精品解析：河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第八章～第十章第1节10.1.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 2. 采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A. B. C. D. 3. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上、下底面直径长分别为2，8，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 10. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________. 9 a 7 b c d 4 e 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． （1）求这组样本的平均数和方差； （2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 16. 如图，圆锥的体积为，高为底面圆周上的一点，． （1）求圆锥的底面半径； （2）若圆锥的顶点和底面圆周上的点均在同一个球面上，求该球的表面积； （3）求直线与所成角的大小． 17. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 18. 如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第八章～第十章第1节10.1.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 2. 采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单抽样每个个体被抽到的概率相等，即可求解. 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是． 故选:C． 3. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 4. 已知圆台的上、下底面直径长分别为2，8，高为4，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台体积公式，结合已知条件代入公式即可. 【详解】圆台的体积． 故选：C. 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可. 【详解】对于A，若，，，当m，n都平行于，的交线时， 满足条件，此时，相交，故A错误； 对于B，若，，，则m，n可能异面，故B错误； 对于C，若，，，则，故C正确； 对于D，若，，，则m，n可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解. 【详解】正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则BD⊥AC，BD＝，， 正三棱柱的体积， 平面ABC，BD平面ABC，则BD， 又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面， ， 则四棱锥的体积． 故选：B． 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差定义可判断A正确，将数据按从小到大排序由中位数、平均数、百分位数定义计算可得C错误，BD正确. 【详解】对于A，这10天日均值的最大值为80，最小值为30，所以极差为，故A正确； 将10天中PM2.5日均值按从小到大排序为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80， 所以这10天中PM2.5的日均值的中位数为，故B正确； 这10天中PM2.5的日均值的平均数为 ，故C错误； 因为为整数，所以这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为第8个和第9个数的平均数，即为，故D正确． 故选：ABD． 10. 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件；从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签5；事件：抽取的两个号签和为4；事件：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题意将的值求出来进行判断即可；对于选项B，首先列出满足事件的情况种数，然后除以总的情况数，即是概率值；对于选项C，可将事件的情况数一一列举出来，看是否与事件互斥；对于选项D，先求出，然后除以总情况数就是概率值. 【详解】根据题意，样本点有 ，，种可能的结果， 则，所以，A正确； 事件包含的样本点有，共3种可能的结果，则，B正确； 事件包含的样本点有， ，共15种可能的结果， 显然事件与不互斥，C错误；，D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】过点作，垂足为，求得判断A；设为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角的平面角为，求解可判断B；点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，计算可判断C；由题意可得点只有落在上，才有可能取得最小值；求得最小值判断D. 【详解】如图1，过点作，垂足为，则四棱台的高为， 因为，所以，所以，A正确； 设为四边形ABCD对角线的交点，则为BD中点，．由， 知，所以二面角的平面角为， 又，所以为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确； 由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内， 易知点到边AB，AD的距离都为），所以动点的轨迹长度是，C错误； 由图1易得平面， 故平面，不妨设落在图2的（在外）处， 过作，交于，则平面平面， 故，故在Rt中，（直角边小于斜边）； 同理，，所以， 故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图3，易知， 和都为正三角形，关于的对称点为， 可知，即与重合时，有最小值，D错误． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得. 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________. 9 a 7 b c d 4 e 6 【答案】## 【解析】 【分析】将试验的结果表示出来，然后用符合要求的试验数除以试验总数可求得结果. 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5 b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3 d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 共有种等可能的结果，其中的结果有种， 所以的概率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分，． （1）求这组样本的平均数和方差； （2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差． 【答案】（1）样本平均数为，样本方差为． （2）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平均数以及方差的计算公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由平均数与方差的性质即可得到结果. 【小问1详解】 样本平均数为． 样本方差为． 【小问2详解】 因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，所以改进后生产的产品评分的平均数， 方差为． 16. 如图，圆锥的体积为，高为底面圆周上的一点，． （1）求圆锥的底面半径； （2）若圆锥的顶点和底面圆周上的点均在同一个球面上，求该球的表面积； （3）求直线与所成角的大小． 【答案】（1）1 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积公式可求得底面半径. （2）首先根据题意确定球心的位置，然后根据勾股定理即可求得球的表面积. （3）首先作出辅助线确定直线与所成的角，然后根据余弦定理、边角关系即可求得角的大小. 【小问1详解】 因为圆锥的高，体积为，底面半径为，则，解得． 【小问2详解】 由圆锥的几何性质可知，球心在直线上，设球半径为， 则有，解得，所以球的表面积． 【小问3详解】 如图，连接，取中点，过点作，垂足为，连接， 则平面， 所以为直线与所成角或其补角． 在直角中，，所以． 在中，， 由余弦定理，得． 因为平面平面，所以，所以． 在中，由余弦定理，得，所以， 所以直线与所成的角为． 17. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. 【小问2详解】 由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. 【小问3详解】 由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 18. 如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）存在，的长为或，理由如下： 由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $