河北省承德市高新区第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

河北承德高新区第一中学 2024—2025学年第二学期高二年级数学5月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 2.已知，等于（ ） A. B. C. D. 3.行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 4.已知数列满足，（），则（ ） A. B. C. D. 2 5.已知函数在区间上是增函数，实数的取值范围为(　 　) A. B. C. D. 6.若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1) 7.年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）（其中，，） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 8.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 10.关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 11.对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________． 13.若，则______． 14.已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 16.（本小题15分）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理如表所示. 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． (1)求该超市A水果日需求量n(单位：千克)的分布列； (2)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列． 17.（本小题15分）设函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）求函数的极值. （3）若时，，求实数的取值范围. 18.（本小题17分）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； （3）设求数列的前项和. 19.（本小题17分）给定函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数. 参考答案： 1.【答案】D 【解析】根据组合数的性质可知，或，得或，经检验符合条件等式， 2.【答案】B 【解析】根据条件，由概率乘积公式得. 3.【答案】B 【解析】已知位同学排成两排，每排人.这等价于对个不同元素进行全排列，即从个不同元素中取出个元素的排列问题.根据排列数公式 ，这里， ，排列种数为.所以不同的排列种数是 ，答案选B. 4.【答案】A 【解析】 由已知，当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 可知，，，，所以数列是以为周期的周期数列，即（）. 因为，余数为，这说明刚好是第个周期的最后一项，与的值相等.由前面计算可知，所以. 5.【答案】D 【解析】对函数求导，根据求导公式可得.因为在区间上是增函数，所以在区间上恒成立，即在上恒成立.变形可得在区间上恒成立. 根据均值不等式（，当且仅当时等号成立 ），对于（ ），有，当且仅当时取等号.所以，答案选D. 6.【答案】C 【解析】依题意，求导得，，令，解得或；令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．所以当时，取得唯一的极小值，当时，，解得或，所以要使函数在(,)内存在最小值，则，解得． 7.【答案】B 【解析】2014-2020年投入资金成等差数列，首项（万元），公差（万元）. 根据等差数列通项公式，2020年投入资金（万元）. 2021年起投入资金成等比数列，首项（万元），公比. 2014-2020年投入资金和，根据等差数列求和公式，. 2021-2024年投入资金和，根据等比数列求和公式，. 到2024年底投资总额为（万元）. 8.【答案】A 【解析】已知命题“”为真命题，即对于区间内的任意，不等式恒成立.移项可得在上恒成立，所以要小于等于在上的最小值.对函数求导，得. 因为时，，，所以，函数在上单调递增. 所以当时，函数取得最小值，. 由于，而，所以，即实数的取值范围是. 9.【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，故选项A正确； 对于选项B，该零件时次品的概率为，故选项B正确； 对于选项C，若零件是次品，结合选项B则出自于乙加工的概率为，故选项C不正确； 对于选项D，若该零件是次品，则出自于甲加工和丙工厂的概率分别为和所以甲乙丙的罚款额之比为，故选项D正确. 10.【答案】ABD 【解析】对于选项A，令，代入二项式，可得展开式的所有系数和为. 对于选项B，因为二项式指数为偶数，所以中间项的二项式系数最大，即第项二项式系数最大.对于选项C，二项式展开式通项为.令，解得，所以展开式中含项. 对于选项D，令，解得.则展开式中常数项为. 11.【答案】AB 【解析】函数的定义域为.对求导，根据除法求导法则（其中，；，）可得：. 分析选项A:令，即，因为，所以，解得. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.所以在处取得极大值，也是最大值，，选项A 正确. 分析选项B:令，因为，所以，解得，即只有一个零点，选项B 正确. 分析选项C:因为，且在上单调递减，所以，选项C 错误. 分析选项D:若在上恒成立，即在上恒成立. 令，对求导得. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.所以在处取得极大值，也是最大值，，则，选项D 错误. 12.【答案】 【解析】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值， 函数有3个零点，转化为方程有3个实数根， 即与有3个交点，表示斜率的直线， 如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时， 当直线与相切时，设切点 ，解得：，， 如图，满足条件的的取值范围是. 13.【答案】 【解析】展开的通项为，其中r+s+t=5，因为为展开式中的系数，所以2r+s=5，即t=0， 所以 或， 所以. 14.【答案】 【解析】依题意，P(X＝n)＝a，由分布列的性质得(X＝n) ＝a＝＝1，解得a＝. 15.【答案】解：（1）二项展开式的通项公式为，， 二项式系数最大为，即为中间项，； （2），，当时，为整数，该项为有理项，所以取值集合为； （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数绝对值最大的项为第项和第项. 16.【答案】解　(1)n的分布列为 (2)若A水果日需求量为140千克， 则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)， 所以P(X＝680)＝P(n＝140)＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克， 则X＝150×(15－10)＝750(元)，所以P(X＝750)＝1－0.1＝0.9. 则X的所有可能取值为680,750， 故X的分布列为 17.【答案】解：(1)当时，函数，所以， 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)， 当时，所以函数在上单调递增，无极值， 当时，令，则；令0，则, 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，无极大值， 所以当时，函数无极值， 当时，函数有极小值，无极大值. (3)因为，所以， 当时，，即， 所以在上单调递增，而，所以符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，令，，则， 所以在单调递增，且，所以.综上所述,实数的取值范围是. 18.【答案】解：（1）根据题意，由于，则①； 又有，，成等比数列，则②， 联立①②且，解得，，则， 故数列的通项公式为. （2）因为 ， 所以 ，则； （3）因为， 所以③， ④， 则③-④得， ，综上可知. 19.【答案】解：（1）对求导，根据乘积求导法则，其中，，，，可得. 令，即， 因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，在上单调递减； 当时，，，则，在上单调递增. 所以时，取得极小值，，无极大值. 当时，； 当时， . （利用洛必达法则，），. 结合在单调递减，在单调递增，极小值为，可画出大致图象.（2）函数的大致图象，如图所示： （3）由（1）（2）可知的最小值为. 当时，直线与的图象无交点，方程的解的个数是； 当时，直线与的图象有个交点，方程的解的个数是； 当时，直线与的图象有个交点，方程的解的个数是； 当时，直线与的图象有个交点（等），方程的解的个数是； 当时，直线与的图象有个交点，方程的解的个数是. 第4页 共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$