2025年高三数学秋季开学摸底考（广东专用）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．__________，__________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A A B D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．2 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）由题意可得，解得； 1分 （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 3分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； 5分 （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 7分 所以的分布列为 0 1 2 11分 故. 13分 16．【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 3分 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， 6分 （2）由（1）有， 所以， 8分 上式相加有， 所以， 所以； 10分 （3）由（2）有， 所以， 12分 所以 ， 所以. 15分 17．【详解】（1）在平面内作， 因为平面，平面，平面， 所以， 2分 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，，设， ， ，，共面，存在实数，，使得， 4分 即， 所以，解得，所以； 7分 （2）设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 9分 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 11分 设平面和平面所成的角为， ， 整理得，，， 13分 ，， 故点到平面的距离为． 15分 18．【详解】（1）由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为． 3分 （2） 如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S， 利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半． 5分 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：， 代入E：，整理得，显然， 7分 设，，则， 9分 于是， ， 11分 点到直线l：的距离为， 则四边形的面积为， 14分 令，则，且，代入得，， 当时，等号成立，此时． 17分 19．【详解】（1）对于， 定义域，找一个值代入看函数值正负. 取，.因为在取合适值时能使，所以不是定义域上“非负函数”.   2分 对于， 定义域，先求导.令，即，解得. 当，，递减；当，，递增. 所以在取最小值，故是上“非负函数”. 5分 （2）要使在上为“非负函数”，则在恒成立. 求，令，，再令，. 当，，所以在递减，且. 当，，递增；当，，递减. 8分 ，，，所以在递减. ，解得. 11分 （3）由，移项得，得. 把代入，有. 13分 因为，两边乘再加，得. 当，；，；；，. 15分 把这些不等式相加： 左边是，右边. 综上，证得. 17分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．__________，__________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积随的运动而变化 B．平面 C． D．平面平面 10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ． 13．已知数列满足，，则其通项公式为 . 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． (1)求椭圆E的方程； (2)求四边形的面积的最大值． 19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． (1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由． (2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． (3)设，且，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$试题 第 1页（共 4页） 试题 第 2页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 3 i 1 i z   ，则 2z （ ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．已知集合  2 5 6 0A x x x    ，  3, 2, 1,0,1,2,3B     ，则 A B  （ ） A． 1, 2, 3   B． 2, 3  C． 1,2,3 D． 2,3 3．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的离心率为 6 2 ，则其渐近线方程为（ ） A． 2 0x y  B． 2 0x y  C． 2 0x y  D． 2 0x y  4．已知奇函数  f x 的图象的一条对称轴为直线 1 2 x  ，那么  f x 的解析式可以为（ ） A．  sin 3πy x B． πcos 4y x       C． π πsin 2 3 y x      D．  tan πy x 5．若 ( )f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时， ( ) 2 4xf x   ，则不等式 ( ) 0f x  的解集为（ ） A． [ 2, 2] B．[ 2,0] [2, )   C．[ 2,0) [2, )  D． ( , 2] [2, )   6．如图所示，质点 P从点 A出发，沿 AB，BC，CD运动至点 D，已知 / / , 4, 2, 3AB CD AB BC CD   ， 2AB BC     ，则质点 P位移的大小是（ ） A．9 B． 2 15 C． 2 13 D． 46 7．若直线 : 2 0l kx y k    与圆 2 2: 4 2 1 0C x y x y     交于 ,A B两点，且直线 l不过圆心C 则当 ABCV 的周长最小时， ABCV 的面积为（ ） A． 2 B．2 C．4 D．3 2 8．已知函数    3 , 1, 1 log 1 , 1, x x f x x x x       若关于 x的方程  f x m （m为实常数）有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ， 且 1 2 3 4x x x x   ，则  3 4 1 2 1 1 x x x x        的取值范围为（ ） A． 328, 3       B． (8,16) C．  8, D．  , 8  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．如图，点 P在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的面对角线 1BC 上运动，则下列四个结论正确的是（ ） A．三棱锥 1A D PC 的体积随 P的运动而变化 B． 1 //A P 平面 1ACD C． 1DP BC^ D．平面 1PDB ^平面 1ACD 10．已知抛物线W： 2 2y px （ 0p  ）与圆M ：    2 26 4 64x y    相交于A， B两点，线段 AB恰为 圆M 的直径，且直线 AB过抛物线W的焦点 F ，又CD是抛物线W过焦点 F 的另一动弦，则以下结论正确 的是（ ） A． 4p  B． 9 36CF DF  C． CFM△ 的周长可以为 14 D．当 3COF DOFS S△ △ 时， 12CD  11．记 ABCV 的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且  2 cos sina b C c B  ， 2b c ，BC边上的高 为 2，则（ ） A． tan 2B  B． 2 5b  C． ABCV 的周长为3 3 5 D． ABCV 的面积为 3 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分，其中 14题第一空 2分，第二空 3分． 12．若函数   3f x ax x   的图象在点   1, 1f 处的切线过点  2, 4 ，则 a  ． 试题 第 3页（共 4页） 试题 第 4页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．已知数列 na 满足 1 1 2 a  ， 1 1 2n n n n n a a    ，则其通项公式为 . 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另 外两人中的任何一人.设第 n次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为 nA ， nB ， nC ， n N ，则第 3次 传球后球在甲手里的概率 3A  ，第 n次传球后球在丙手里的概率 nC . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱 花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下 流连超 10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取 30个男生和 50个女生进行调查， 得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求m的值； (2)根据小概率值 0.01  的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的 50个女生中，用分层抽样的方法抽取 10人，再从这 10人中随机抽取 3人，记这 3人中“非 樱花迷”的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 附：参考公式：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n a b c d    .  0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）已知数列 na 满足 1 1a  ， 3 6a  ，且对任意的 2n  ， *Nn ，都有 1 1 2 3n n na a a    . (1)设 1n n nb a a  ，求证：数列 nb 是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列 na 的通项公式； (3)若 2 13 2 3 3n n c a n   ，求 1 nc       的前 n项和 nT . 17．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，BC CD ， / /AB DC， 2BC CD  ， 4AB  ， M ，N 分别为 PB， PC的中点． (1)若平面 AMN与直线 PD交于点H，求 PH PD 的值； (2)若平面 AMN和平面 PCD所成角的余弦值为 10 5 ，求点C到平面 AMN的距离． 18．（17分）已知椭圆 E： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ）的左、右顶点为 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，焦距为 2 3．O为 坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点 1F ， 2F 作两条平行直线，与 E在 x轴上方的曲线分别交于点 P，Q． (1)求椭圆 E的方程； (2)求四边形 1 2PF F Q的面积的最大值． 19．（17分）若定义域为 D的函数  y f x 满足：非空集合 I D ， x I  ，若   0f x  ，则称  f x 是一 个 I上的“非负函数”；若   0f x  ，则称  f x 是一个 I上的“非正函数”． (1)分别判断  1 ln 5 10f x x x   ，   22 e 4xf x x  是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由． (2)已知函数   31 4sin 4 3 h x x x x a    为 1,1 上的“非负函数”，求 a的取值范围． (3)设 *Nn ，且 2n  ，证明： 2 1 2 2 3 1cos1 cos cos cos cos 3 2 5 2 1 n n n           ． 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积随的运动而变化 B．平面 C． D．平面平面 10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ． 13．已知数列满足，，则其通项公式为 . 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． (1)求椭圆E的方程； (2)求四边形的面积的最大值． 19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． (1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由． (2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． (3)设，且，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用） 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】，则. 故选：C 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于不等式，解得或，即集合或. 已知，在集合中满足的元素有，，，所以. 故选：A. 3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线 的离心率为 ， 可得 ，即 ， 可得 ， 由题意得双曲线的渐近线方程为，即为， 即为 故选：A. 4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数， 因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为， 因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为， 因为， 所以函数不是奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意. 故选：A. 5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积随的运动而变化 B．平面 C． D．平面平面 【答案】BD 【详解】A选项，因为，平面，而平面， 所以平面，故上任意一点到平面的距离均相等， 的面积为定值，则三棱锥的体积不变，故A错误； B选项，由正方体的性质可得且， 又平面，都不在平面内， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故B正确； C选项，当与重合时，，所以为等边三角形， 则与的所成角为，所以不成立，C选项错误； D选项，因为平面，平面，故， 又因为，平面， 所以平面，平面，故， 因为平面，平面，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 故选：BD. 10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（   ）      A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【详解】对于A，如图，    分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      ∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误. 故选：AC 11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 【答案】AB 【详解】对A，已知，由正弦定理得到， 因为， 代入上式可得：， ，因为，所以，得到，则，故选项 A正确. 对B，由，且，因为，，所以， 可得，. 已知，由正弦定理得，则，. ， 因为，所以. 设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确. 对C，因为，，，根据勾股定理， 的周长为，故选项C错误. 对D，的面积，故选项D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则，又， 所以切线方程为：， 因为切线方程经过点， 所以， 解得． 故答案为： 13．已知数列满足，，则其通项公式为 . 【答案】 【详解】不妨设，则， 由 ， 经检验当时满足，故，解得， 即数列的通项公式为. 故答案为：. 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 . 【答案】 / 【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，故， 当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，易得，则. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由题意可得，解得； 1分 （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 3分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； 5分 （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 7分 所以的分布列为 0 1 2 11分 故. 13分 16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 3分 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， 6分 （2）由（1）有， 所以， 8分 上式相加有， 所以， 所以； 10分 （3）由（2）有， 所以， 12分 所以 ， 所以. 15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【详解】（1）在平面内作， 因为平面，平面，平面， 所以， 2分 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，，设， ， ，，共面，存在实数，，使得， 4分 即， 所以，解得，所以； 7分 （2）设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 9分 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 11分 设平面和平面所成的角为， ， 整理得，，， 13分 ，， 故点到平面的距离为． 15分 18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． (1)求椭圆E的方程； (2)求四边形的面积的最大值． 【详解】（1）由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为． 3分 （2） 如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S， 利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半． 5分 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：， 代入E：，整理得，显然， 7分 设，，则， 9分 于是， ， 11分 点到直线l：的距离为， 则四边形的面积为， 14分 令，则，且，代入得，， 当时，等号成立，此时． 17分 19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． (1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由． (2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． (3)设，且，证明：． 【详解】（1）对于， 定义域，找一个值代入看函数值正负. 取，.因为在取合适值时能使，所以不是定义域上“非负函数”.   2分 对于， 定义域，先求导.令，即，解得. 当，，递减；当，，递增. 所以在取最小值，故是上“非负函数”. 5分 （2）要使在上为“非负函数”，则在恒成立. 求，令，，再令，. 当，，所以在递减，且. 当，，递增；当，，递减. 8分 ，，，所以在递减. ，解得. 11分 （3）由，移项得，得. 把代入，有. 13分 因为，两边乘再加，得. 当，；，；；，. 15分 把这些不等式相加： 左边是，右边. 综上，证得. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$