精品解析：广东省深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团2025届高三第四次模拟（开学考）数学试题

深圳市福田区西浦集团（高中）2024～2025学年度第二学期 高三年级西浦四模考试 数学学科试题 命题人：汪琼华 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟． 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知等差数列的前n项和为，并且满足，，则为（ ）． A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 3. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 4. ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 设直线与平面相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面内的直线与直线都不垂直 B. 过直线的平面与平面都不垂直 C. 与直线垂直的直线可能与平面垂直 D. 与直线平行平面可能与平面垂直 6. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A B. C. 4 D. 7. 设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 是方程的根 10. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ）． A. B. C. 若，则 D. 11. 如图，四棱锥底面是边长为4正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）． A. 当M为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点M的轨迹长度为 C. 当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D. 点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为__________． 13. 已知，且__________． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点关于渐近线的对称点为M且点M位于双曲线上，则双曲线的离心率是__________，若的内切圆圆心横坐标是2，则圆的半径是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）证明：有且仅有1个零点； （2）若在处的切线与只有一个公共点，求实数m的值． 16. 甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）． （1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由； （2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，，． （1）若E为的中点，求证：平面平面； （2）若三角形是钝角三角形，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆离心率为，，为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点，的最大面积为1．点H在圆上运动，过H点作圆的切线交椭圆C于A、B两点．四边形是椭圆C的外切矩形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）（ⅰ）设点D运动轨迹为，求的方程； （ⅱ）延长、分别交轨迹于P、Q两点，求的面积． 19. 给定一个数列，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式（1）称为数项级数，其中，称为数项级数（1）的通项或一般项，数项级数（1）也常写作或．数项级数（1）的前n项之和，记为，称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和．若数项级数（1）的部分和数列收敛于S（即），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作或． （1）求数项级数的部分和； （2）判断数项级数是否收敛，若收敛，求数项级数的和； （3）若数项级数收敛，求实数q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市福田区西浦集团（高中）2024～2025学年度第二学期 高三年级西浦四模考试 数学学科试题 命题人：汪琼华 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟． 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性解不等式，可得集合的范围，结合充分不必要条件，可得答案. 【详解】不等式解得，则，不等式解得，则． 因为是的一个真子集，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2. 已知等差数列的前n项和为，并且满足，，则为（ ）． A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可得，，再利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由， ， 可得，， 则． 故选：A. 3. 金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成组，然后分给剩余2个不同学校有种不同分法，再由分步乘法计数原理得解. 【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有种不同的方法， 剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有种， 这2组分配到2个不同学校有种不同分法， 所以由分步乘法计数原理知，共有种不同的分法. 故选：A 4. ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用正切公式计算出正切值，再用诱导公式化简，最后齐次化出来计算即可. 【详解】化简得． 解得，， ． 故选：B. 5. 设直线与平面相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面内的直线与直线都不垂直 B. 过直线的平面与平面都不垂直 C. 与直线垂直的直线可能与平面垂直 D. 与直线平行的平面可能与平面垂直 【答案】D 【解析】 【详解】设，在直线上取一个异于点的点，设点在平面内的射影点为，连接，过点在平面内作直线，使得，利用线面垂直的性质可判断A选项；由面面垂直的判定定理可判断B选项；由线面垂直的性质可判断C选项；由面面垂直的性质可判断D选项. 【分析】对于A选项，如下图所示： 设，在直线上取一个异于点的点，设点在平面内的射影点为， 连接，过点在平面内作直线，使得， 因为，，则， 因为，、平面，则平面， 因为平面，则，所以，平面内的直线存在直线与直线垂直，A错； 对于B选项，由A选项可知，，平面，所以，平面平面， 因为平面，所以，过直线存在平面与平面垂直，B错； 对于C选项，如下图所示： 在平面内作交平面于点，且， 若，由于过点有且只有一条直线与平面垂直，则、重合，矛盾，C错； 对于D选项，当平面平面时，因为平面，则平面， 因为平面平面，所以，平面与平面所成的角为直角，即，D对. 故选：D. 6. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点， 方法一：取中点B，易得，进而可得出答案. 方法二：设、夹角为，将平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简即可得解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 由得圆心，半径 方法一：如图，取中点B， ， 当且仅当两点重合时取等号， 所以的最大值为. 方法二：（平方法）设、夹角为， ， 当与垂直时，最小，并且最小值为， 此时，即． 故选：B. 7. 设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】做辅助线，根据题意结合抛物线的定义可得，进而可得. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 设M为准线与y轴的交点，过作轴，垂足为，则， 因为，且， 则，，， 因为，则，可得， 则，所以． 故选：A. 8. 已知正实数a，b满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的单调性得到，即可得到，可得到，可判断AB，构造函数通过单调性得到，可判断CD； 再通过 【详解】令函数，， 求导得， 函数在上递增， 所以， 即当时，，也即当时，， 则， 又易知其为增函数， 所以可得：，A错； 再由幂函数在单调递减可得，B错； 所以． 在构造函数， ， 令，可得：， 令，可得：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以，， 所以， 所以，可得：， 所以C对，D错； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 是方程的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数模长、乘法运算，结合共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，是方程的根，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ）． A B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，解三角形求得，，由此确定，求出函数的解析式，可判断A,B；对C，令，求得或，，得解；对D，由题可得周期为12，利用函数的对称性和周期性求解. 【详解】如图，过点作轴垂线，垂足为， ，， ，，所以， 由，则，所以， ，又，即，， ，即，故A错误，B正确； 对于C，令，则或， 解得或，，，故C正确； 对于D，是周期为4的函数，所以周期为12， 则， ，，， ，，，， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）． A. 当M为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点M的轨迹长度为 C. 当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D. 点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，建立适当的空间直角坐标系，求得，判断它是否为0即可；对于B，通过分析得知点M的轨迹是过点O与平行的线段，比较的长度和即可；对于C，点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），只需比较弧上点到距离的最小值和的大小即可判断；对于D，，根据的最大值即可判断. 【详解】因为底面是边长为4的正方形，，， 则都是正三角形，所以， 所以在底面上的射影为直角的外心， 即是的中点，也是正方形的中心，所以四棱锥为正四棱锥， 对于A，连接， 则，，两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， N为的中点，则． 当M为的中点时，，，， 设异面直线与所成角为， ，，故，A正确； 对于B，设Q为的中点，N为的中点， 则，平面，平面，则平面， 又平面，，平面， 又，设， 故平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则， 点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确； 对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图）， K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点M到的距离为，C正确； 对于D，，的最大值，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，准确画出图形，利用向量方法解决几何问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二项式定理的逆用，可得答案. 详解】． 故答案为：. 13. 已知，且__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数定义以及导数运算法则即可得到答案. 【详解】， 而， 则. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点关于渐近线的对称点为M且点M位于双曲线上，则双曲线的离心率是__________，若的内切圆圆心横坐标是2，则圆的半径是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求出，进而得到，再利用对称点性质和中位线定理得到线段关系，从而求出双曲线离心率，然后根据内切圆圆心横坐标求出的值，最后依据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径. 【详解】如图，设，，令一条渐近线为， 即，且渐近线与交于点A，故， 而，可得， 由已知得点M为关于渐近线的对称点，则， 故A是中点，而O是的中点， 故是的中位线，， 而，故，故，则. 则双曲线的离心率是， 的内切圆圆心横坐标是2， 则圆与x周的切点横坐标是2，则， 又因直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和减去斜边除以2，则圆的半径是． 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）证明：有且仅有1个零点； （2）若在处的切线与只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）求导可判断函数的单调性，根据零点存在定理即可证明； （2）先求出函数在处的切线，再由已知可得有且仅有1根，分情况求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， 所以在上单调递增， 又，， 故， 由零点存在定理可知，有且仅有1个零点，且零点位于内； 【小问2详解】 因为，所以， 所以在处的切线为， 因为在处的切线与只有一个公共点可知， 有且仅有1根， 即有且仅有1根， 当时，方程变为即，符合条件； 当时，则有，即，所以， 综上，或. 16. 甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）． （1）从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由； （2）现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率． 【答案】（1）从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立，理由见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合相互独立事件的概率公式，可得答案； （2）根据离散型随机变量分布列的计算方法，结合均值的计算公式以及条件概率，可得答案. 【小问1详解】 设事件A：从甲盒中摸出红色球，设事件B：从甲盒中摸出偶数序号球． 样本空间总数为6． 由古典概型可知，，， ，故从甲盒中摸出红色球和摸出偶数序号球这两件事相互独立． 【小问2详解】 X的取值有4，5，6，7，8，9，10， ；；； ；；； X 4 5 6 7 8 9 10 ， 设事件C：摸球分数不低于9；设事件D：从甲盒中摸出两球颜色相同． ，，． 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，，． （1）若E为的中点，求证：平面平面； （2）若三角形是钝角三角形，求平面与平面所成的角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）易证平面，得到，再由即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，平面， 则，， 而，，，平面， 于是平面， 又平面，则， 由，E为的中点，得，，，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，直线，，两两垂直， 以点A为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由余弦定理得 , 解得：或， 因为三角形是钝角三角形，经代入验证不符合题意， 故， 过C作于F，得，，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，，得． 由平面，得平面的一个法向量， 依题意，， 平面与平面所成的角的余弦值 18. 已知椭圆的离心率为，，为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点，的最大面积为1．点H在圆上运动，过H点作圆的切线交椭圆C于A、B两点．四边形是椭圆C的外切矩形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）（ⅰ）设点D运动轨迹为，求的方程； （ⅱ）延长、分别交轨迹于P、Q两点，求的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及焦点三角形面积的最大值，结合的等量关系，可得答案； （2）（i）设过点的切线，联立椭圆方程，由直线与椭圆相切可得根的判别式为零，根据韦达定理以及斜率公式，可得答案；（ii）设出直线的方程，联立椭圆方程，写出韦达定理，求出原点到直线的距离，可得参数的等量关系，利用向量的数量积，可得三角形为直角三角形，根据圆的方程，可得答案. 【小问1详解】 ∵，∵当M为椭圆的短轴端点时，的面积的最大值为1， ∴，∴，， ∴，，椭圆方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由已知得、和椭圆相切，当两切线斜率均存在且不为零时， 设， 设过D的切线为，联立， 化简得， ， ，为的两根， 则，即． 当两条切线有斜率不存在或者斜率为零时，经检验也成立， 综上． （ⅱ）当直线斜率存在时，设直线方程为， 点O到直线的距离，化简得， 联立，可得， ， 设点、，则，． ． 代入化简，即． 当直线斜率不存在时，可求得，，经检验依然成立． 由（ⅰ）得，，. 19. 给定一个数列，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式（1）称为数项级数，其中，称为数项级数（1）的通项或一般项，数项级数（1）也常写作或．数项级数（1）的前n项之和，记为，称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和．若数项级数（1）的部分和数列收敛于S（即），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作或． （1）求数项级数的部分和； （2）判断数项级数是否收敛，若收敛，求数项级数的和； （3）若数项级数收敛，求实数q取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）运用错位相减法求和即可；（2）运用裂项相消求值，结合极限和收敛概念解题； （3）运用等比数列公式求和，再用极限知识和收敛概念计算即可. 【小问1详解】 要求数项级数的部分和， 即求， ① 则有， ② ①－②，得 故， 【小问2详解】 对于数项级数 其部分和为 因为， 所以， 故数项级数收敛，其数项级数的和为． 【小问3详解】 对于数项级数，设其部分和为． 当时，，，此时，数项级数不收敛． 当时，． ①时，由，故 此时，数项级数不收敛； ②时，，故， 此时，数项级数收敛于． ③时，， 则，，，1，2，3⋯ 此时，不会收敛于同一个常数，故数项级数不收敛． 综上，实数q的取值范围为． 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $