4、8、的极差为 10 ， 其中， 则该组数据的方差为________. 14. 如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________. 15. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 三、解答题（每题12分） 16 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 17. 已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足. （1）求复数的模； （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 18. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市南仓中学2024至2025学年度第二学期 高一年级 过程性检测（数学 学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟． 第I卷至1页，第Ⅱ卷至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共36分． 一、选择题（每小题4分，共36分） 1 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断. 【详解】因为，， 则，，故A错误，B正确； 又因为，所以与不共线，故C错误； 又因为，，所以，故D错误， 故选：B. 2. 已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 3. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间里面的线线、线面、面面关系逐项分析即可得到答案. 【详解】对于选项A：若，，，则或a与b异面，故A错误； 对于选项B：若，，则，又∵，∴，故B正确； 对于选项C：若，，，则不能确定a，b的关系，故C错误； 对于选项D：若，，则或，故D错误. 故选：B. 4. 一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11.2，3，则它们的75%分位数是（ ） A. 10.3 B. 10.4 C. 10.5 D. 10.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法即可得到答案. 【详解】把数据从小到大排序，得3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1，9.6，10，11.2，12.3，15.9，共有12个数. 因为，所以分位数是第9项和第10项数据的平均数， 即10.6. 故选：D. 5. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出高三年级学生所占比例，由此可求得答案. 【详解】由题意知高三年级学生所占比例为， 故应在高三年级招募的志愿者数目为. 故选：A 6. 如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积. 【详解】由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则， 解得，， 设该三棱锥外接球的半径为，则， 所以． 故选：C． 7. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案. 【详解】由得， 由得， 故， 股癣：A 8. 如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的截面圆即为正三棱柱底面三角形的内切圆，求得截面的半径，再利用球的截面性质求解. 【详解】解：设球半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径， 则， 解得， 由球的截面性质得： ， 解得， 所以球的体积为， 故选：D 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为6的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为6的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得总的基本事件数为个. 点数和为6的基本事件有，，，，共5个. 所以出现向上的点数和为6的概率为. 故答案为：. 11. 在中，若有，则角A的大小是________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据，以及正弦定理角化边化简条件等式，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】由，再根据正弦定理边角互化可知， ，即，且，则. 故答案为： 12. 如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直观图的性质求出直观图的面积，再利用平面图与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可知，为等腰直角三角形，设， 根据勾股定理得，解得， 则直观图中， 则平面图形的面积为. 故答案为：. 13. 已知样本数据 2、4、8、的极差为 10 ， 其中， 则该组数据的方差为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意先求得，再求得数据的平均数，由方差的计算公式求值即可. 【详解】由题意得，所以，所以该组的平均数为， 由方差的计算公式可知：. 故答案为： 14. 如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积. 【详解】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分， 且球是圆锥的内切球， 所以圆锥的底面半径是1，高为，球的半径为， 可以得到， 所以圆锥的体积为， 球的体积为， 所以阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目. 15. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，确定两点坐标，设设，用坐标法求得数量积，结合函数性质得最小值，并由数量积的坐标表示求得，然后由平方关系得正弦值． 【详解】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 又中，，从而， 所以，即， 设， 则， 所以时，取得最小值， 此时，则， ，又， 所以， 故答案为：； 三、解答题（每题12分） 16. 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义以及向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，再由数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 则， . 【小问2详解】 由可得，即， 即， 所以，且，所以， 即与的夹角为. 17. 已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足. （1）求复数的模； （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【解析】 【详解】分析：（1）设复数，则，由题意得，再根据复数相等即可求解. （2）由（I）化简得，再由复数在复平面内对应的点在第一象限，列出方程组即可求解. 详解：（1）设复数，则， 于是，即， 所以，解得，故. （2）由（I）得， 由于复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得. 点睛：本题主要考查了复数的运算，以及复数相等和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的基本概念和复数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 18. 如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，由此能证明平面． （2）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面． （3）取中点和中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角大小． 【小问1详解】 证明：连接，在中， 和分别是和的中点，， 又平面，平面， 平面． 小问2详解】 证明：，为中点，， 平面，，平面， ，又，平面，平面， 【小问3详解】 解：取中点和中点，连接，，， 和分别为和的中点，且， 且，四边形是平行四边形， 且， 又平面，平面， 即为直线与平面所成角， 在中，可得，， ，，且， 又由，， 在中，， 在中，， ，即直线与平面所成角的大小为． 19. 为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 【答案】（1）；71.5分； （2）80； （3）88.667分. 【解析】 【分析】（1）根据总频率为1即可求a值；根据频率封闭直方图中平均数的计算方法即可计算平均数； （2）（3）根据百分位数的计算方法即可计算. 【小问1详解】 由,解得. , 故本次数学测试成绩的平均分为71.5分. 【小问2详解】 因为[80,100]的频率为0.15+0.01=0.25, 故样本成绩的第75百分位数为80. 【小问3详解】 设受嘉奖的学生分数不低于分. 因为对应的频率分别为, 所以,从而,解得, 故受嘉奖的学生分数不低于88.667分. 20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； 【小问2详解】 由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； 【小问3详解】 由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$