2025年四川省甘孜州中考数学三诊试卷

2025年四川省甘孜州中考数学三诊试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（3分）﹣2的倒数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在1，6，4，x，2中，平均数是3，则代数式x2﹣3的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．5a3•3a2＝15a6 C．（a2b）3＝a6b3 D．（4m3n﹣m2）÷m2＝4mn 6．（3分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 7．（3分）如图，在△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交BC于点D，则CD：BD＝（　　） A．2：3 B．：2 C．：3 D．：2 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 9．（3分）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b+1与y＝cx+b的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 二、第Ⅱ卷（非选择题，共70分）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填写在答题卡上对应题 11．（4分）分解因式：2x2﹣8＝　 　 ． 12．（4分）为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为 　 　 ． 13．（4分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 　 　 ． 14．（4分）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长是　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）（1）计算：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 16．（6分）化简求值：（x﹣1），其中x＝tan60°﹣1． 17．（8分）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度． （参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00） 18．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A音乐；B体育；C美术；D阅读，E人工智能．随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果绘制如图所示的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了　 　 名学生；补全条形图（要求在条形图上方注明人数）；扇形图中圆心角α＝　 　 度； （2）若该校有3000名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 19．（10分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴、x轴交于A，B两点，与反比例函数交于点D，点D为AB的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，若OA＝OB＝4． （1）求直线AB的表达式； （2）求△ACD的面积． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长． 一、B卷（50分）填空题：每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上 21．（4分）当时，代数式x2+2x+2001的值是 　 　 ． 22．（4分）若关于x的方程有增根，则m＝　 　 ． 23．（4分）如图，点E为平行四边形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∠B＝55°，∠DAE＝20°，则∠CED′的大小为 　 　 ． 24．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝　 　 ． 25．（4分）高斯符号[x]首次出现是在数学家高斯（C．F．Gauss）的数学著作《算术研究》一书中，对于任意有理数x，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]＝2．给出如下结论： ①[﹣3]＝﹣3；②[﹣2.9]＝﹣2；③[0.9]＝0；④[3.1]+[3.9]＝7． 以上结论中，你认为正确的是（填序号） 　 　 ． 二、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？ 27．（10分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0°≤α≤180°），点B、E的对应点分别为点B′、E′． （1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB'的长； （2）若α＝90°，如图3，得到△ADE'（此时B'与D重合），延长BE交DE'于点F，试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由； （3）在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围． 28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为﹣2，点M（1，m）是其对称轴上一点，点B在y轴上，OB＝1． （1）求二次函数的解析式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2025年四川省甘孜州中考数学三诊试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B C B B C A B 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（3分）﹣2的倒数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵﹣2×（）＝1， ∴﹣2的倒数是． 故选：D． 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断． 【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形． 故选：B． 4．（3分）在1，6，4，x，2中，平均数是3，则代数式x2﹣3的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式列出算式，求出x的值，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵在1，6，4，x，2中，平均数是3， ∴（1+6+4+x+2）＝3， ∴x＝2， ∴x2﹣3＝22﹣3＝1． 故选：B． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a2＝a4 B．5a3•3a2＝15a6 C．（a2b）3＝a6b3 D．（4m3n﹣m2）÷m2＝4mn 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式，多项式除以单项式，积的乘方和合并同类项等计算即可． 【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原式计算错误，不符合题意； B、5a3•3a2＝15a5，原式计算错误，不符合题意； C、（a2b）3＝a6b3，原式计算正确，符合题意； D、（4m3n﹣m2）÷m2＝4mn﹣1，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．（3分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，过点A和两弧的交点作射线，交BC于点D，则CD：BD＝（　　） A．2：3 B．：2 C．：3 D．：2 【答案】B 【分析】添加辅助线，根据角平分线的性质及三角函数值求解． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 在△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°， 由作图得：AD平分∠CAB， ∴DE＝DC， ∵sinB＝sin60°， 故选：B． 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠ADE＝110°﹣90°＝20°，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出∠ABE＝∠DBE＝∠ADE＝20°，即可求出∠ABD＝20°+20°＝40°． 【解答】解：连接AD，BE， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDE＝110°， ∴∠ADE＝110°﹣90°＝20°， ∵AE＝DE， ∴， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADE＝20°， ∴∠ABD＝20°+20°＝40°． 故选：C． 9．（3分）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+60）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+60）件， 依题意得：． 故选：A． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b+1与y＝cx+b的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，函数y＝cx+b的图象过第一、二、四象限，据此解答即可． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，函数y＝cx+b的图象过第一、二、四象限． A、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； B、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，不存在这种可能，符合题意； C、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； D、函数y＝cx+b的图象走第一、二、四象限，存在这种可能，不符合题意； 故选：B． 二、第Ⅱ卷（非选择题，共70分）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案直接填写在答题卡上对应题 11．（4分）分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； 故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 12．（4分）为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为 　3.259×1011　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：3259亿＝325900000000＝3.259×1011， 故答案为：3.259×1011． 13．（4分）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 　x　 ． 【答案】x． 【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案． 【解答】解：∵函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4）， ∴4＝﹣3m， 解得：m， 故A点坐标为：（，4）， ∵kx+b＜﹣3x时， ∴（k+3）x+b＜0， 则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为：x． 故答案为：x． 14．（4分）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长是　　 ． 【答案】． 【分析】过点O作OH⊥AB于H，连接OA，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，连接OA， 在Rt△POH中，∠PHO＝90°，∠P＝30°，OP＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（12分）（1）计算：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式 ＝1； （2）解不等式2x+5＞3得，x＞﹣1， 解不等式3x﹣4≤2得，x≤2， 将解集表示在数轴上，如图所示， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 16．（6分）化简求值：（x﹣1），其中x＝tan60°﹣1． 【答案】x2+x，原式＝3． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣1） • • ＝x（x+1） ＝x2+x， 当x＝tan60°﹣11时，原式＝（1）21＝4﹣21＝3． 17．（8分）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度． （参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00） 【答案】110． 【分析】过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50，设BM＝x，在Rt△ABH中，，在Rt△AHC中，，进而可根据AH＝AH，求出x的值，即为BM的值． 【解答】解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米， 设BM＝x米，则MC＝BM＝x米 ∵BH＝BM﹣HM ∴BH＝（x﹣50）米， ∴在Rt△ABH中， ∵HC＝HM+MC ∴HC＝（50+x）米， 在Rt△AHC中，， ∴， 解得x＝110， 即BM＝110米， 答：点B到水面距离BM的高度约为110米． 18．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A音乐；B体育；C美术；D阅读，E人工智能．随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果绘制如图所示的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了　200　 名学生；补全条形图（要求在条形图上方注明人数）；扇形图中圆心角α＝　54　 度； （2）若该校有3000名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200；②见解析；③54； （2）1050名； （3）． 【分析】（1）①由B组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除C组的人数即可得到C组的人数；③用360°乘以C组人数所占比例即可； （2）用3000乘以D组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解． 【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名）， 故答案为：200； ②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名）， 补全条形统计图如下： ③扇形统计图中圆心角α＝360°54°， 故答案为：54； （2）30001050（名）， 答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1050名； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率为． 19．（10分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴、x轴交于A，B两点，与反比例函数交于点D，点D为AB的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，若OA＝OB＝4． （1）求直线AB的表达式； （2）求△ACD的面积． 【答案】（1）直线AB的表达式为y＝﹣x+4； （2）1． 【分析】（1）根据OA＝OB＝4可知A（0，4），B（4，0），利用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）根据D为AB的中点求出D（2，2），进而求出反比例函数的解析式，再根据y＝4求出C即可解答． 【解答】解：（1），OA＝OB＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， 代入y＝kx+b中得： ， 解得， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+4； （2）①D为AB的中点， ∴D（2，2）， 代入y中得k＝4， ∴反比例函数解析式为y， 当y＝4时，， 解得x＝1， ∴C（1，4）， ∴△ACD的面积为：（4﹣2）＝1． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）r＝3，BE＝2． 【分析】（1）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可； （2）设OB＝OC＝r，证明OP＝3r，可得4r＝12，推出r＝3，利用平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC＝∠CBD， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵∠PCA＝∠CBD， ∴∠PCA＝∠OCB， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠PCA+∠ACO＝90°， ∴∠PCO＝90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：连接AE，设OB＝OC＝r， ∵PC＝2OB， ∴PC＝2r， ∴OP3r， ∵PB＝12， ∴4r＝12， ∴r＝3， 由（1）可知，∠OCB＝∠CBD， ∴OC∥BD， ∴，∠D＝∠PCO＝90°， ∴， ∴BD＝4， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠D＝90°， ∴AE∥PD， ∴， ∴， ∴BE＝2． 一、B卷（50分）填空题：每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上 21．（4分）当时，代数式x2+2x+2001的值是 　2023　 ． 【答案】2023． 【分析】先将x2+2x+2001变形为（x+1）2+2000，将代入计算即可． 【解答】解：∵x2+2x+2001＝x2+2x+1+2000＝（x+1）2+2000， ∴当时， 原式． 故答案为：2023． 22．（4分）若关于x的方程有增根，则m＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】由，可得mx+1﹣2x＝0，由关于x的方程有增根，则x2﹣x＝0，可得，x＝0或x＝1，然后代入mx+1﹣2x＝0，计算求解即可． 【解答】解：， mx+1﹣2x＝0， ∵关于x的方程有增根， ∴x2﹣x＝0， 解得，x＝0或x＝1， 当x＝0时，m不存在， 当x＝1时，m＝1， 综上所述，m＝1， 故答案为：1． 23．（4分）如图，点E为平行四边形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∠B＝55°，∠DAE＝20°，则∠CED′的大小为 　30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行四边形的性质得到∠D＝∠B＝55°，根据三角形内角和定理求出∠AED，根据折叠的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝55°， ∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝105°， ∴∠AEF＝75°， 由折叠的性质可知，∠AED′＝∠AED＝105°， ∴∠CED′＝105°﹣75°＝30°， 故答案为：30°． 24．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】过点C作AB的垂线，垂足为D，由△ABC为等边三角形，AB＝4且AB⊥x轴于点B，推出BD，利用勾股定理求出CD的长，设A（m，4），则C（m﹣2，2），根据反比例函数系数k＝xy得出k＝4m＝2（m﹣2），解方程求得m的值，即可求出k的值． 【解答】解如图，过点C作AB的垂线，垂足为D， ∵△ABC为等边三角形，AB＝4且AB⊥x轴于点B， ∴BD， ∴CD2， 设A（m，4），则C（m﹣2，2）， ∵反比例函数经过点A与点C， ∴k＝4m＝2（m﹣2）， ∴m＝﹣2， ∴k＝4m＝﹣8， 故答案为：﹣8． 25．（4分）高斯符号[x]首次出现是在数学家高斯（C．F．Gauss）的数学著作《算术研究》一书中，对于任意有理数x，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.9]＝2．给出如下结论： ①[﹣3]＝﹣3；②[﹣2.9]＝﹣2；③[0.9]＝0；④[3.1]+[3.9]＝7． 以上结论中，你认为正确的是（填序号） 　①③　 ． 【答案】①③． 【分析】抓住定义求解． 【解答】解：①∵[﹣3]＝﹣3≤﹣3， ∴①正确， ②∵[﹣2.9]＝﹣2＞﹣2.9， ∴②错误， 正确的，[﹣2.9]＝﹣3， ③[0.9]＝0＜0.9， ∴③正确， ④∵[3.1]＝3，[3.9]＝3， ∴[3.1]+[3.9]＝6， ∴④不正确， 故答案是①③． 二、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料； （2）至少购进A型机器人14台． 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x kg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料，根据A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出B型机器人每小时搬运120kg材料，再将其代入（x+30）中可求出A型机器人每小时搬运150kg材料； （2）设购进A型机器人m台，则购进B型机器人（20﹣m）台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x kg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料， 依题意得：3x﹣2（x+30）＝60， 解得：x＝120， ∴x+30＝120+30＝150． 答：A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料． （2）设购进A型机器人m台，则购进B型机器人（20﹣m）台， 依题意得：150m+120（20﹣m）≥2800， 解得：m． 又∵m为整数， ∴m的最小值为14． 答：至少购进A型机器人14台． 27．（10分）如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0°≤α≤180°），点B、E的对应点分别为点B′、E′． （1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB'的长； （2）若α＝90°，如图3，得到△ADE'（此时B'与D重合），延长BE交DE'于点F，试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由； （3）在Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围． 【答案】（1）22； （2）四边形AEFE′是正方形，理由见解析过程； （3）2CE′≤22． 【分析】（1）在Rt△ABE中应用勾股定理，得到AB的长度，根据正方形的性质，求出AC的长，根据旋转的性质得到AB′的长，即可求解， （2）由旋转的性质可得AE′＝AE，∠EAE′＝α＝90°，∠AE′D＝∠AEB＝90°，可证四边形AEFE′是矩形，可得AE′＝AE，即可求解； （3）E′与E重合，CE′最短，当E′落在CA的延长线上时，AE′＝AE＝2，CE′最长，即可求解． 【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°， ∴AB2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°， ∴ACAB＝2， 由旋转的性质得：AB'＝AB＝2， ∴CB'＝AC﹣AB'＝22； （2）四边形AEFE′是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：AE′＝AE，∠EAE′＝α＝90°，∠AE′D＝∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AEFE′是矩形， 又∵AE′＝AE， ∴四边形AEFE′是正方形； （3）过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示： 则∠BGC＝90°＝∠AEB， ∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°， ∴∠BCG＝∠ABE， 在△BCG和△ABE中， ， ∴△BCG≌△ABE（AAS）， ∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2， ∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2， ∴CE2， ∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度0≤α≤180°点B、E的对应点分别为点B′、E′， ∴当α＝0°时，E′与E重合，CE′最短，CE′＝2， 当E′落在CA的延长线上时，AE′＝AE＝2，CE′最长， ∴CE′＝AC+AE＝22， ∴线段CE′长度的取值范围为：2CE′≤22． 28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为﹣2，点M（1，m）是其对称轴上一点，点B在y轴上，OB＝1． （1）求二次函数的解析式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点O（0，0）代入即可求函数的解析式； （2）设P（t，2t2﹣4t），过点P作x轴的垂线交AB于点Q，则点Q的坐标为（t，t+1），可得PQ＝﹣2（（t）2，当t时，PQ有最大值，即可得△ABP的最大值； （3）设N点坐标为（n，2n2﹣4n），根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣2，点M（1，m）是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为（1，﹣2）， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 将点O（0，0）代入得，a﹣2＝0， ∴a＝2， ∴y＝2（x﹣1）2﹣1＝2x2﹣4x； （2）设P（t，2t2﹣4t），过点P作x轴的垂线交AB于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的y＝0，得到2x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝2， ∴A的坐标为（2，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+s， 将A（2，0），B（0，1）代入y＝kx+s， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：yx+1， ∴点Q的坐标为（t，t+1）， ∴PQt+1﹣（2t2﹣4t）＝﹣2t2t+1＝﹣2（t）2， ∴当t时，PQ有最大值， ∴△ABP面积的最大值为2； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为（n，2n2﹣4n）， 当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n， ∴n＝1， ∴N（1，﹣2）， 当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0， ∴n＝3， ∴N（3，6）， 当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1， ∴n＝﹣1， ∴N（﹣1，6）， 综上所述：N（3，6）或（﹣1，6）或（1，﹣2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$