1.1 第2课时 验证并应用勾股定理（5大基本题型） 学案 - 2025～2026学年北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：勾股定理的验证、利用勾股定理解决直角三角形相关问题 主要题型：勾股定理的验证、勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理证明线段平方关系 【知识点1】勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的。用两种方式表示图形面积（算两次），根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法。 【数学素养】拼图法验证勾股定理的一般步骤： 1. 拼出图形 由三个直角三角形拼成的直角梯形 2. 用两种方式表示图形面积 3. 根据面积相同得到等量关系 4. 恒等变形 5. 推导出勾股定理 【例1】勾股定理的验证 【典例】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【变式1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ； (2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值． 【变式3】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【知识点2】利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （3）解决包含平方关系的几何问题； （4）构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题。 【★数学技巧】应用勾股定理解决问题时应注意三点： （1）应用勾股定理的前提是在直角三角形中； （2）应用勾股定理时，必须分清楚斜边和直角边； （3）若没有直角三角形，可以通过添加辅助线的方式（做垂线）的方法构造直角三角形，再利用勾股定理解答，这样就可以把要求的线段放到直角三角形中解决。 【例2】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【变式3】如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【例3】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例】若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【变式1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【变式2】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【例4】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式1】如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点， 求证： (1)； (2)． 【变式2】在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点为线段BC上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小宛的思路是：首先过点作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）． 证明：为等腰直角三角形，，， ， ， ______， 在和中，， ， ，______， ， ， ， 在中，，， 在中，，______， 又， ， ． 【变式3】在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 5.1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：勾股定理的验证、利用勾股定理解决直角三角形相关问题 主要题型：勾股定理的验证、勾股定理与网格问题、勾股定理与折叠问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理证明线段平方关系 【知识点1】勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的。用两种方式表示图形面积（算两次），根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法。 【数学素养】拼图法验证勾股定理的一般步骤： 1. 拼出图形 由三个直角三角形拼成的直角梯形 2. 用两种方式表示图形面积 3. 根据面积相同得到等量关系 4. 恒等变形 5. 推导出勾股定理 【例1】勾股定理的验证 【典例】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（   ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想是解答本题的关键． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 【变式1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ； (2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）在和中，根据勾股定理可得出，即可求解． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）解：图形的总面积可以表示为或， ， ； （3）解：在中，， 在中，， ， 解得． 【变式3】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）方法一：；方法二：；见解析；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，，则求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 【知识点2】利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2）已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （3）解决包含平方关系的几何问题； （4）构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题。 【★数学技巧】应用勾股定理解决问题时应注意三点： （1）应用勾股定理的前提是在直角三角形中； （2）应用勾股定理时，必须分清楚斜边和直角边； （3）若没有直角三角形，可以通过添加辅助线的方式（做垂线）的方法构造直角三角形，再利用勾股定理解答，这样就可以把要求的线段放到直角三角形中解决。 【例2】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【变式1】如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 【变式2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 【例3】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例】若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 【变式1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【变式2】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【例4】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 【变式1】如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点为线段BC上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小宛的思路是：首先过点作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）． 证明：为等腰直角三角形，，， ， ， ______， 在和中，， ， ，______， ， ， ， 在中，，， 在中，，______， 又， ， ． 【答案】图见解析，；；；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用辅助线构造全等三角形，利用勾股定理得出线段平方关系． 根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质得到，，进一步证明，得到，，从而证明，利用勾股定理分别表示出，，从证明结论． 【详解】解：如图， 证明：∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 在中，，， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 学科网（北京）股份有限公司 $$