2025年高二数学秋季开学摸底考（广东专用）

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1页（共 4页） 试题 第 2页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教 A 版 2019 必修第二册 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．若复数 1 3i 1 i z   （i为虚数单位）的共轭复数为 z ，则 | |z （ ） A． 5 B． 6 C．3 D． 10 2．已知正四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的上下底面边长分别为 2和 4，侧棱长为 2 5，则此正四棱台的体积为 （ ） A． 56 5 3 B． 28 2 C． 28 19 3 D．28 5 3．一组数据按从小到大的顺序排列为 1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的 5 8 ，则 该组数据的第 60百分位数是（ ） A．6 B．7.5 C．9 D．9.5 4．为了了解我校报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，作出频 率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1: 2 :3，且 第 1小组的频数为 6，则报考飞行员的学生总人数是（ ） A．48 B．60 C．72 D．76 5．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字 1到 8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数 字依次为 1 2,x x ，事件 A： 1 3x  ，事件 B： 2 6x  ，事件 C： 1 2 9x x  ，则（ ） A．A，B互斥 B． A B C C．        P ABC P A P B P C D．A，B，C两两独立 6．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶 P的仰角为 45，沿倾斜角为15的斜坡向 上走了600m到达 B点（ , , ,A B P Q在同一个平面内），在 B处测得山顶 P的仰角为 60o，则青城山的山高 PQ为（ ） A．  300 6 2 m B．  300 6 2 m C．  600 3 1 m D．  600 3 1 m 7． ABCV 中， 3sin 2 3 ABC  ，点D在线段 AC上，且 3 , 3AD DC BD  ，则 ABCV 面积最大值为（ ） A．4 2 B． 6 2 C．6 3 D． 4 3 8．正四棱锥外接球的表面积为 1S ，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为 2S ，则 1 2 S S 的 取值范围为（ ） A． 2 1,6   B． 4,3 2 2   C． 4, D． 3 2 2,   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 i为虚数单位，在复平面内，复数 2i 2 i z   ，以下说法正确的是（ ） A．复数 z的虚部是 4 5 B．|z|=1 C．复数 z的共轭复数是 2 4 i 5 5 z    D．复数 z对应的点位于第一象限 10．在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D发生的概率分别是 0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法 错误的是（ ） A． A B 与 C是互斥事件，也是对立事件 B． B C 与 D是互斥事件，也是对立事件 C． A C 与 B D 是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B C D  是互斥事件，也是对立事件 11．在等腰梯形 ABCD中， / /AB CD， 2DA DC  ， 4AB  ，点 P是梯形 ABCD内部一点（不含边界）， 且满足  , RAP AB AD         ，则下列说法正确的是（ ） A．若 0PA PB PC PD         ，则 3 1, 8 2    B．当 2  时， PB  的最小值为 2 试题 第 3页（共 4页） 试题 第 4页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … C．若 2 1   ，则 PBC△ 的面积为定值 3 D．若 2 24 2 1     ，则 PC  的最小值为 2 3 2 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12． ABCV 用斜二测画法得到的水平直观图 1 1 1A BC△ 是边长为 2的正三角形.则 ABCV 的面积是 . 13．若 4个数据的平均值为 6，方差为 5，现加入数据 8和 10，则这 6个数据的方差为 ． 14．在棱长为2的正方体 1 1 1 1ABCDABC D 中，E为棱BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足 1 1B P D E ， 则点 P的运动轨迹的周长是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设 1z ， 2z 均为复数，在复平面内，已知 1z 对应的点的坐标为 2( 4 3, 1)m m m   ，且 2z 对应的 点在第一象限． (1)若复数 1z 为纯虚数，求实数 m的值； (2)若 2 3z  ，且 2z 是关于 x的方程  2 22 1 0x ax a a    R 的一个复数根，求 2 2 iz z  ． 16．（15分）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了 100名学生，统计了他们某一 周的综合体育活动时间（单位：时），并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]将样本数据分成 6组，制 成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生 中至少有一人每周综合体育活动时间不低于 8小时的概率． 17．（15分）如图，在 ABCV 中，点D， E分别是BC， AB的中点，点 F在线段 BD上且是靠近 B点的一 个三等分点， AF 交ED于点G， EC交 AD于点O． (1)用 AB  和 AD  表示 AF  ； (2)若EG ED   ，求实数 ； (3)过点O的直线与边 AB，BC分别交于点S，T，设四边形DEST的面积为 1S ，梯形 AEDC的面积为 2S ， 求 1 2 S S 的最小值． 18．（17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB 底面 ABCD，底面 ABCD为矩形，PA PB ，O为 AB的中点，OD PC ． (1)求证：OC PD ； (2)若 PD上存在点 M，使得OM ∥平面 PBC ，求 PM PD 的值 (3)若 PD与平面 PBC所成角的正弦值为 6 , 2 3 AB  ，求四棱锥的 P ABCD 的体积． 19．（17分）在斜三角形 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，记 a b c   （ 1  且 2 ） (1) 2  时，若 1 2 CA CB ab    ，求 sin sinA B 的值； (2)   3sin sincos cos sin A BB A C C    ，C为钝角，求角C与  的最大值； (3)若 4  ， ABCV 的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，求 r R 的最大值. 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，棱台的高，表示上下底面面积， 所以棱台的体积. 故选：B 3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．7.5 C．9 D．9.5 【答案】C 【详解】这组数据一共8个数，中位数是，极差为， 所以，解得， 又，则第60百分位数是第5个数据9． 故选：C． 4．为了了解我校报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，作出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，且第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生总人数是（    ） A．48 B．60 C．72 D．76 【答案】A 【详解】设第一小组的频率为，则， 解得， 故总人数为， 故选：A. 5．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 【答案】D 【详解】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误； 对于B：事件发生，不一定发生，故B错误； 对于C：根据题意，， 所以，，故C错误； 对于D：由，， 所以A，B，C两两独立，故D正确， 故选：D. 6．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米. 故选：A. 7．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有，所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B. 8．正四棱锥外接球的表面积为，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，底面的中心为，外接球的球心为， 外接球半径为，内切球半径为，则有， ，解得， 正四棱锥的体积和表面积分别为 ，， 则， 则，设， 则， 等号当且仅当，即时成立．所以， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B．|z|=1 C．复数z的共轭复数是 D．复数z对应的点位于第一象限 【答案】AD 【详解】， A.复数z的虚部是，故A正确； B.，故B错误； B.复数z的共轭复数是,故C错误； D. 复数z对应的点是，复数z对应的点位于第一象限，故D正确. 故选：AD 10．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥，但是，所以不是对立事件，故A错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥，但是，所以不是对立事件，故B错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥，又因为，所以是对立事件，故C错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥，又因为，所以也是对立事件，故D正确． 故选：ABC 11．在等腰梯形ABCD中，，，，点P是梯形ABCD内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为2 C．若，则的面积为定值 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】如图：取中点，连接，，. 因为梯形为等腰梯形，，，，所以，，均为等边三角形. 对A：因为，所以， 所以， 所以.故A正确； 对B：当时，，所以点在直线上. 在中，，，所以，且. 所以若，则与重合，这与点是梯形内部一点（不含边界）矛盾，故B错误； 对C：若，则， 所以.所以点在线段上. 因为，且两直线的距离为. 所以的面积为定值，为，故C正确； 对D：根据平面向量的数量积的定义可得：. 因为， 所以， 即. 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆位于梯形内部的圆弧（圆心角为的扇形弧），又，所以.故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12． 用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是 . 【答案】 【详解】已知直观图是边长为的正三角形， 所以的面积直. 所以的面积为. 故答案为： 13．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 ． 【答案】/ 【详解】设原来4个数据依次为，，，，则， 因为方差为5，所以， 即， 所以， 则． 现加入数据8和10，则其平均数为， 则这6个数据的方差为 ． 故答案为： 14．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则点P的运动轨迹的周长是 . 【答案】 【详解】如图，取的中点F，连接并延长，BC， 设，连接AG，设，连接FM，. 因为四边形为正方形，且E为BC中点，F为中点， 所以，又（平面）， 且平面，平面，， 所以平面，故， 又平面，进而有， 由此可得平面，则点P的运动轨迹周长为四边形， 由相似得为DC中点，则， ，，所以四边形周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求． 【详解】（1）∵对应的点的坐标为， ∴，其中， 2分 ∵复数为纯虚数， ∴，解得， ∴． 5分 （2）∵， ∴，解得， 即关于x的方程的两根分别为， 8分 ∵对应的点在第一象限， ∴，且， ∵， ∴，解得或，由，则， 10分 ∴，即共轭复数， ∴． 13分 16．（15分）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【详解】（1）第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为， 2分 故补全频率分布直方图如下： 4分 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 7分 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． 9分 （2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 12分 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 15分 17．（15分）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 【详解】（1）由题意可得， 所以 . 2分 （2）设，由（1）得， 所以, 即. 因为三点共线，所以，解得, 4分 所以， 又. 所以，解得. 7分 （3）设， 因为分别是的中点，所以是的重心， 所以. 9分 因为三点共线，所以，即. 所以，， 所以. 12分 因为，所以，即, 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 15分 18．（17分）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 【详解】（1）连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 2分 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. 5分 （2）取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， 8分 ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； 11分 （3）由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 14分 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 17分 19．（17分）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且） (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 【详解】（1）在中，，得，又，则， 由题意有，则， 在中利用正弦定理得，. 3分 （2）在中，， 则， 因，则，可得， 5分 又因为为钝角，所以. 在中利用正弦定理，有 ， 又因为，则，得，得. 故的最大值为. 8分 （3）由题有，即， 在中，由余弦定理有 ， 当且仅当时等号成立， 11分 设内切圆分别交，，于点E，F，G，内切圆圆心为， 则，，，， 有 ， 内切圆半径， 外接圆半径， 14分 则 ， 故的最大值为. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（   ） A． B． C．3 D． 2．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．7.5 C．9 D．9.5 4．为了了解我校报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，作出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，且第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生总人数是（    ） A．48 B．60 C．72 D．76 5．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 6．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 7．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．正四棱锥外接球的表面积为，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B．|z|=1 C．复数z的共轭复数是 D．复数z对应的点位于第一象限 10．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 11．在等腰梯形ABCD中，，，，点P是梯形ABCD内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为2 C．若，则的面积为定值 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是 . 13．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 ． 14．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则点P的运动轨迹的周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求． 16．（15分）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 17．（15分）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 19．（17分）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且） (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A D A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）∵对应的点的坐标为， ∴，其中， 2分 ∵复数为纯虚数， ∴，解得， ∴． 5分 （2）∵， ∴，解得， 即关于x的方程的两根分别为， 8分 ∵对应的点在第一象限， ∴，且， ∵， ∴，解得或，由，则， 10分 ∴，即共轭复数， ∴． 13分 16．【详解】（1）第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为， 2分 故补全频率分布直方图如下： 4分 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 7分 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． 9分 （2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 12分 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 15分 17．【详解】（1）由题意可得， 所以 . 2分 （2）设，由（1）得， 所以, 即. 因为三点共线，所以，解得, 4分 所以， 又. 所以，解得. 7分 （3）设， 因为分别是的中点，所以是的重心， 所以. 9分 因为三点共线，所以，即. 所以，， 所以. 12分 因为，所以，即, 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 15分 18．【详解】（1）连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 2分 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. 5分 （2）取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， 8分 ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； 11分 （3）由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 14分 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 17分 19．【详解】（1）在中，，得，又，则， 由题意有，则， 在中利用正弦定理得，. 3分 （2）在中，， 则， 因，则，可得， 5分 又因为为钝角，所以. 在中利用正弦定理，有 ， 又因为，则，得，得. 故的最大值为. 8分 （3）由题有，即， 在中，由余弦定理有 ， 当且仅当时等号成立， 11分 设内切圆分别交，，于点E，F，G，内切圆圆心为， 则，，，， 有 ， 内切圆半径， 外接圆半径， 14分 则 ， 故的最大值为. 17分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（   ） A． B． C．3 D． 2．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．7.5 C．9 D．9.5 4．为了了解我校报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，作出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，且第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生总人数是（    ） A．48 B．60 C．72 D．76 5．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 6．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 7．中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．正四棱锥外接球的表面积为，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B．|z|=1 C．复数z的共轭复数是 D．复数z对应的点位于第一象限 10．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 11．在等腰梯形ABCD中，，，，点P是梯形ABCD内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为2 C．若，则的面积为定值 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．用斜二测画法得到的水平直观图是边长为2的正三角形.则的面积是 . 13．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 ． 14．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则点P的运动轨迹的周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求． 16．（15分）为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 17．（15分）如图，在中，点，分别是，的中点，点在线段上且是靠近点的一个三等分点，交于点，交于点． (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)过点的直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，梯形的面积为，求的最小值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 19．（17分）在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记（且） (1)时，若，求的值； (2)，为钝角，求角与的最大值； (3)若，的内切圆半径为，外接圆半径为，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$