1.1 第1课时 认识勾股定理（4大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：勾股定理的定义 主要题型：用勾股定理解三角形、利用勾股定理求线段长度、利用勾股定理求面积、构造直角三角形应用勾股定理 【知识点】【教材重现】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么（教材P3） 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a称为勾，较长的直角边b称为股，斜边c称为弦。 【★易错点】没有明确已知边是哪条边而忽略分类讨论导致错误，因此在应用勾股定理时，要确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。 【★数学技巧】勾股定理有许多变形，如用a、b表示直角边，c表示斜边，则有，还可以变形为 【例1】用勾股定理解三角形 【典例】在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【变式1】如图，在中，，是边上一点，若，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 【变式3】中，，，，则 ． 【例2】利用勾股定理求线段长度 【典例】如图，在中，于点D，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 【变式2】如图，在中，，于D．若，，求的长． 【变式3】如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【例3】利用勾股定理求面积 【典例】已知是钝角三角形，且三边长分别为，，，则的面积是 ． 【变式1】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【变式2】如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【变式3】如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【例4】构造直角三角形应用勾股定理 【典例】如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 【变式2】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【变式3】如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：勾股定理的定义 主要题型：用勾股定理解三角形、利用勾股定理求线段长度、利用勾股定理求面积、构造直角三角形应用勾股定理 【知识点】【教材重现】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么（教材P3） 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a称为勾，较长的直角边b称为股，斜边c称为弦。 【★易错点】没有明确已知边是哪条边而忽略分类讨论导致错误，因此在应用勾股定理时，要确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。 【★数学技巧】勾股定理有许多变形，如用a、b表示直角边，c表示斜边，则有，还可以变形为 【例1】用勾股定理解三角形 【典例】在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，是边上一点，若，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理求出，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一直角边为x,根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设另一直角边为x， ∵斜边的长为13，一条直角边长为5， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】中，，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是勾股定理，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：20． 【例2】利用勾股定理求线段长度 【典例】如图，在中，于点D，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴； 故选：A． 【变式1】如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可证，，，设，则，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【变式2】如图，在中，，于D．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，先在中，利用勾股定理求出长，然后再在中根据＝列方程，求出长解题即可． 【详解】解：在中，，   设，则，                                  ∵在中，， ∴，                                           解得，     ∴． 【变式3】如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】利用勾股定理求面积 【典例】已知是钝角三角形，且三边长分别为，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积的求法，求出一边上的高，是解答本题的关键． 如图，作 ，设 ，根据勾股定理得 ，求出，然后求 ，根据三角形的面积计算公式，求出即可； 【详解】解：如图， 作 ，设 ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： ． 【变式1】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 【例4】构造直角三角形应用勾股定理 【典例】如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积比与角平分线相关知识，解题的关键是通过作辅助线，利用角平分线性质和三角形面积关系求解． 延长交于点，过点作于点，证明，得到，，构造出与已知面积比相关的线段关系，再结合勾股定理来求的长． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，． ， ，即， ∴， ， ， 故选：C． 【变式1】如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】15 【分析】作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点，过点G作，交的延长线于点H，则四边形是矩形，构造直角三角形，利用勾股定理解决即可． 本题考查了将军饮马原理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点， 过点G作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 【变式2】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2或14 (2) (3)t的值为8或 【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由题意可得，分两种情况：当点P在点C的左侧时，；当点P在点C的右侧时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据勾股定理计算即可得解； （3）分两种情况：当时，点P与点C重合，当，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴， 依题意，， 当点P在点C的左侧时，， 当点P在点C的右侧时，， ∵， ∴或， 解得：或； 故答案为：2或14； （2）解：当时，如图， ，，， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ∴， ①当时，如图，点P与点C重合， ， ∴； ②当，如图，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，t的值为8或． 【变式3】如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $$