精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

成都石室阳安学校2024-2025学年度下期高2023级5月月考 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的递推公式即可得解. 【详解】解：显然是斐波那契数列， 所以， 则， 故选：B. 2. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，，即可得解. 【详解】设数列的公比为， 数列为等比数列，且，， 又，，. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式和性质的应用，属于基础题. 3. 由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ） A 360 B. 480 C. 600 D. 720 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理直接计算求解即可. 【详解】由题意得第一位上不得为0，故有6种选择， 第二位上减去第一位上使用过的数字共有6种选择，同理第三位上有5种选择， 第四位上有4种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成个无重复数字的四位数， 故选：D 4. 已知，若，则自然数（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法求得，，结合已知列方程求即可. 详解】令，得， 令，得， 所以. 故选：B 5. 已知某随机变量的分布列为下表，则（ ）. 0 1 0.2 0.4 A. 0.2 B. 0.56 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质及随机变量期望与方差的公式即可求解. 【详解】由分布列的性质得，所以， 根据随机变量期望公式得， 故选：B. 6. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将问题转化为恒成立，利用判别式法求解即可. 【详解】的导数为， 因为函数无极值，在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：D 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用对立事件概率性质，条件概率公式，互斥事件概率公式计算，逐个判断即可. 【详解】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确.  对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确.  对于选项，因为，且，所以. 已知，，则，所以选项正确.  对于选项，根据概率的加法公式：. 已知，，，则，所以选项错误.  故选：D. 8. 设函数是上可导偶函数，且，当，满足，则的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令，因为函数在上是可导的偶函数，所以在上也是偶函数 又当时， 在上是增函数 由得 选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知二项式的展开式，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项 B. 常数项为第5项 C. 展开式中含的项为 D. 展开式中所有项的系数和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数的单调性即可求解A，利用通项即可求解BC，利用赋值法即可求解D. 【详解】由于，故二项式系数最大为，为第4项，故A错误， 的展开式的通项为，令，解得，故常数项为第5项，B正确， 令，则，故含的项为，故C正确， 在中，令，得，故D错误， 故选：BC 10. 某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排．（ ） A. 若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种 B. 若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种 C. 若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种 D. 若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过每排的可能情况列出后，根据分类计数原理计算即可判断A； 通过“正难则反”的方法考虑反面情况判断B和D；通过先选再排判断C. 【详解】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种， 在第五排有种， 在第六排有种在第七排有种，共有27种． 再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确． 甲、乙在同一列的情况共有种， 则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确． 若甲、乙前后相邻，先选座位：有种， 再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误． 中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种． 甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种， 所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确． 故选：ABD 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在点处的切线的斜率是________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，则，故答案为． 考点：利用导数求曲线上某点切线斜率． 13. 在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则______. 【答案】20 【解析】 【分析】根据均值性质即可得到答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：20. 14. 如果连续自然数数列，，…，满足，那么正整数n最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】通过对数的运算性质及等差数列的性质可得，即，由此可分析正整数n的最大值. 【详解】由已知得，即． ∵，，…，为连续自然数， ∴上式可化简为，即， ∴，即． 要使最大，且，则只能有，即， ∴该数列最多有6项，首项为3． 故答案为：6. 四、解答题（共77分） 15. 已知是等差数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式. （2）由（1）可得，结合裂项法求和，求得，结合，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：数列的通项公式为，可得， 则， 因为，可得，所以， 即. 16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据母线的性质可得平面，从而得，根据直径得，从而得平面，结合面面垂直的判断可得平面平面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 17. 甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. （1）求m的值； （2）若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）首先求出掷一枚骰子，点数为1或2的概率和点数为3、4、5、6的概率，然后根据掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是这一条件求出的值. （2）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求对应的概率，然后列出分布列，最后利用数学期望公式求出期望值. 【小问1详解】 由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 18. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率在，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. （1）求椭圆及圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点，求面积的取值范围. 【答案】（1）椭圆：，圆：； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及点在椭圆上，求出的值，得到椭圆方程；根据圆心到切线的距离为半径，求得圆的方程； （2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在时，利用，结合韦达定理计算可得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求弦长，即可求得的面积. 【小问1详解】 由题意，椭圆离心率，点在椭圆上，则， 解得 所以椭圆的方程为 则右顶点，上顶点，直线， 圆心到直线的距离，即圆的半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由题意，当直线的斜率不存在时，，或， 此时，圆心到直线的距离，所以， 当直线的斜率存在时，设直线， 由可得， 设，则， ，即， 化简得， 所以，圆心到直线的距离，， ， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上， 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解函数的单调性， （2）根据极值点可将问题转化为有两个不相等的正数根，，即可利用二次方程根的分布求解（Ⅰ），构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解（Ⅱ）. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递增, ②当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （Ⅰ）， ， 令，要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以 ， 解得， 所以的取值范围为. （Ⅱ）由于在上恒成立， 在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增， 又，， 存在使得，即，， 故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2024-2025学年度下期高2023级5月月考 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 2. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 不确定 3. 由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 4. 已知，若，则自然数（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知某随机变量的分布列为下表，则（ ）. 0 1 0.2 0.4 A. 0.2 B. 0.56 C. 0.7 D. 0.84 6. 若函数无极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知二项式的展开式，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项 B. 常数项为第5项 C. 展开式中含的项为 D. 展开式中所有项的系数和为64 10. 某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排．（ ） A. 若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种 B. 若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种 C. 若甲、乙前后相邻，则购票情况共有21种 D. 若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在点处切线的斜率是________________. 13. 在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则______. 14. 如果连续自然数数列，，…，满足，那么正整数n最大值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知是等差数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 17. 甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. （1）求m的值； （2）若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 18. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率在，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. （1）求椭圆及圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点，求面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $