第1章 重难题型专题训练（4大重难题型） 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 重难题型专项训练（4大重难题型） 【重难题型概述】 1. 骰子点数之和的最值问题→【1.2.1 正方体的展开与折叠】【正方体相对两面上的字】 2. 几何体的顶点个数问题→【1.2.3 截一个几何体】【用平面截一个几何体所得几何体的形状】 3. 不规则几何体的计算问题→【1.2.3 截一个几何体】【用平面截一个几何体所得几何体的表面积】 4. 与正方体三视图相关问题→【1.2.4 从三个方向看物体的形状】【由物体的形状图得到立体图形】 【例1】骰子点数之和的最值问题 【典例】下列纸板中，可通过折叠做成正方体且每个对立面点数和为7的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是掌握正方体展开图的特征．首先根据正方体的展开图的特征进行判断，然后再看对立面点数和是否为7． 【详解】解：A、可以折叠做成正方体，但每个对立面点数和不是7，故选项不符合题意； B、可以折叠做成正方体，但每个对立面点数和不是7，故选项不符合题意； C、可以折叠做成正方体，且每个对立面点数和是7，故选项符合题意； D、不可以折叠成正方体，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】将图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和都为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，有理数减法运算，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， ∵相对面上的两个数之和都为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 【详解】解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 【变式3】如图，图1，图2是两个几何体表面的展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：______，图2：______； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后它们的相对两面上的数字之和相等，请你求出x，y的值． 【答案】(1)三棱柱，五棱柱 (2) 【分析】本题考查几何体的展开图，正方体展开图的相对面： （1）根据展开图，确定几何体即可； （2）根据正方体展开图的相对面必定相隔一个小正方形，判断出相对面，根据相对两面上的数字之和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，图1对应的几何体为三棱柱，图2对应的几何体为五棱柱； 故答案为：三棱柱，五棱柱； （2）由展开图可知，为相对面，为相对面，为相对面， ∴， ∴． 【例2】几何体的顶点个数问题 【典例】某棱柱共有12个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（  ） A．12 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查截一个几何体．根据某棱柱共有12个顶点，得到该棱柱为6棱柱，共有8个面，即可得出结果． 【详解】解：∵某棱柱共有12个顶点， ∴该棱柱为6棱柱， ∴用一个平面去截该棱柱，截面的边数最多是8， 观察四个选项，可能是8； 故选：C． 【变式1】如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方形的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了正方体的截面．明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数是解题的关键．截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，少了一个顶点． 【详解】解：由图可得，多面体的面数是7；正方体有8个顶点，被截去了1个顶点，故多面体的顶点数是7；． 所以． 故答案为：14． 【变式2】某棱柱共有2024个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A．2024 B．2025 C．1013 D．1014 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体．根据某棱柱共有2024个顶点，得到该棱柱为棱柱，共有1014个面，即可得出结果． 【详解】解：∵某棱柱共有2024个顶点， ∴该棱柱为棱柱， ∴用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是1014； 故选D． 【变式3】下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                    （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【答案】(1)5，8，12，6，8，13，7，10，15，7 (2) 【分析】本题考查了截一个几何体，规律型：数字变化类． （1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下即可； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：见表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9 5 （c） 8 12 6 （d） 8 13 7 （e） 10 15 7 故答案为：5，8，12，6，8，13，7，10，15，7； （2）解：观察上表可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式为． 【例3】不规则几何体的计算问题 【典例】在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)从正面看到的形状图是图_______，从左面看到的形状图是图_______，从上面看到的形状图是图_______；（填序号） (2)若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】(1)①，②，③ (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据从正面、左面、上面看到的三视图，即可得答案； （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，从正面、左面、上面看到的平面图形分别是①，②，③， 故答案为：①，②，③． （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 【变式1】一个几何体由边长为大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图； (2)请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)见解析 (2)体积；表面积 【分析】本题考查从不同方向看几何体，组合几何体的体积和表面积； （1）根据从上面看到的形状图上小立方块的个数可以得到从正面观察这个几何体得到的形状图是3列，每列从左到右小正方块个数依次为，，，从左面观察这个几何体得到的形状图是3列，每列从左到右小正方块个数依次为，，，据此作图即可； （2）该几何体的体积为所有小正方块体积之和，表面积为从三个方向看到的正方形个数之和乘以2再乘以每一个小正方形的面积． 【详解】（1）解：从正面和左面观察这个几何体得到的形状图如图所示： （2）解：几何体的体积； 几何体的表面积． 【变式2】一个几何体由10个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)当时，的值为 ； (2)当时，请在网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (3)在（2）的条件下，若每个小立方块的边长都为2，请求出这个几何体的表面积． 【答案】(1)3 (2)图见解析； (3)160 【分析】此题考查从不同方向看几何体，求几何体的表面积． （1）由，解答即可； （2）由已知条件可知，正面看有3列，每列小正方形数目分别是2，3，3，从左面看，有2列，每列小正方形数目分别是3，3画出图形即可； （3）根据几何体的表面积解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：3； （2）当时，， 如图所示： （3）小立方块的边长为， 小正方形的面积为， 表面积为． 【变式3】用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 【答案】(1)10，图见详解 (2)7，6 (3)①图见详解；②30 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3）①根据题意判断即可；②由①及题意可进行求解． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要7个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）解：①由题意可得从左面看的视图为： 或； ②当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列都有2个小正方形组成，第二列分别有2个和1个小正方形，则表面积为； 当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列分别为2、2、1个小正方形，竖的第二列分别为2、2个小正方形，则表面积为； 所以最大表面积为； 故答案为30 【例4】与正方体三视图相关问题 【典例】如图，是一个几何体从正面看、上面看和从左面看到的图形，摆这个几何体需要______个小正方体． 【答案】5 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据图形易得这个几何体共有3列，综合图形的各列最少小正方体数，即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示： ∴需要：个小立方块． 故答案为：5． 【变式1】如图所示的是由几个大小相同的正方体搭成的立体图形，在网格中按要求画出这个立体图形从三个方向看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．从正面看，看到的图形有3列，左边起第一列有3个小正方形，第二列最下面一层有1个小正方形，第三列中下两层各有一个小正方形；从左面看，看到的图形有3列，从左边起第一列有3个小正方形，第二列中下两层各有一个小正方形，第三列最下面一层有1个小正方形；从上面看，看到的图形有3列，左边起第一列有3个小正方形，第二列上中两层各有1个小正方形，第三列最上面一层有一个小正方形，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式2】如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积均为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，有理数的乘法，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面求出y的值即可． 【详解】解：由图可知：，4与y相对， ∵相对面上两个数之积为8， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】已知甲、乙、丙图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)按要求完成下列视图； (2)如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中_______视图没有发生改变． 【答案】(1)见解析 (2)左 【分析】本题考查了从不同方向看几何体； （1）分别画出甲图的俯视图与乙图的主视图，即可求解； （2）根据左视图分析，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）根据题意可得将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中左视图没有发生改变． 故答案为：左． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 重难题型专项训练（4大重难题型） 【重难题型概述】 1. 骰子点数之和的最值问题→【1.2.1 正方体的展开与折叠】【正方体相对两面上的字】 2. 几何体的顶点个数问题→【1.2.3 截一个几何体】【用平面截一个几何体所得几何体的形状】 3. 不规则几何体的计算问题→【1.2.3 截一个几何体】【用平面截一个几何体所得几何体的表面积】 4. 与正方体三视图相关问题→【1.2.4 从三个方向看物体的形状】【由物体的形状图得到立体图形】 【例1】骰子点数之和的最值问题 【典例】下列纸板中，可通过折叠做成正方体且每个对立面点数和为7的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】将图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和都为，则 ． 【变式2】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，图1，图2是两个几何体表面的展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：______，图2：______； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后它们的相对两面上的数字之和相等，请你求出x，y的值． 【例2】几何体的顶点个数问题 【典例】某棱柱共有12个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（  ） A．12 B．10 C．8 D．9 【变式1】如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方形的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 【变式2】某棱柱共有2024个顶点，用一个平面去截该棱柱，截面的边数可能是（    ） A．2024 B．2025 C．1013 D．1014 【变式3】下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                    （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【例3】不规则几何体的计算问题 【典例】在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)从正面看到的形状图是图_______，从左面看到的形状图是图_______，从上面看到的形状图是图_______；（填序号） (2)若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积与体积． 【变式1】一个几何体由边长为大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图； (2)请求出该几何体的体积和表面积． 【变式2】一个几何体由10个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)当时，的值为 ； (2)当时，请在网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (3)在（2）的条件下，若每个小立方块的边长都为2，请求出这个几何体的表面积． 【变式3】用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 【例4】与正方体三视图相关问题 【典例】如图，是一个几何体从正面看、上面看和从左面看到的图形，摆这个几何体需要______个小正方体． 【变式1】如图所示的是由几个大小相同的正方体搭成的立体图形，在网格中按要求画出这个立体图形从三个方向看到的形状图． 【变式2】如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积均为8，则 ． 【变式3】已知甲、乙、丙图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)按要求完成下列视图； (2) 如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中_______视图没有发生改变． 学科网（北京）股份有限公司 $$