精品解析：河南省实验中学2025届高三全真模拟数学试卷

2025年普通高等学校招生统一模拟考试 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据集合交并补运算即可得到答案. 【详解】对于集合，由得，所以或， 所以． 故选：D． 2. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可． 【详解】因为 ， 所以当时，函数取最小值， 函数的最小正周期为． 故选：C 3. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求． 【详解】由已知得，化简得. 故选：A. 4. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②， 由①②知，， ，所以与的夹角为. 故选：B 5. 设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为，由勾股定理可得，根据，利用余弦定理可得，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设双曲线的一条渐近线为，即， 点到渐近线的距离为， 所以， 在中，， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 整理可得，所以. 故选：. 6. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得梯形的外接圆的圆心为的中点，据此计算可求外接球的体积. 【详解】因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，所以， 所以的外心是的中点，连接，可得四边形是平行四边形， 所以，从而是梯形的外接圆的圆心， 过作平面，为四棱锥的外接球的球心， 因为平面，又平面，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以球的体积. 故选：B 7. 已知函数，则的最小值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，结合及，得到，最后应用基本不等式求的最小值. 【详解】由，则在R上单调递增，且， 所以有，有，又恒成立， 所以有，有，易知， 所以，而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则下列选项正确的是（） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则曲线为椭圆 C. 若，则曲线的实轴长为 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则焦点到渐近线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，求出曲线的方程，根据公式计算离心率即可；对于B，当时，该方程不表示椭圆；对于C，求出曲线的方程即可知道实轴长；对于D，根据点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A，当时，则，离心率，故A正确； 对于B，当，即时，曲线C为圆，故B错误； 对于C，当时，由得：，实轴为，故C正确； 对于D，将原方程化为：，焦点到渐近线距离为 （），故D错误． 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 函数存在无穷多个零点 C. D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用函数周期的定义验证即可；对于选项B，判断在一个周期内是否有零点，即可判断函数在实数集上的零点个数；对于选项C，直接代入解析式验证是否相等即可；对于选项D，找出三个满足条件的的值，即可判断正确性. 【详解】对于选项A： 因为 ， 所以是以为周期的函数，A正确. 对于选项B： 因为的周期为，所以研究在区间上的正负， 当时，. 因为，所以在上恒成立； 当时，. 设，，则， 当时，有最大值1， 当时，，且时，. 可知的最小值为. 综上所述，在上的取值均大于0，没有实数根， 结合的周期为，可知在上没有零点，所以B错误. 对于选项C： . . 所以，所以C正确. 对于选项D： 由C可知，当时，为偶函数，符合题意； 当时，为偶函数，符合题意. 当时，为偶函数，符合题意. 而，所以至少存在三个不同的实数，使得为偶函数. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 曲线的方程为 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线上的点到轴的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过已知条件化简方程，利用曲线上的点满足方程来确定参数的值，再根据对称点的性质判断曲线的对称性，最后通过特定条件求解曲线与坐标轴相关的最值. 【详解】由题知，化简得， 由图象知，点在曲线上，所以，解得， 所以曲线的方程为，故选项A正确，选项B错误； 曲线上的点关于直线对称的点为， 因为，曲线关于直线对称，故选项C正确； 当时，，解得或，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为，故选项D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若，，则当取得最小值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可确定最小值，由取等条件可得结果. 【详解】， （当且仅当，即时取等号）， ，则，即（当且仅当时取等号）， . 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，，，则________________，________________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】通过赋值，，可求第一空，通过赋值，得到，进而得到，确定周期，进而可求解. 【详解】令，，得，∵，∴． 令，得， ∴（*）， ， ∴， ∴， ∴是一个周期为6的周期函数， 由（*），可得， ， ， ， ∴， 故答案为：0； 14. 将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】三角形三边上的数字之和可能为，分类讨论，结合列举法、分类加法、分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将1，2，3，4，5，6填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6!种. 设每条边上的3个数之和为，则， ，所以，解得. ①当时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3， 如图（1）.此时共有填法种； ②当时，设3个顶点所填的3个数之和为， 则. 而，，， 则3个顶点所填的3个数只能为，或. 当3个顶点所填的3个数为时， 由于顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10， 从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法， 同样道理，3个数为时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5， 如图（2），此时共有填法种； ③当时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法种； ④当时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法种. 综上，满足条件的填法共有种，故所求的概率为. 图（1） 图（2） 【点睛】方法点睛：元素较少的排列组合问题可以考虑枚举法；特殊位置优先排，例如本题中，可以先考虑3个顶点的排法，再考虑剩余3个位置的排法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为， （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （3）又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，，，， 其回归直线方程为，其中，. 【答案】（1） （2）， （3）指数函数模型拟合效果更好. 【解析】 【分析】（1）方法一：设关于的回归直线方程为，由条件求，，，，再由公式求，，由此可得结论； 方法二：由条件可得，，结合关于的回归直线方程为，可求结论； （2）由条件可得，设，，，则，利用公式求，由此可得结论； （3）结合（1），（2）分别求当时，两个回归方程对应的残差，比较残差的大小判断结论. 【小问1详解】 方法一：设关于的回归直线方程为， 由已知，， ， ， 所以， ， 所以关于的回归直线方程为， 方法二：因为关于的回归直线方程为， 因为，， 所以，， 则， 所以关于的回归直线方程为， 【小问2详解】 若用指数型函数模型拟合与的关系，则有， 设，，， 则， ， ， 所以， 所以， 所以关于的回归方程为， 【小问3详解】 由（1）关于的回归直线方程为， 所以时，， 残差为， 由（2）关于的指数函数模型的回归方程为， 所以时，， 残差为， 因为，所以指数函数模型拟合效果更好. 16. 已知数列满足，，． （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明:，， 将等式的两边同时除以，可得． ，. 是首项为，公差为的等差数列； （2）. 【解析】 【分析】（1）将变形为，即可根据等差数列的定义证明为等差数列； （2）由（1）先得到的表达式，进而得到的表达式，令，先根据错位相减求出其前项和为，再根据分组求和即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得， ，， 令，其前项和为， 则， ， 两式相减得 ， ，． 17. 已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． （1）求抛物线的方程； （2）当轴时，求直线的斜率； （3）求证：为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2） （3） 由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径，根据抛物线的准线与圆相切求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据轴可求出的值，由此可得出直线的斜率； （3）利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设点、、， 显然直线的斜率不为零， 设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. 【小问3详解】 略 18. 已知函数，． （1）已知在处的切线斜率为，求实数的值； （2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）当时，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 当时，，， 则，由可得，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 又因为，， 因为关于的方程有个不相等的实数解， 则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，当时，， 则恒成立， 令，则，因为，， 所以对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 所以， 因为对任意的恒成立，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 19. 如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． （1）求证：平面； （2）当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； （3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 【答案】（1） 在梯形中，因为，所以翻折后有，且， 因为平面，平面， 故平面，同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，在梯形中，，，即， 且，所以翻折后有，，且， 所以平面，同理，平面， 由二面角的大小为，得， 过点作的垂线，交直线于，由平面，平面， 所以，且，所以平面， 即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. 【小问3详解】 过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴 正方向建立空间直角坐标系，则，， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生统一模拟考试 高三数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 3. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的最小值为（    ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则下列选项正确的是（） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则曲线为椭圆 C. 若，则曲线的实轴长为 D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则焦点到渐近线的距离为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 函数存在无穷多个零点 C. D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数 11. 在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 曲线的方程为 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线上的点到轴的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若，，则当取得最小值时，__________. 13. 已知函数的定义域为R，，，则________________，________________． 14. 将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为， （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （3）又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，，，， 其回归直线方程为，其中，. 16. 已知数列满足，，． （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． （1）求抛物线的方程； （2）当轴时，求直线的斜率； （3）求证：为定值，并求出该定值． 18. 已知函数，． （1）已知在处的切线斜率为，求实数的值； （2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围． 19. 如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． （1）求证：平面； （2）当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； （3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $