10.1.1 空间的点、直线与平面（题型专练）数学沪教版2020高二必修第三册

10.1.1空间的点、直线与平面 题型一 平面的概念及集合语言和符号表示 1．下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 2．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 3．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内， 符号表达为：，， 故选：C 4．点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合结合元素、集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 5．“点在平面上”用集合符号表示是 . 【答案】 【详解】“点在平面上”用集合符号表示为： . 故答案为：. 6．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 7．平面是从现实世界的一些物体中抽象出来的几何概念．它没有 ，是向四周 的． 【答案】 厚度 无限延展 【详解】略 8.用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 题型二 空间位置关系作图 1．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 2．画法：通常画一个 表示一个平面． 【答案】平行四边形 【分析】略. 【详解】略. 3．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         4．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：   题型三 平面分空间的数量 1.三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 2．一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 【答案】8 【详解】根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面， 利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面切一刀贯通，如下图所示：    这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块. 故答案为：8 3．1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 题型四 平面基本性质及其辨析 1.下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 【答案】D 【详解】两条相交直线确定一个平面，故A错误． 当，，三点在同一条直线上时，平面与可以不重合，故B错误． 三棱柱的三条侧棱两两平行，但这三条侧棱不共面，故C错误． 由直线在平面内，且与平面交于点可知点既在平面内，又在平面内，则点在平面与平面的交线上，故D正确． 故选：D. 2.已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 3.下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 4.已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【答案】C 【详解】若两两相交，当相交于同一点上时，不一定共面，故两两相交不能推出共面， 若共面，可能彼此平行，故共面不能推出两两相交， 所以两两相交是共面的既不充分也不必要条件. 故选：C. 5.下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 【答案】1 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 题型一 点（线）确定平面数量问题 1.空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【详解】因为过直线外一点可作一条直线与已知直线平行， 而过所作直线的平面与已知直线平行，则有无数个平面， 所以过直线外一点和这条直线平行的平面有无数个， 故选：D. 2.空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 3.空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 4.A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 【答案】5 【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面， 故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面，平面，平面，平面， 平面，共5个平面. 故答案为：5 5.三条直线两两平行可以确定 个平面． 【答案】1或3 【详解】解：三条直线两两平行， 若这三条直线在同一个平面上，则可以确定1个平面， 若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面， 综上所述可以确定一个或三个平面， 故答案为：1或3． 题型二 空间中共线、共面、共点问题 1.在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 2.如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 3.如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 4.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 5.如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 6.在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 1.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 2.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 3.在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 4.正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.1空间的点、直线与平面 题型一 平面的概念及集合语言和符号表示 1．下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 2．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 3．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 4．点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 5．“点在平面上”用集合符号表示是 ． 6．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 7．平面是从现实世界的一些物体中抽象出来的几何概念．它没有 ，是向四周 的． 8.用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 题型二 空间位置关系作图 1．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 2．画法：通常画一个 表示一个平面． 3．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． .   4．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．   题型三 平面分空间的数量 1.三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 3．1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 题型四 平面基本性质及其辨析 1.下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 2.已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3.下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 5.下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为 个． 题型一 点（线）确定平面数量问题 1.空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 2.空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 3.空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 4.A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 5.三条直线两两平行可以确定 个平面． 题型二 空间中共线、共面、共点问题 1.在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 2.如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 3.如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 4.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 5.如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 6.在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 1.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 2.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 3.在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 4.正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$