专题3几何重点突围 三角形几何模型2024-2025学年 苏科版数学 七年级下册

专题 3 三角形几何模型 【题型 1 8 字型】 1 【题型 2 燕尾角模型】 3 【题型 3 平分平行构等腰模型】 5 【题型 4 两内角平分线的夹角模型】 6 【题型 5 两外角平分线的夹角模型】 8 【题型 6 一内一外角平分线的夹角模型】 10 【题型 7 累计平分线模型】 12 【题型 1 8 字型】 1. 如图，AB 和 CD 相交于点 O，∠A = ∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是( ) A ．∠B = ∠D B ． ∠1 = ∠A+∠D C． ∠2＞∠D D ． ∠C = ∠D 2. 如图， ∠1=60°, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ( ) A ．240° B ．280° C ．360° D ．540° 3. 如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形，上 D = 28。，则 上A + 上B + 上C + 上F 的度数为( ) A ． 62。 B ． 152。 C ． 208。 D ． 236。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 阅读材料： 如图 1 ，AB 、CD 交于点 O，我们把△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形． 结论：若△AOD 和△BOC 是对顶三角形，则∠A+∠D = ∠B+∠C． 结论应用举例： 如图 2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E 的度数． 解：连接 CD， 由对顶三角形的性质得： ∠B+∠E = ∠1+∠2， 在△ACD 中， ∵∠A+∠ACD+∠ADC ＝180° , 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4 ＝180° , ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB ＝180° 即五角星的五个内角之和为 180° . 解决问题： （1）如图① , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ; （2）如图② , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ; （3）如图③ , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= ; （4）如图④ , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N= ; 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型 2 燕尾角模型】 1. 在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 上A = 52o, 上B = 25o ， 上C = 30o, 上D = 35o, 上E = 72o ，那么上F 的度数是( ) . A ． 72o B ． 70o C ． 65o D ． 60o 2. 如图，已知在 △ABC 中，上A = 40o ，现将一块直角三角板放在 △ABC 上，使三角板的两 条直角边分别经过点B, C ，直角顶点 D 落在 △ABC 的内部，则∠ABD +∠ACD = ( ) . A ． 90o B ． 60o C ． 50o D ． 40o 3. 如图， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____． 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形 图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的 聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”,试探究∠BDC 与∠A 、 ∠B 、 ∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： . . . . . . ①如图(2)，把一块三角尺 XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、图(1)XZ 恰好 经过点 B 、C，若∠A=50°, 则∠ABX+∠ACX=___________° ; ②如图(3)DC 平分∠ADB,EC 平分∠AEB,若∠DAE=50° , ∠DBE= 130° , 求∠DCE 的度数；（写 出解答过程） ③如图（4），∠ABD，∠ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G2 ... 、G9，若∠BDC= 140° , ∠BG1 C=77° , 则∠A 的度数=___________° . 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型 3 平分平行构等腰模型】 1. 如图，已知△ABC 的两边 AB=5，AC=8，BO 、CO 分别平分∠ABC、∠ACB ，过点 O 作 DE∥BC，则△ADE 的周长等于 ． 2. 如图，已知 AB∥CD ，直线 EF 分别交 AB 、CD 于点 E 、F，FG 平分∠EFD 交 AB 于点 G，若∠BEF ＝70°, 则∠AGF 的度数为( ) A ．35° B ．45° C．55° D ．65° 3. 如图，在△ABC 中， ∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MNⅡ BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4. 如图，O 是△ABC 的∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点，OD∥AB 交 BC 于 D ，OE∥AC 交 BC 于 E，若△ODE 的周长为 10cm，那么 BC 的长为 ． 5. （1）如图 1 所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC、 ∠ACB，若已知 BE=3,CF=5,求 EF 的长度； （2）如图 2 所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F， 线段 EF 与 BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由. 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型 4 两内角平分线的夹角模型】 1. 如图， △ABC 的角平分线OB 、 OC 相交于点O ， 上A＝40。，则上BOC= . 2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A= 140° , ∠D=90° , OB 平分∠ABC，OC 平分∠BCD ，则 ∠BOC=( ) A ．105° B ．115° C．125° D ．135° 3. 如图所示，在 △ABC 中，上ABC, 上ACB 的平分线BE, CD 相交于点 F，若且∠ABC=42° , 上A = 60。，则上BFC 等于( ) A ． 121。 B ． 120。 C ．119。 D ． 118。 4. 如图，在△ABC 中， (1)如果 AB=4cm ，AC=3cm ，BC 是能被 3 整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果 BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC 的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC 的度数． 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 5. 在锐角 ΔABC 中， AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ， 上BPC = 110。，求 上A 的度数． （2）如图， AF 和CE 分别平分 上BAD 和上BCD ，当点D 在直线 AC 上时，且 B 、P 、D 三 点共线， 上APC = 100。，则 上B = _________． （3）在（2）的基础上，当点D 在直线 AC 外时，如下图： 上ADC = 130。， 上APC = 100。， 求 ÐB 的度数． 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图，已知射线 OE 丄 射线 OF ，B 、A 分别为OE 、 OF 上一动点， 上 ABE 、 上BAF 的 平分线交于 C 点. 问B 、 A 分别在OE 、 OF 上运动的过程中， 上 C 的度数是否改变？若 不变，求出其值；若改变，说明理由. 2. 如图，已知在 ΔABC 中，上B 、上C 的外角平分线相交于点G ，若上ABC = mO，上ACB = nO ， 求上BGC 的度数. 3. 已知，如图， △ABC 中，上ABC = 48O ，上ACB = 84O ，点D 、E 分别在BA 、BC 延长线 上， BP 平分 上ABC ， CP 平分上ACE ，连接AP ，则上PAC 的度数为( ) A ． 45O B ． 48O C． 60O D ． 66O 4. 课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内 角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 【题型 5 两外角平分线的夹角模型】 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 1.尝试探究： (1)如图 1 ， ∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC+∠ECB 之间 存在怎样的数量关系？为什么？ 2.初步应用： (2) 如图 2，在△ABC 纸片中剪去△CED，得到四边形 ABDE ， ∠1 ＝130° , 则∠2-∠C ＝________________； (3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在△ABC 中，BP、CP 分别平分外角∠DBC、 ∠ECB，∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案_ _． 3.拓展提升： (4) 如图 4，在四边形 ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角∠EBC、 ∠FCB ， ∠P 与∠A 、 ∠D 有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．) 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型 6 一个内角一个外角平分线的夹角模型】 1. 如图，△ABC 中， ∠C=50° , AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，AD 与 BD 交于点 D，那么∠D= ° . 2. ∠ACD 是△ ABC 的外角， 上ABC 的平分线与上ACD 的平分线交于点A1 ， 上A1BC 的平 分线与上A1CD 的平分线交于点A2 ， … , 上An 一1BC 的平分线与上An一1CD 的平分线交于点 An ． 设∠A = θ . 则上A1 = , ∠A2021 = . 3. 如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC， ∠ACB ，交于 O ，CE 为外角∠ACD 的平 分线，交 BO 的延长线于点 E ，记上BAC = 上1 ，上BEC = 上2 ，则以下结论① 上1 = 2上2 ， ② 上BOC = 3上2 ，③ 上BOC = 90o + 上1 ，④ 上BOC = 90o + 上2 ，正确的是 ．（把 所有正确的结论的序号写在横线上） 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知 BO ，CO 分别是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线． (1)在图 1 中，已知∠O ＝25° , 求∠BAC 的度数．(2)连接 OA，如图 2，证明 OA 是外角∠CAD 的角平分线． (3)在图 2 中， 已知SΔBOC ＝16 ，BC ＝4 ，AC ＝5 ，AB ＝6，直接写出△ABC 的面积． 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 【题型 7 累计平分线模型】 1. 如图，在△ABC 中， ∠A=60° , BD 、CD 分别平分∠ABC、 ∠ACB ，M、N、Q 分别在 DB、DC、BC 的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF 分别平分∠EBC、 ∠ECQ，则∠F=________． 2. 如图，BA1 和CA1 分别是 △ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2 是上A1BD 的平分线，CA2 是上A1CD 的平分线，BA3 是上A2BD 的平分线，CA3 是上A2 CD 的平分线，若上A = α , 则 上A999 = ． 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 3. 【问题背景】 （1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图 2 ， AP 、CP 分别平分∠BAD ． ∠BCD ，若∠ABC=46° , ∠ADC=26° , 求∠P 的 度数； 【问题探究】 （3）如图 3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36° , ∠ADC= 16°, 请猜想∠P 的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 ①在图 4 中，若设 试问∠P 与∠C、 ∠B 之间的数量关系为： （用α 、β表示∠P）； ②在图 5 中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ， 猜想∠P 与∠B 、 ∠D 的关 系，直接写出结论． 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 在△ABC 中， 已知∠A = α . （1）如图 1，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 D．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）； （2）如图 2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 F，求∠BFC 的大小（用含α的代 数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到△GBC， ∠GBC 的平分线 与∠GCB 的平分线交于点 M（如图 3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）． 第 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3 三角形几何模型 【题型 1 8 字型】 1 【题型 2 燕尾角模型】 5 【题型 3 平分平行构等腰模型】 10 【题型 4 两内角平分线的夹角模型】 13 【题型 5 两外角平分线的夹角模型】 20 【题型 6 一个内角一个外角平分线的夹角模型】 24 【题型 7 累计平分线模型】 27 【题型 1 8 字型】 1. 如图，AB 和 CD 相交于点 O，∠A = ∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是( ) A ．∠B = ∠D B ． ∠1 = ∠A+∠D C ． ∠2＞∠D D ． ∠C = ∠D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】 ∵ ∠A+∠AOD+∠D ＝180° , ∠C+∠COB+∠B ＝180° , ∠A = ∠C， ∠AOD = ∠BOC， ∴ ∠B = ∠D， ∵ ∠1 = ∠2 = ∠A+∠D， ∴ ∠2＞∠D， 故选项 A ，B ，C 正确， 故选 D． 【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的 关键． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图， ∠1=60° , 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ( ) A ．240° B ．280° C ．360° D ．540° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1 与另外四个角 的和，加在一起即可． 【详解】 解： 由三角形外角的性质得： ∠3=∠A+∠E ， ∠2=∠F+∠D， ∵ ∠1+∠2+∠3= 180° , ∠1=60° , ∴ ∠2+∠3= 120° , 即： ∠A+∠E+∠F+∠D= 120° , ∵ ∠B+∠C= 120° , ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240° . 故选 A． 【点拨】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目 中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 3. 如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形，上 D = 28。，则 上A + 上B + 上C + 上F 的度数为( ) 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 A ． 62。 B ． 152。 C ． 208。 D ． 236。 3 ．C 【详解】 ∵如图可知上BED = 上F + 上B ， 上CGE = 上C + 上A ， 又∵上BED = 上D + 上EGD ， ∴ 上F + 上B = 上D + 上EGD ， 又∵上CGE + 上EGD = 180O， ∴ 上C + 上A + 上F + 上B — 上D = 180O ， 又∵上D = 28O ， ∴ 上A + 上B + 上C + 上F = 180O + 28O = 208O， 故选C ． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求 出∠C+∠A+∠F+∠B - ∠D= 180° , 此题难度不大． 4. 阅读材料： 如图 1 ，AB 、CD 交于点 O ，我们把△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形． 结论：若△AOD 和△BOC 是对顶三角形，则∠A+∠D = ∠B+∠C． 结论应用举例： 如图 2 ：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E 的度数． 解：连接 CD ，由对顶三角形的性质得： ∠B+∠E = ∠1+∠2， 在△ACD 中， ∵ ∠A+∠ACD+∠ADC ＝180° , 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4 ＝180° , ∴ ∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB ＝180° 即五角星的五个内角之和为 180° . 解决问题： 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图① , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ; （2）如图② , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ; （3）如图③ , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= ; （4）如图④ , ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N= ; 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． （1）360° ；（2）540° ；（3）720° ；（4）1080° ；过程见解析 【分析】（1）连接 CD ，由对顶角三角形可得∠A+∠B = ∠BDC+∠ACD ，再由四边形的内 角和定理得出结论； （2）连接 ED ，由对顶角三角形可得∠A+∠B = ∠BED+∠ADE ，再由五边形的内角和定 理得出结论； （3）连接 BH、DE ，由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD = ∠HDE+∠BED ，再根据五边 形的内角和定理得出结论； （4）连接 ND 、NE ，由对顶角三角形可知∠1+∠2 = ∠NGH+∠EHG ，再由六边形的内角 和定理得出结论． 【详解】 解：（1）连接 CD ，由对顶角三角形可得∠A+∠B = ∠BDC+∠ACD ，则∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F＝360° ; （2）连接 ED ，由对顶角三角形可得∠A+∠B = ∠BED+∠ADE ，则∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠G ＝540° ; （3）连接 BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD = ∠HDE+∠BED， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝五边形 CDEFG 的内角和+△ABH的内 角和＝540°+180° =720° ; （4）连接 ND 、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1+∠2 = ∠NGH+∠EHG， 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝六边形 BCFGHM 的内角和 +△AND 的内角和+△NDE 的内角和＝（6－2） ×180°+360°= 1080° . 故答案为：360° ；540° ；720° ；1080° . 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD 和△BOC 叫 做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 【题型 2 燕尾角模型】 1. 在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 上A = 52。, 上B = 25。， 上C = 30。, 上D = 35。, 上E = 72。，那么上F 的度数是 ( ) . A ． 72。 B ． 70。 C ． 65。 D ． 60。 1 ．B 【分析】 延长 BE 交 CF 的延长线于 O ，连接 AO ，根据三角形内角和定理求出上BOC, 再利用邻补角 的性质求出上DEO ，再根据四边形的内角和求出上DFO ，根据邻补角的性质即可求出 ∠DFC 的度数． 延长 BE 交 CF 的延长线于 O ，连接 AO ，如图， 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 上OAB + 上B + 上AOB = 180O, ∴ 上AOB = 180O — 上B — 上OAB, 同理得上AOC = 180O — 上OAC — 上C, ∵ 上AOB + 上AOC + 上BOC = 360O, ∴ 上BOC = 360O — 上AOB — 上AOC = 360O — (180O — 上B — 上OAB) — (180O — 上OAC — 上C) = 上B + 上C + 上BAC = 107O, ∵ 上BED = 72O, ∴ 上DEO = 180O — 上BED = 108O, ∴ 上DFO = 360O — 上D — 上DEO — 上EOF = 360O — 35O —108O —107O = 110O, ∴ 上DFC = 180O — 上DFO = 180O —110O = 70O , 故选：B． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质， 解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和： 1 8 0 O( n — 2 ) ． 2. 如图，已知在 △ABC 中，上A = 40O ，现将一块直角三角板放在 △ABC 上，使三角板的两 条直角边分别经过点B, C ，直角顶点 D 落在 △ABC 的内部，则∠ABD +∠ACD = ( ) . 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 A ． 90。 B ． 60。 C ． 50。 D ． 40。 2 ．C 【分析】 由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A= 180° , 即∠ABC+∠ACB= 180-∠A= 140° , 再说 明∠DBC+∠DCB=90° , 进而完成解答． 解： ∵在△ABC 中， ∠A=40° ∴ ∠ABC+∠ACB= 180-∠A= 140° ∵在△DBC 中， ∠BDC=90° ∴ ∠DBC+∠DCB= 180°-90°=90° ∴ ∠ABD +∠ACD = 140°-90°=50° 故选 C． 【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 3. 如图， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____． 3 ．180。 【分析】 利用三角形的外角的性质将五个角转化为三角形的三个角的和即可． 解：利用三角形的外角的性质得： 上1 = 上D + 上E ， 上2 = 上A + 上B ， 所以上A + 上B + 上C + 上D + 上E = 上2 + 上C + 上1 = 180。， 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： 180o ． 【点拨】本题考查了多边形的内角与外角及三角形的内角和与外角和的知识，解题的关键是 能够正确的将几个角转化为三个角，难度不大． 4. 如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形 图” ，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的 聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”,试探究∠BDC 与∠A 、 ∠B 、 ∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图(2) ，把一块三角尺 XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、图(1)XZ 恰好 经过点 B 、C，若∠A=50° , 则∠ABX+∠ACX=___________° ; ②如图(3)DC 平分∠ADB,EC 平分∠AEB,若∠DAE=50° , ∠DBE= 130° , 求∠DCE 的度数；（写 出解答过程） ③如图（4），∠ABD，∠ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G2 . . . 、G9，若∠BDC= 140° , ∠BG1 C=77° , 则∠A 的度数=___________° . 4.（1） ∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90° ; ③70 【分析】 （1）根据题意观察图形连接 AD 并延长至点 F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF； （2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50° , ∠BXC=90°代入 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 上式即可得到∠ABX+∠ACX的值； ②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB ，代入∠DAE=50° , ∠DBE= 130°即可得到 ∠ADB+∠AEB 的值，再利用上面得出的结论可知 (∠ADB+∠AEB）+ ∠A ，易得 答案． ③由②方法，进而可得答案． 解：（1）连接 AD 并延长至点 F， 由外角定理可得∠BDF= ∠BAD+∠B ， ∠CDF= ∠C+∠CAD； ∵ ∠BDC = ∠BDF+∠CDF， ∴ ∠BDC = ∠BAD+∠B+∠C+∠CAD. ∵∠BAC = ∠BAD+∠CAD； ∴∠BDC = ∠BAC +∠B+∠C； （2）①由（1）的结论易得： ∠ABX+∠ACX+∠A = ∠BXC， ∵ ∠A ＝50° , ∠BXC ＝90° , ∴ ∠ABX+∠ACX＝90° -50°=40° . 故答案是：40； ②由（1）的结论易得∠DBE = ∠DAE +∠ADB+∠AEB ， ∠DCE = ∠ADC+∠AEC+∠A ∵ ∠DAE=50° , ∠DBE= 130° , ∴ ∠ADB+∠AEB ＝80° ; ∵DC 平分∠ADB,EC 平分∠AEB, ③由②知 ∵∠BG1 C ＝77° , ∴设∠A 为 x° , ∵ ∠ABD+∠ACD ＝140° -x° , ∴x ＝70， 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠A 为 70° . 故答案是：70． 【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出 ∠BDC=∠A+∠B+∠C 是解答的关键，注意：三角形的内角和等于 180° , 三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和． 【题型 3 平分平行构等腰模型】 1. 如图，已知△ABC 的两边 AB=5，AC=8，BO 、CO 分别平分∠ABC、∠ACB ，过点 O 作 DE∥BC，则△ADE 的周长等于 ． 【答案】13 【分析】根据 BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，且 ED∥BC，可得出 OD=OB ，OE=OC，所 以三角形 ADE 的周长是 AB+AC. 【详解】解： ∵BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ， ∴ ∠DBO=∠OBC， ∠OCE=∠OCB， 由 ∵DE∥BC， ∴ ∠DOB=∠OBC， ∠EOC=∠OCB， ∴ ∠DBO=∠DOB ， ∠EOC=∠ECO ， ∴DO=DB ，EO=EC， · 又∵AB=5 ，AC=8 ， ∴ADE 的周长=AD+DE+AE=AB+AC= 13 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用 角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键． 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图，已知AB∥CD ，直线 EF 分别交 AB 、CD 于点 E 、F，FG 平分∠EFD 交 AB 于点 G ，若∠BEF ＝70° , 则∠AGF 的度数为 ( ) A ．35° B ．45° C．55° D ．65° ( 【答案】 C 【分析】先根据平行线的性质得出 7 EGF = 7 DFG ，再 根据 FG 平分 7 DEF 得出 7 EFG = 7 DFG ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：证明： ∵ AB ∥ CD ， ∴ ∠ EGF = ∠ DFG ， ∵ FG 平分∠ DEF ， ∴ ∠ EFG = ∠ DFG ， ∴ ∠ EFG = ∠ EGF ， 故选： C ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线 及角平分线的性质是解答此题的关键． ) 3. 如图，在△ABC 中， ∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E ，过点 E 作 MNⅡ BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9 ，则线段 MN 的长为 ( ) ( A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 【答案】 D 【分析】利用角平分线和平行可以证明△ BME 和△ CNE 是等腰三角形，而可得 BM + CN = MN 即可解答． 【详解】解： ∵ ∠ ABC 、 ∠ ACB 的平分线相交于点 E ， ∴ ∠ MBE = ∠ EBC ， ∠ ECN = ∠ ECB ， ∵ MN Ⅱ BC ， ∴ ∠ EBC = ∠ MEB ， ∠ NEC = ∠ ECB ， ∴ ∠ MBE = ∠ MEB ， ∠ NEC = ∠ ECN ， ∴ BM = ME ， EN = CN ， ∴ MN = ME + EN ，即 MN = BM + CN ． ∵ BM + CN =9 ∴ MN =9 ，故选 D ． ) 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质 ，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可 以证明等腰三角形是解题的关键． ) 4. 如图，O 是△ABC 的∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点，OD∥AB 交 BC 于 D ，OE∥AC 交 BC 于 E ，若△ODE 的周长为 10cm ，那么 BC 的长为 ． ( 【答案】 10 cm 【分析】由角平分线的性质、平行线的性质可得 OD = BD ， OE = CE ，从而 BC 的长等于△ ODE 的周长， 问题即解决． 【详解】 ∵ BO 平分∠ ABC ∴∠ ABO = ∠ DBO ∵ OD ∥ AB ∴∠ DOB = ∠ ABO ∴∠ DBO = ∠ DOB ∴ OD = BD 同理 OE = CE ∵ OD + DE + OE = 10 cm ∴ BC = BD + DE + CE = OD + DE + OE = 10 cm 故答案为： 10 cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线 的性质、等腰三角形的判定，关键是利用角平 分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形． ) 5. （1）如图 1 所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC、 ∠ACB ，若已知 BE=3,CF=5,求 EF 的长度； （2）如图 2 所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F， 线段 EF 与 BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由. ( 【答案】（ 1 ） 8 ；（ 2 ） BE - CF ＝ EF ． 【分析】（ 1 ）根据 BD 平分∠ ABC ，可得∠ ABD = ∠ CDB ，再利用 EF ∥ BC ，可证 BE ＝ ED 和 DF ＝ CF ，然后可得 BE + CF ＝ EF ，代入即可得到结论． ) 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 （2） 由（1）知 BE ＝ED ，同理可得 CF＝DF，然后利用等量代换即可得到结论． 【详解】（1） ∵BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD = ∠CBD． ∵EF∥BC， ∴ ∠EDB = ∠DBC， ∴ ∠ABD = ∠EDB ， ∴BE ＝ED ，同理 DF＝CF， ∴BE+CF =EF． ∵BE=3 ，CF=5 ， ∴EF=3+5=8； （2）BE -CF＝EF．理由如下： 由（1）知 BE ＝ED． ∵CD 平分∠ACG ， ∴ ∠ACD=∠DCG． ∵EF∥BC， ∴ ∠EDC = ∠DCG ， ∴ ∠EDC = ∠ACD ， ∴CF＝DF． 又∵ED -DF＝EF， ∴BE -CF＝EF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解答此题的关键 是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 【题型 4 两内角平分线的夹角模型】 1. 如图， △ABC 的角平分线 OB 、 OC 相交于点O ， 上A＝40O ，则上BOC= . 【答案】 110O ． 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再 根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数． 【详解】解： ∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线， 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 2 )∴ ∠OBC+∠OCB= 1 上ABC + 2 1 上ACB = 2 (上ABC + 上ACB) ( ∴ ∠ BOC = 180°- (∠ OBC + ∠ OCB ） = 180°-70°=110° . 故答案是 110 ． 【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角 形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的 关键． ) 2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A= 140° , ∠D=90° , OB 平分∠ABC，OC 平分∠BCD ，则 ∠BOC=( ) A ．105° B ．115° C．125° D ．135° 【答案】B 【分析】根据四边形的内角和及角平分线的定义解答即可. 【详解】 ∵ ∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360° , ∠A= 140° , ∠D=90°∴∠ABC+∠BCD= 130° ∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠BCD∴∠OBC+∠OCB (∠ABC+∠BCD）=65° ∴ ∠BOC= 180°- (∠OBC+∠OCB）= 115° 故选 B 【点睛】本题考查的是四边形的内角和及角平分线，掌握四边形的内角和是 360°及角平分 线的定义是关键. 3. 如图所示，在 △ABC 中， 上ABC, 上ACB 的平分线BE, CD 相交于点 F，若且∠ABC=42° , 上A = 60。，则上BFC 等于 ( ) A ． 121。 B ． 120。 C ．119。 D ． 118。 3 ．B 【分析】由∠ABC=42° , ∠A=60° , 根据三角形内角和等于 180° , 可得∠ACB 的度数，又因 为∠ABC、 ∠ACB 的平分线分别为 BE、CD ，所以可以求得∠FBC 和∠FCB 的度数，从而 求得∠BFC 的度数． 【详解】 解： ∵ 上ABC = 42。，上A = 60。，上ABC + 上A + 上ACB = 180。． 第 14 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 上ACB = 180o — 42o — 60o = 78o． 又∵∠ABC、 ∠ACB 的平分线分别为 BE 、CD． 又∵上FBC + 上FCB + 上BFC = 180o ． ∴ 上BFC = 180o — 21o — 39o = 120o ． 故选：B． 【点拨】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵 活变化求出相应问题的答案． 4. 如图，在△ABC 中， (1)如果 AB=4cm ，AC=3cm ，BC 是能被 3 整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果 BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线． a 、当∠A=45°时，求∠BPC 的度数．b 、当∠A=x°时，求∠BPC 的度数． ( 【答案】 (1)13 cm (2) a 、 112.5° ； b 、 【分析】（ 1 ）利用三角形的三边关系：两边之和大于 第三边，两之差小于第三边，得出 BC 的取值范围为 1 ＜ BC ＜ 7 ，再根据 BC 是能被 3 整除的偶数，得到 BC =6 cm ，再求出周长为 13 cm ． （ 2 ）利用三角形的内角和等于 180° , 先求出∠ ABC + ∠ ACB ，再利用角平分线平分角 的知识， 求出∠ PBC + ∠ PCB ，然后再一次用三角形内角和等于 180° , 求出∠ BPC ． 【详解】（ 1 ） ∵ AB =4 cm ， AC =3 cm ∴ 1 ＜ BC ＜ 7 ∴ BC =6 cm ∴三角形的周长为： C △ ABC = AB + AC + BC =4+3+ 6= 13 cm （ 2 ） a 、当∠ A =45° 时， 由三角形的内角 和可知： ∠ ABC + ∠ ACB = 180°− ∠ A = 180°−45°=135° ∵ BP 、 CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线 ∴ ∠ PBC ∠ ABC ， ∠ PCB ∠ ACB ) 第 15 页 学科网（北京）股份有限公司 ( ∴∠ BPC = 180°− ( ∠ PBC + ∠ PCB )=180°−67. 5°=112.5° b 、当∠ A = x ° 时， 由三角形的内角和可知： ∠ ABC + ∠ ACB = 180°− ∠ A = 180°− x ° ∵ BP 、 CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线∴∠ PBC = 1 2 ∠ ABC ， ∠ PCB = 1 2 ∠ ACB 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边 之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和 等于 180° , 以，可以利用整体思想．及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时， 有时不一定需要每个角都求出来 ) 5. （1）在锐角 ΔABC 中， AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ， 上BPC = 110O ，求上A 的度数． （2）如图， AF 和CE 分别平分 上BAD和上BCD ，当点D 在直线 AC 上时，且 B 、P 、D 三 点共线， 上APC = 100O ，则 上B = _________． （3）在（2）的基础上，当点D 在直线 AC 外时，如下图： 上ADC = 130O ， 上APC = 100O ， 求ÐB 的度数． 第 16 页 学科网（北京）股份有限公司 5 ．（1） 70。；（2） 20。；（3） 70。． 【分析】 （1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可； （2）法一：根据上APC = 100。以及 AF 和CE 分别平分上BAD和上BCD ，算出 上BAD和上BCD , 从而算出ÐB ； 法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB+∠PCB ，再求出∠PAB+∠PCB ，故 可求解； （3）法一：连接 AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出上2+上4=30。， 上BAC + 上BCA = 110。，故可求解； 法二：连接 BD 并延长到 G 根据三角形的外角定理得到∠ADC = ∠2+∠4+∠APC，再求出 ∠2+∠4 ，故可求解． 【详解】 （1）如图 AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ∴ 上BDA = 上CEA = 90。 又∵上BPC = 110。 第 17 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 上EPD = 上BPC = 110O ∵在四边形 AEPD 中， 内角和为360O ∴ 上A=360O-110O-90O-90O=70O ． （2）法一： ∵ AF 和CE 分别平分上BAD和上BCD ∴ 上BAP = 上FAC, 上BCE = 上ACE 又∵上APC = 100O ∴ 上FAC+上ACE = 180O —100O = 80O ∴ 上BAC + 上BCA = 160O ∴ B=180 -160 =20 ． 法二：连接 BD ， ∵B 、P 、D 三点共线 ∴BD 、AF、CE 交于 P 点 ∵ ∠APD=∠BAP+∠ABP ， ∠CPD=∠BCP+∠CBP， ∴∠APC=∠B+∠PAB+∠PCB ∵ AF 和CE 分别平分上BAD和上BCD ， ∴ ∠PAC=∠PAB ， ∠PCA=∠PCB， ∵ ∠APC ＝100° , ∴∠PAC+∠PCA ＝180°—100°= 80° , ∴∠PAB+∠PCB ＝80° , ∴ ∠B = ∠APC — (∠PAB+∠PCB）＝100°—80°=20° . 第 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）法一：如图：连接 AC ∵ 上ADC = 130O ， 上APC = 100O ∴ 上DAC + 上DCA = 180O —130O = 50O, 上PAC + 上PCA = 180O —100O = 80O ∴ 上2+上4=30O 又∵ AF 和CE 分别平分上BAD和上BCD ∴ 上1+上3=上2+上4=30O ∴ 上BAC + 上BCA = 110O ∴ B=180 -110 =70 ． 法二：如图，连接 BD 并延长到 G， ∵∠ADG = ∠2+∠APD ， ∠CDG = ∠4+∠CPD， ∴∠ADC = ∠2+∠4+∠APC， 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠2+∠4=30° 同理可得∠APC = ∠1+∠3+∠B ， ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4， ∴ ∠B = ∠APC-∠2-∠4= 100°-30°=70° ∴ ∠B ＝70° . 【点拨】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型 5 两外角平分线的夹角模型】 1. 如图，已知射线OE 丄 射线 OF ，B 、A 分别为OE 、 OF 上一动点， 上 ABE 、 上BAF 的 平分线交于 C 点. 问B 、 A 分别在OE 、 OF 上运动的过程中， 上 C 的度数是否改变？若 不变，求出其值；若改变，说明理由. ( 【答案】不变， 上 C = 45 。 . 【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角 的性质可以得到 【详解】解： ∠ C 的度数不会改变． ∵ ∠ ABE 、 ∠ BAF 的平分线交于 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角 平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练 掌握相关的性质是解题的关键． ) 2. 如图，已知在 ΔABC 中，上B 、上C 的外角平分线相交于点G ，若上ABC = m。，上ACB = n。， 第 20 页 学科网（北京）股份有限公司 求上BGC 的度数. ( 【答案】 上 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即 可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关 系． 【详解】解： ∠ B 、 ∠ C 的外角平分线相交于点 G ， 在 Δ BCG 中 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及 角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相 关的等量关系简化计算得出． ) 3. 已知，如图， △ABC 中，上ABC = 48o ，上ACB = 84o ，点D 、E 分别在BA 、BC 延长线 上， BP 平分 上ABC ， CP 平分 上ACE ，连接AP ，则上PAC 的度数为 ( ) A ． 45o B ． 48o C． 60o D ． 66o 【答案】D 【分析】作PF 丄 BE 于点F ，PH 丄 BD 于点H ，PG 丄 AC 于点G ，利用角平分线的性质得 到PH = PG ，进而证明 AP 平分上CAD ，利用三角形外角的性质求出上CAD 的度数即可得到 答案． 【详解】解：作PF 丄 BE 于点F ， PH 丄 BD 于点H ， PG 丄 AC 于点G ， 第 21 页 学科网（北京）股份有限公司 ( : BP 平分 上 ABC ， CP 平分 上 ACE ， : PF = PH ， PF = PG ， : PH = PG ， : PH 丄 BD ， PG 丄 AC ， : AP 平分 上 CAD ， : 上 ABC = 48 O ， 上 ACB = 84 O ， : 上 CAD = 上 ABC + 上 ACB = 48 O + 84 O = 132 O ， : 上 上 CAD = 66 O ．故选： D ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，证明 AP 平分 上 CAD 是解题的关键． ) 4. 课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内 角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 1.尝试探究： (1)如图 1 ， ∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC+∠ECB 之间 存在怎样的数量关系？为什么？ 2.初步应用： (2) 如图 2 ，在△ABC 纸片中剪去△CED ，得到四边形 ABDE ， ∠1 ＝130° , 则∠2-∠C ＝________________； (3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在△ABC 中，BP、CP 分别平分外角∠DBC、 ∠ECB，∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案_ _． 第 22 页 学科网（北京）股份有限公司 3.拓展提升： (4) 如图 4 ，在四边形 ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角∠EBC、 ∠FCB ， ∠P 与∠A 、 ∠D 有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．) （1）180°+ ∠A ； （2）50° ; （3） （4） ∠BAD+∠CDA=360°-2∠P． 【详解】 试题分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ∠FDC=∠A+∠ACD ， ∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解； （2）利用（1）中的结论即可求出； （3）根据角平分线的定义可得 然后根据三角形内角 和定理列式整理即可得解； （4）根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA ，然后同理（3）解答即可． 试题解析：（1） ∠DBC+∠ECB = 180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-(∠ABC+∠ACB) 第 23 页 学科网（北京）股份有限公司 =360°-(180°-∠A) = 180°+ ∠A ； （2）50° ; （3） ∠P=90° - ∠A； （4）延长 BA 、CD 于 Q， 则∠P=90° - ∠Q ， ∴∠Q=180°-2∠P． ∴∠BAD+∠CDA= 180°+ ∠Q=180°+180°-2∠P=360°-2∠P． 考点：1.三角形的外角性质 2.三角形内角和定理． 【题型 6 一个内角一个外角平分线的夹角模型】 1. 如图，△ABC 中， ∠C=50° , AD 是∠CAB 的平分线，BD 是△ABC 的外角平分线，AD 与 BD 交于点 D ，那么∠D= ° . ( 【答案】 25° 【分析】根据角平分线的定义得到 根据三角形的外角 的性质计算即可． 【详解】解： ∵ AD 是∠ CAB 的平分线， BD 是△ ABC 的外角平分线， ∴ ∠ DBE = 1 2 ∠ CBE ， ∴ ∠ D = ∠ DBE - ∠ DAE = 1 2 (∠ CBE - ∠ CAE ） = 1 2 ∠ C =25° , 故答案为： 25° . 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、 角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． ) 2. ∠ACD 是△ ABC 的外角， 7ABC 的平分线与7ACD 的平分线交于点A1 ， 7A1BC 的平 分线与7A1CD 的平分线交于点A2 ， … , 7An -1BC 的平分线与7An-1CD 的平分线交于点 An ． 设∠A = θ . 则7A1 = , ∠A2021 = . 第 24 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 【答案】 【分析】据角平分线的定义可得 再根据三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC ， ∠ A 1 CD = ∠ A 1 BC + ∠ A 1 ， 整理即可求出∠ A 1 的度数，同理求出∠ A 2 ，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规 律即可得解． 【详解】解： ∵ A 1 B 是∠ ABC 的平分线， A 1 C 是∠ ACD 的平分线， 又∵∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC ，∠ A 1 CD = ∠ A 1 BC + ∠ A 1 ， 同理可得 故答案为 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的 是解题 的关键． 1 2 1 2 ) 3. 如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC， ∠ACB ，交于 O ，CE 为外角∠ACD 的平 分线，交 BO 的延长线于点 E ，记上BAC = 上1 ，上BEC = 上2 ，则以下结论① 上1 = 2上2 ， ② 上BOC = 3上2 ，③ 上BOC = 90O + 上1 ，④ 上BOC = 90O + 上2 ，正确的是 ．（把 所有正确的结论的序号写在横线上） ( 【答案】①④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质 ，即可得到∠ 1 ＝ 2 ∠ 2 ， ∠ BOC ＝ 90° + ) 第 25 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 2 ∠ 1 ， ∠ BOC ＝ 90° +∠ 2 ，再分析判断． 【详解】 ∵ CE 为外角∠ ACD 的平分线， BE 平分 又∵∠ DCE 是△ BCE 的外角 故 ①正确； ∵ BO ， CO 分别平分 故② 、③错误； ∵ OC 平分∠ ACB ， CE 平分 ∵∠ BOC 是△ COE 的外角， ∴∠ BOC = ∠ OCE +∠ 2 ＝ 90° +∠ 2 ，故④ 正确；故答案为： ①④. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和的性质，以及角平分线的定义． ) 4. 已知 BO ，CO 分别是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线． (1)在图 1 中，已知∠O ＝25° , 求∠BAC 的度数．(2)连接 OA，如图 2，证明 OA 是外角∠CAD 的角平分线． (3)在图 2 中，已知SΔBOC ＝16 ，BC ＝4 ，AC ＝5 ，AB ＝6 ，直接写出△ABC 的面积． ( 【答案】 (1)50°(2) 证明见解析 (3)20 【分析】（ 1 ）根据三角形的外角性质得到∠ BAC = ∠ ACE - ∠ ABC ，根据角平分线的定义解答． （ 2 ）如图 2 中，过点 O 作 OM ⊥ BD 于点 M ， ON ⊥ AC 于点 N ， OT ⊥ BE 于点 T ．证明 OM = ON ， ) 第 26 页 学科网（北京）股份有限公司 可得结论． （3）利用三角形面积公式求出 OT，再根据SΔABC = SΔOBC + SΔOAB - SΔAOC . ，求解即可． 【详解】（1）解：如图 1 中， “∠ACE 是△ABC 的一个外角， : ∠BAC = ∠ACE—∠ABC， “CO 是∠ACE 的角平分线 “OB 是∠ABC 的角平分线 : ∠BAC = ∠ACE—∠ABC ＝2∠OCE—2∠OBE ＝2 (∠OCE—∠OBE）＝2∠O ＝50° ; （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OM丄BD 于点 M，ON丄AC 于点 N，OT丄BE 于点 T． “CO 平分∠ACE ，ON丄AC，OT丄CE ， :ON＝OT， “BO 平分∠DBE ，OM丄BD ，OT丄BE ， :OM＝OT， :OM＝ON， :AO 平分∠CAD． 解：如图 :SΔABC = SΔBOC + SΔAOB - SΔAOC ＝16+ ×6×8— ×5×8 ＝16＋24—20 ＝20． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质和判定定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题． 【题型 7 累计平分线模型】 1. 如图，在△ABC 中， ∠A=60° , BD 、CD 分别平分∠ABC、 ∠ACB ，M、N、Q 分别在 第 27 页 学科网（北京）股份有限公司 DB、DC、BC 的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF 分别平分∠EBC、 ∠ECQ ，则∠F=________． 15° 【分析】 先由 BD 、CD 分别平分∠ABC、∠ACB 得到∠DBC ∠ABC，∠DCB ∠ACB，在△ABC 中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB (∠ABC+∠ACB） （180°-∠A）=60° , 则 根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300° ；再由 BE 、CE 分别平分∠MBC、 ∠BCN 得 ∠5+∠6 ∠MBC，∠1 ∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1 (∠NCB+∠NCB）=150° , 在△BCE 中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30° ；再由 BF、CF 分别平分∠EBC、 ∠ECQ 得到∠5=∠6 ， ∠2=∠3+∠4 ，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F， ∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E ，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E ，再进行等 量代换可得到∠F ∠E． 【详解】 解： ∵BD 、CD 分别平分∠ABC、 ∠ACB ， ∠A=60° , ∴ ∠DBC ∠ABC ， ∠DCB ∠ACB， ∴ ∠DBC+∠DCB (∠ABC+∠ACB） （180°-∠A） ×（180°-60°) =60° , ∴ ∠MBC+∠NCB=360°-60°=300° , ∵BE 、CE 分别平分∠MBC、 ∠BCN， ∴ ∠5+∠6 ∠MBC， ∠1 ∠NCB， ∴ ∠5+∠6+∠1 (∠NCB+∠NCB）= 150° , 第 28 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠E= 180°- (∠5+∠6+∠1）= 180°-150°=30° , ∵BF、CF 分别平分∠EBC、 ∠ECQ， ∴ ∠5=∠6 ， ∠2=∠3+∠4， ∵ ∠3+∠4=∠5+∠F， ∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴ ∠F ∠E ×30°=15° . 故答案为：15° . 【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180° . 也考查了三角形外角性质． 2. 如图，BA1 和CA1 分别是 △ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2 是上A1BD 的平分线，CA2 是上A1CD 的平分线，BA3 是上A2BD 的平分线，CA3 是上A2 CD 的平分线，若上A = α , 则 上A999 = ． 第 29 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】 α 2999 1 根据角平分线的定义可得上A1BD = 2 1 上ABC ， 上A1CD = 2 上ACD ，再根据三角形外 角的性质可得上ABC + 上A1 ，化简可得上 进一步找出其中的规 律，即可求出上A999 的度数． 【详解】解：:BA1 和CA1 分别是 △ABC 的内角平分线和外角平分线， 又Q 上ACD = 上ABC + 上A ， 上A1CD = 上A1BD + 上A1， 同理可得： 上上 上 上 ( α ) ( . ) ( 2 999 )则 上 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出上A1 ， 上A2 ， 上A3 与 上 A 的规律是解题的关键． 3. 【问题背景】 （1）如图 1 的图形我们把它称为“8 字形” ，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图 2 ， AP 、CP 分别平分∠BAD ． ∠BCD ，若∠ABC=46° , ∠ADC=26° , 求∠P 的 度数； 【问题探究】 （3）如图 3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36° , ∠ADC= 16° , 请猜想∠P 的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 ①在图 4 中，若设 试问∠P 与∠C、 ∠B 之间的数量关系为： （用α 、β表示∠P）； ②在图 5 中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ， 猜想∠P 与∠B 、 ∠D 的关 系，直接写出结论． 第 30 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）见解析；（2）36° ；（3）26° , 理由见解析 【分析】 （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可； （3）由 AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4， 推出∠PAD= 180° - ∠2 ， ∠PCD= 180° - ∠3 ，由∠P+（180° - ∠1）=∠D+（180° - ∠3）， ∠P+∠1=∠B+∠4 ，推出 2∠P=∠B+∠D ，即可解决问题． （4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． ②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． 【详解】 （1）在△AEB 中， ∠A+∠B+∠AEB= 180° . 在△CED 中， ∠C+∠D+∠CED= 180° . ∵ ∠AEB=∠CED， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2） 由（1）得： ∠1+∠B=∠3+∠P ， ∠4+∠D=∠2+∠P， ∴ ∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P． ∵ ∠1=∠2 ， ∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72° , ∴ ∠P=36° . （3） ∠P=26° , 理由是：如图 3： 第 31 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE， ∴ ∠1=∠2 ， ∠3=∠4， ∴ ∠PAD= 180° - ∠2 ， ∠PCD= 180° - ∠3． ∵ ∠PAB=∠1 ， ∠P+∠PAB =∠B+∠4， ∴ ∠P+∠1=∠B+∠4． ∵ ∠P+（ 180° - ∠2）=∠D+（ 180° - ∠3）， ∴2∠P=∠B+∠D， （4）①设∠CAP=m ， ∠CDP=n ，则∠CAB=3m，， ∠CDB=3n， ∴ ∠PAB=2m ， ∠PDB=2n． ∵ ∠C+∠CAP=∠P+∠PDC， ∠P+∠PAB=∠B+∠PDB， ∵ ∠C=α , ∠B=β , ∴α+m=∠P+n ， ∠P+2m=β+2n， ∴α-∠P = n－m ， ∠P-β=2n－2m=2（n－m）， ∴2α+β=3∠P 故答案为 ②设∠BAP=x ， ∠PCE=y ，则∠PAO=x ， ∠PCB=y． ∵ ∠PAO+∠P=∠PCD+∠D ， ∠B+∠BAO=∠OCD+∠D， ∴x+∠P= 180°-y+∠D ， ∠B+2x=180°-2y+∠D， 故答案为 【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的 第 32 页 学科网（北京）股份有限公司 关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． 4. 在△ABC 中，已知∠A = α . （1）如图 1，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 D．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）； （2）如图 2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 F，求∠BFC 的大小（用含α的代 数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到△GBC， ∠GBC 的平分线 与∠GCB 的平分线交于点 M（如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）． （1） （2） （3） 【分析】 （1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB ＝180° -α , 由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD 由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得 由三角形的外角性质可 求解； （3）由折叠的性质可得 方法同 可求 即可求解. 【详解】 解：（1） ∵ ∠A = α , ∴ ∠ABC+∠ACB ＝180° -α , ∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB， （2） ∵ ∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 F， 第 33 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠ACE = ∠A+∠ABC， ∠FCE = ∠BFC+∠FBC， （3） ∵ ∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点 M， ∴方法同 可得 ∵将△FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到△GBC， 【点拨】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角 平分线的性质定理，折叠的性质. 第 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$