2024年江苏省南京市中考数学试题-（备考2025）江苏省13大市中考数学真题+模拟+分类28套卷

A１３　南京市２０２４年中考数学试卷 １．A　解析:本题考查了正数和负数,注意０既不 是正数也不是负数．先利用有理数的相应法则进行化 简运算,再根据正负数的定义即可判断．－３＜０,是负 数,故 A选项符合题意;|－３|＝３＞０,是正数,故B选 项不符合题意;－(－３)＝３＞０,是正数,故C选项不符 合题意;(－３)２＝９＞０,是正数,故 D选项不符合题意． ２．D　解析:本题考查了平方差公式,根据题意列 出代数式并进行因式分解是解题的关键．设两个奇数 分别为２m＋１和２n＋１,则(２m＋１)２ －(２n＋１)２ ＝ (２m＋１＋２n＋１)(２m＋１－２n－１)＝(２m＋２n＋２)(２m－ ２n)＝４(m＋n＋１)(m－n)．∵m－n与m＋n＋１中必有 一个为偶数,∴(２m＋１)２－(２n＋１)２ 能被８整除． ３．C　解析:本题考查了科学记数法．２×１．６７４× １０－２７＋２．６５７×１０－２６ ＝０．３３４８×１０－２６ ＋２．６５７× １０－２６＝２．９９１８×１０－２６(kg)． ４．B　解析:本题考查了正多边形和圆,正确求出 正n边形的中心角是解题的关键．如图,记正n边形的 中心为O,连接 OB,OC．由圆周角定理,得∠AOC＝ ２∠１＝４０°．∵AB＝BC,∴AB︵ ＝BC︵,∴ ∠AOB ＝ ∠BOC＝１２∠AOC＝２０° ,∴n＝３６０２０＝１８． ５．D　解析:本题考查了切线的性质、勾股定理等 知识．如图,连接BE,过点 D 作DH⊥BC 于点 H．由 切线的性质可知,BE⊥CD,BA⊥AD．∵AD∥BC, ∴BA⊥BC,则四边形 ABHD 是矩 形,∴DH＝AB, BH＝AD．在 Rt△BCE 中,BE＝１５,BC＝１７,由勾股 定理可得CE＝８．又由切线长定理可知 DA＝DE．设 DA＝DE＝x,在 Rt△DCH 中,DH＝１５,CH＝１７－x, CD＝x＋８,由勾股定理可知(x＋８)２＝１５２＋(１７－x)２, 解得x＝９,即AD 的长为９． ６．A　解析:本题考查了不等式组的应用．设 A 商品的单价为x元,B商品的单价为y元,根据题意, 得 ２００≤２x＜３００, ３００≤２x＋y＜４００,{ ∴当２x＝２９９时,y取最小值, 最小值为１． ７．＜　解析:本 题 考 查 了 有 理 数 的 大 小 比 较． ∵－２３＝－ ６ ９ , －６９ ＝ ６ ９ , －４９ ＝ ４ ９ ,６ ９ ＞ ４ ９ , ∴－２３＜－ ４ ９． ８．x≥－１　解析:本题考查了二次根式有意义的 条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关 键．根据二次根式有意义的条件可知,x＋１≥０,解得 x≥－１． ９．２ ６　解析:本题考查了二次根式的乘除,注意 要把结果化为最简二次根式．原式＝ ４８ ２ ＝ ４８２ ＝ ２４＝２ ６． １０．a＋b＝０　解析:本题考查了相反数的定义． 如果实数a,b满足a＋b＝０,那么a,b互为相反数． １１．x＝１　解析:本题考查了分式方程的解法．原 方程去分母,得x＋１－２x＝０,解得x＝１,检验:当x＝ １时,x(x＋１)≠０,则原分式方程的解为x＝１． １２．９　解析:本题考查了反比例函数的应用．设 电流I与电阻R 的反比例函数表达式为I＝kR ,把R＝ ６,I＝６代入,得６＝k６ ,解得k＝３６,∴电流I与电阻R 的函数表达式为I＝３６R ,当R＝４时,I＝３６４＝９． １３．１０８　解析:本 题 考 查 了 角 平 分 线 的 定 义． ∵OD 是 ∠AOC 的 平 分 线,∴ ∠COD ＝ １２ ∠AOC． ∵OE是 ∠BOC 的 平 分 线,∴ ∠EOC＝ １２ ∠BOC , ∴∠COD＋∠EOC＝１２∠AOC＋ １ ２∠BOC ,即∠DOE＝ １ ２∠AOB＝９０°．∵∠AOE＝１６２° ,∴∠AOD＝∠AOE－ ∠DOE＝７２°,∴∠BOD＝１８０°－∠AOD＝１０８°． １４．３　解析:本题考查了等边三角形和含３０°角 的直角三角形的有关性质．如图,过点E 作EH ⊥BC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１— 交BC 的延长线于点H．∵△ABC是边长为４的等边 三角形,AD是中线,∴AD⊥BC,∠BAD＝３０°,BD＝２, ∴AD＝２３．由 旋 转 的 性 质,得 DE＝DA＝２３． ∵∠EDH＝∠ADC－∠ADE＝９０°－６０°＝３０°,∴EH＝ １ ２DE＝ ３ ,∴S△BDE＝１２BD 􀅰EH＝１２×２× ３＝ ３． １５．３－ ７　解析:本题考查了算术平方根．∵１６－ ６７＝９＋７－６ ７＝３２－２×３× ７＋(７)２ ＝(３－ ７)２,∴１６－６ ７的算术平方根是３－ ７． １６．２　４＋ １５　解析:本题考查了一元二次方程 的根的定义．解关于x的方程(x－２)(ax２＋bx＋c)＝０ (a,b,c是有理数,a≠０),得x－２＝０或ax２＋bx＋c＝ ０,∴x＝２或ax２＋bx＋c＝０．∵４－ １５是关于x的方 程(x－２)(ax２＋bx＋c)＝０的一个根,∴b２－４ac≥０, 且－b－ b ２－４ac ２a ＝４－ １５．∵a ,b,c是有理数,a≠ ０,∴ －b＋ b ２－４ac ２a ＝４＋ １５ 也 是 关 于 x 的 方 程 (x－２)(ax２＋bx＋c)＝０的一个根,∴该方程的另外 两个根分别是２和４＋ １５． １７．解析:本题考查了一元一次不等式组的解法, 先求出每个不等式的解集,然后找出这两个不等式解 集的公共部分即可求解． 解: x－１＞－２(x－１)＋３①, x－８＜４x＋１②,{ 解不等式①,得x＞２, 解不等式②,得x＞－３, ∴原不等式组的解集为x＞２． １８．解析:本题考查了分式的混合运算,将括号内 的式子通分,同时将括号外的除法转化为乘法,然后约 分即可． 解:(１＋ １x－１) ÷ x x２－１ ＝x－１＋１x－１ 􀅰(x＋１)(x－１) x ＝ xx－１ 􀅰(x＋１)(x－１) x ＝x＋１． １９．解析:本题考查了图形的运动、待定系数法求 函数表达式．根据题意可得到点B,C 的坐标,然后代 入y＝２x＋１,求解即可得点A 的坐标． 解:∵点A(a,b)与点B 关于x 轴对称,将点A 向 左平移３个单位长度得到点C, ∴B(a,－b),C(a－３,b)． ∵B,C两点都在函数y＝２x＋１的图像上, ∴ ２a＋１＝－b, ２(a－３)＋１＝b,{ 解得 a＝１, b＝－３,{ ∴点A 的坐标为(１,－３)． ２０．解析:本题考查了矩形的判定、圆周角定理、 全等三角形的判定与性质．由 AC 是☉O 的直径可得 ∠B＝∠D＝９０°,从而证明 Rt△ABC≌Rt△CDA,得 到AB＝CD,即可证明四边形ABCD 是矩形． 证明:∵对角线AC是☉O的直径, ∴∠B＝∠D＝９０°, ∴△ABC和△CDA 是直角三角形． 在 Rt△ABC和 Rt△CDA 中, AC＝CA, CB＝AD,{ ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL), ∴AB＝CD． 又∵AD＝BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵∠B＝９０°, ∴四边形ABCD 是矩形． ２１．解析:本题考查了用列表法或画树状图法求 事件的概率．(１)直接利用概率公式即可得出答案; (２)画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个 袋子中摸出的球都是红球的结果数,再利用概率公式 即可得出答案． 解:(１)由题意知,共有３种等可能的结果,其中从 甲袋子中摸出的球是白球的结果有１种,∴从甲袋子 中摸出的球是白球的概率是１ ３． 故答案为１ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —２— (２)画树状图如图所示． 由树状图可知,共有９种等可能的结果,其中从两 个袋子中摸出的球都是红球的结果有４种,∴从两个 袋子中摸出的球都是红球的概率为４ ９． ２２．解析:本题考查了折线统计图的相关知识． (１)根据相关概念和数据进行逐项分析即可;(２)设１ 月份销售量为x 万辆,求出６月份的销售量,作差即 可;(３)根据月增量的意义进行分析即可得到答案． 解:(１)月增量＝当月的销售量－上月的销售量． ∵不知道１月份的销售量,∴无法得到２月份的销售 量,故 A选项错误;∵(０．４＋０．２－０．２＋０．５＋０．４)÷ ５＝０．２６(万辆),∴２月份至６月份销售的月增量的平 均数为０．２６万辆,故 B选项正确;∵６月份的月增量 为０．４＞０,∴５月份的销售量小于６月份的销售量,即 ５月份的销售量不是最大的,故 C选项错误;∵不知道 １月份的销售量,∴无法求得各月的销售量,也就无法 计算月增长率,则不能判断５月份销售的月增长率最 大,故 D选项错误． 故答案为B． (２)设１月份销售量为x万辆．根据题意,得x＋ ０．４＋０．２－０．２＋０．５＋０．４＝x＋１．３,∴x＋１．３－x＝ １．３,即６月份的销售量比１月份增加了１．３万辆． 故答案为１．３． (３)不同意这种观点,理由如下:若月增量为正,则 当月销售量比上月增加;若月增量为负,则当月销售量 比上月减少．３月份销售的月增量为０．２＞０,即３月份 相比２ 月 份 销 售 量 增 加,４ 月 份 销 售 的 月 增 量 为 －０．２＜０,即４月份相比３月份销售量减少,∴２月份 至４月份销售量不是持续减少的． ２３．解析:本题考查了锐角三角函数、解直角三角 形的应用．过点B,C 分别作正北方向的垂线,垂足分 别为F,D,过点B作BE⊥CD 交CD 的延长线于点E, 先在 Rt△ABF中求出AF 的长,进而表示出CD,AD 的长,最后根据锐角三角函数列出方程解决问题即可． 解:如图,过点B,C分别作正北方向的垂线,垂足 分别为F,D,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E, 设 BC 与 航 线 交 于 点 K．在 Rt△ABF 中,∵BF＝ １２km,∠BAF＝３７°,∠BFA＝９０°,∴AF＝ BFtan３７°≈ １６km．在Rt△BFK 中,BF＝１２km,∠BKF＝∠EBC＝ ７６°,∴KF＝ BFtan７６°≈３km． 设DK＝xkm,在 Rt△CDK 中,∵∠DKC＝∠EBC＝７６°,∴CD＝４DK＝４xkm．由 题意可得DK∥BE,∴DKBE ＝ CD CE ,∴BE＝(３＋x)km, ∴DF＝(３＋x)km,∴AD＝(１９＋x)km．在 Rt△ACD 中,∵CD＝４xkm,AD＝(１９＋x)km,∠CAD＝２１°, ∴tan２１°＝CDAD＝ ４x １９＋x＝ ８ ２１ ,解得x＝２,∴CD＝４x＝ ８(km)．答:港口C到航线的距离为８km． ２４．解析:本题考查了中心对称、平行四边形的判 定与性质、勾股定理、菱形的性质等知识．(１)证明 DF＝AC,DF∥AC即可;(２)利用勾股定理求出AB的 长,再利用面积法求出OC的长,最后利用勾股定理求 出AO的长即可． (１)证明:∵△DEF和△ABC关于点O 对称, ∴DF＝AC,DF∥AC, ∴四边形ACDF是平行四边形． (２)解:如图,连接CF． ∵△DEF和△ABC关于点O 对称, ∴OD＝OA． ∵四边形ACDF是平行四边形, ∴CF交AD 于点O． ∵∠ACB＝９０°,AC＝４,BC＝３, ∴AB＝ AC２＋BC２ ＝ ４２＋３２ ＝５． ∵四边形ACDF是菱形,∴CF⊥AD, ∴１２ 􀅰AC􀅰CB＝１２ 􀅰AB􀅰OC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —３— ∴OC＝１２５ , ∴AO＝ AC２－OC２ ＝ ４２－ (１２５ ) ２ ＝１６５． ２５．解析:本题考查了含字母系数的二次函数的 有关性质．(１)将点(m,n)的坐标代入y＝x２ 即可求得 n的最小值为０,再将n＝０和点(１,２)的坐标代入二次 函数的顶点式,即可求得a的值;(２)将点(１,２)的坐标 代入y＝a(x－m)２＋m２ 即可得到a,m 之间的关系式; (３)分a＝ ２－m ２ (m－１)２＞０ 和a＝ ２－m ２ (m－１)２＜０ 两种情况讨 论,并根据二次函数的性质得到关于 m 的不等式组, 进而求解即可得出答案． 解:(１)∵点(m,n)在y＝x２ 的图像上,∴n＝m２, ∴二次函数y＝ax２＋bx＋c化为顶点式为y＝a(x－ m)２＋m２．当n 取得最小值时,m＝０．将 m＝０和点 (１,２)的坐标代入y＝a(x－m)２＋m２,得２＝a(１－０)２＋ ０,解得a＝２． 故答案为２． (２)由(１)可得,二次函数y＝a(x－m)２＋m２ 过点 (１,２),∴２＝a(１－m)２＋m２,即a＝ ２－m ２ (m－１)２． (３)当a＞０,即 ２－m ２ (m－１)２＞０ 时,解得－ ２＜m＜ ２ 且m≠１,此时抛物线开口向上,离对称轴x＝m 越远的 点的函数值越大,根据题意,得|２－m|＞|－２－m|＞ |－１－m|,解 得 － ３２ ＜m＜０ ,∴m 的 取 值 范 围 为 － ２＜m＜０;当a＜０,即 ２－m ２ (m－１)２＜０ 时,解得m＞ ２ 或m＜－ ２,此时抛物线开口向下,离对称轴x＝m越远 的点的函数值越小,根据题意,得|２－m|＜|－２－m|＜ |－１－m|,此时不等式组无解．综上所述,m 的取值范 围为－ ２＜m＜０． ２６．解析:本题考查了尺规作图和正方形的性质． (１)思路１:作线段EF 的垂直平分线．思路２:利用全 等,在AD 上截取一点H,使DH＝AE,在BC 上截取 一点G,使BG＝CF,连接GH．(２)思路１:连接QS,作 RM⊥QS于点M,在射线RM 上截取RJ＝QS,作直线 PJ,则直线PJ即为所求作．思路２:分别以PQ,RS为 直径作☉B和☉D,再分别作PQ,RS 的垂直平分线, 分别与两圆交于点 M,N(点 M 在PQ 下方,点 N 在 RS 上方),作直线 MN 与两圆分别交于另外两点A, C,作直线AP,则直线AP 即为所求作． 解:(１)思路１:如图１,分别以点E,F为圆心,大于 １ ２EF 的长为半径画弧,得到EF 的垂直平分线,分别 交BC,AD 于点G,H,线段GH 即为所求作． 图１ 思路２:如图２,在 AD 上截取一点 H,使 DH＝ AE,在BC上截取一点G,使BG＝CF,连接GH,线段 GH 即为所求作． 图２ (２)思路１:如图３,连接QS,作RM⊥QS于点M, 在射线RM 上截取RJ＝QS,作直线PJ,直线PJ即为 所求作． 图３ 思路２:如图４,分别以 PQ,RS 为直径作☉B 和 ☉D,再分别作PQ,RS的垂直平分线,分别与两圆交 于点 M,N(点 M 在PQ 下方,点 N 在RS 上方),作直 线 MN 与两圆分别交于另外两点A,C,作直线AP,直 线AP 即为所求作． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —４— 图４ ２７．解析:本题考查了相似三角形、解直角三角形、 函数图像的应用、不等式等知识．(１)分析图２可以发现 影长的变化有三种情况,结合图１可以发现,当０≤ x≤６时,影子在P１P２ 这段平路上,当６＜x≤８时,影 子有部分在平路上,有部分在斜坡上,因此点 A 表示 影子顶部到达P２ 处,人还在平路上,而点B 表示人到 达P２ 处,所以点A 的坐标为(６,２)．(２)当人前进６m 时,影长为２m,根据题意作出示意图,利用相似三角 形的知识即可求得路灯的高度．(３)①分别计算出０≤ x≤６和８＜x≤１４时y关于x 的一次函数表达式,然 后比较两个比例系数的大小即可;②分别用点A１,A２ 和A３ 表示小明在行走过程中的三个位置,且假设这三 个位置点的间距相等,即A１A２＝A２A３,不妨通过A１, A２ 和A３ 这三个位置来探究小明在前进过程中,其影 长的变化趋势． 解:(１)点A 表示当小明前进路程为６m 时,影长 为２m,此时头顶的影子恰好落在点P２ 处． (２)如图１,当小明前进６m 时,影长为２m,则 DE＝１．５m,DP２ ＝２m,P１D＝６ m．设 LP１ ＝h m． ∵DE∥LP１,∴△P２DE∽△P２P１L,∴DELP１＝ P２D P１P２ ,即 １．５ h ＝ ２ ６＋２ ,解得h＝６,∴LP１＝６m． 故答案为６． 图１ (３)①由(１)知,点A 的坐标为(６,２),则线段OA 的函数表达式为y＝１３x (０≤x≤６)．当８＜x≤１４时, 小明位于P２,P３ 之间,如图２,延长 NM(表示小明的 身长)交直线 P１P２ 于点 R,作 PQ⊥P１P２ 于点 Q,作 PS⊥LP１ 于点S,交MN 于点T,则∠TPM＝∠PP２Q＝ α．在 Rt△PQP２ 中,P２Q＝PP２ 􀅰cosα＝ (x－８＋ y)cosα,PQ＝PP２ 􀅰sinα＝ (x－８＋y)sinα．在 Rt△PTM 中,PT＝PM􀅰cosα＝ycosα,MT＝PM􀅰 sinα＝ysinα,则PS＝QP１＝P１P２＋P２Q＝８＋(x－８＋ y)cosα,LS＝LP１ －SP１ ＝LP１ －PQ＝６－(x－８＋ y)sinα,NT＝MN－MT＝１．５－ysinα．由△NTP∽ △LSP,得 NTLS ＝ TP SP ,即 １．５－ysinα ６－(x－８＋y)sinα ＝ ycosα ８＋(x－８＋y)cosα ,化 简,得 y ＝ ３１６tanα＋９x ＋ ２４(１－cosα) １６sinα＋９cosα ,即 直 线 BC 的 斜 率 为 ３１６tanα＋９． ∵０＜α＜４５°,∴０＜tanα＜１,∴３２５＜ ３ １６tanα＋９＜ １ ３． ∵直线OA 的斜率为１３ ,∴直线OA 的倾斜程度大于 直线BC 的倾斜程度． 图２ ②如图３,分别用点A１,A２ 和A３ 表示小明在行走 过程中的三个位置,且假设这三个位置点的间距相等, 即A１A２＝A２A３,处在这三个位置时,小明在路灯L 下 的投影的一部分在平地P１P２ 段,另一部分 在 斜 坡 P２P３ 段．当小明处于点Ai(i＝１,２,３)位置时,记路灯 L的光线穿过小明头顶所对应的位置Bi(i＝１,２,３)投 影在斜坡P２P３ 段的位置为Ci(i＝１,２,３)． 图３ 处于点Ai 位置时,小明的影子由平地(P１P２ 段) 的AiP２ 和斜坡(P２P３ 段)的P２Ci 两部分共同组成．不 妨通过A１,A２ 和A３ 这三个位置来探究小明在前进过 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —５— 程中影长的变化趋势． 过程１:小明从A１ 前进到A２,平地(P１P２ 段)的影 长由 A１P２ 缩短至 A２P２,缩短量为 A１A２,斜坡(P２P３ 段)的影长由P２C１ 增长至P２C２,增加量为C１C２;过程 ２:小明从A２ 前进到A３,平地(P１P２ 段)的影长由A２P２ 缩短至A３P２,缩短量为 A２A３,斜坡(P２P３ 段)的影长 由P２C２ 增长至P２C３,增加量为C２C３． 在以上两个过程中,整体影长的变化量等于影长在 斜坡上的增加量减去在平地上的缩短量,当增加量＞ 缩短量时,整体影长增大,反之减小．即:小明从Ai 前 进到 Ai＋１ 的 过 程 中,影 长 的 变 化 量 等 于 CiCi＋１ － AiAi＋１,当CiCi＋１－AiAi＋１＞０时,整体影长增大,反之 减小．同时,由于A１A２＝A２A３,所以两次前进,影子在 平地上的缩短量相等,通过直接观察容易看出,在第一 次前进过程中影子在斜坡上的增加量C１C２ 大于第二 次前进过程中的增加量C２C３,即随着不断前进,影子 每次在斜坡的增加量呈现递减趋势． 基于以上探究,可以得到以下两个结论． 结论１:在前进的过程中,CiCi＋１－AiAi＋１的符号 决定了影长增大还是减小． 结论２:当每次前进的距离相等时,影长在斜坡段 的增加量CiCi＋１在逐渐减小． 基于以上结论,可以进一步推出以下两个结论． 结论 ３:若 某 一 次 前 进,影 长 在 斜 坡 的 增 加 量 CiCi＋１小于在平地的缩短量 AiAi＋１,则这次之后的每 一次前进(等距),增加量也始终小于缩短量,即整体影 长始终减小． 结论 ４:若 某 一 次 前 进,影 长 在 斜 坡 的 增 加 量 CiCi＋１大于在平地的缩短量 AiAi＋１,则这次之后的每 一次前进(等距),增加量也始终大于缩短量,即整体影 长始终增大． 通过调整斜坡的角度,如果能使第一次前进时影 长在 斜 坡 的 增 加 量 CiCi＋１ 小 于 在 平 地 的 缩 短 量 AiAi＋１,则影长将持续减小．如图４的斜坡P２P４所示, 只需将斜坡角度调整到尽可能与光线射入方向垂直, 此时显然有C１C２＜B１B２＝A１A２,即存在α使得y 随x 的增大而减小． 图４ 同样,如果能使第一次前进时影长在斜坡的增加 量CiCi＋１大于在平地的缩短量AiAi＋１,则影长将持续 增大．如图４的斜坡P２P５ 所示,只需将斜坡角度调整 到尽可 能 与 地 面 平 行,此 时 显 然 有 C１C２ ＞B１B２ ＝ A１A２,即存在α,使得y随x 的增大而增大． 当斜坡角度处于上述两者之间时,也必然存在影 长先增大后减小的情况,如题图２中所给的曲线 AB 段,即存在α,使得y随x 的增大先增大后减小． 综上所述,所有可能出现的序号是(a)(b)(c)． 故答案为(a)(b)(c)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —６— A１３－１　 A１３ 　南京市２０２４年中考数学试卷 (满分:１２０分　考试时间:１２０分钟) 一、选择题(本大题共６小题,每小题２分,共１２分．在每小题所给出的四个选项中,恰有一 项是符合题目要求的) １．下列四个数中,是负数的是 (　　) A．－３ B．|－３| C．－(－３) D．(－３)２ ２．任意两个奇数的平方差总能 (　　) A．被３整除 B．被５整除 C．被６整除 D．被８整除 ３．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子,一个氢原子的质量 约为１．６７４×１０－２７kg,一个氧原子的质量约为２．６５７×１０－２６kg,则一个水分子的质量大 约是 (　　) A．３．６１３７×１０－２５kg B．２．８２４４×１０－２６kg C．２．９９１８×１０－２６kg D．３．６１３７×１０－２７kg ４．如图,在正n边形中,∠１＝２０°,则n的值是 (　　) A．１６ B．１８ C．２０ D．３６ (第４题) 　　　　 (第５题) ５．如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD,CD 分别与扇形BAF 相切于点A,E．若AB＝ １５,BC＝１７,则AD 的长为 (　　) A．８ B．８．５ C．５３ D．９ ６．某商场促销方案规定:单笔消费金额每满１００元立减１０元．例如,单笔消费金额为２０８元 时,立减２０元．甲在该商场单笔购买２件 A商品,立减了２０元;乙在该商场单笔购买２件 A商品与１件B商品,立减了３０元．若B商品的单价是整数元,则它的最小值是 (　　) A．１元 B．９９元 C．１０１元 D．１９９元 二、填空题(本大题共１０小题,每小题２分,共２０分) ７．比较大小:－２３　　　　－ ４ ９． (填“＞”“＜”或“＝”) ８．若式子 x＋１在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　　　． ９．计算 ６× ８ ２ 的结果是　　　　． A１３－２　 １０．如果实数a,b满足　　　　,那么a,b互为相反数． １１．方程１x－ ２ x＋１＝０ 的解是　　　　． １２．已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例 函数关系．完成下表: R/Ω 􀆺 ４ ６ ８ 􀆺 I/A 􀆺 　　　　 ６ ４．５ 􀆺 １３．如图,点A,O,B 在同一条直线上,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠BOC 的平分线．若 ∠AOE＝１６２°,则∠BOD＝　　　　°． (第１３题) 　　　　 (第１４题) １４．如图,在边长为４的等边三角形ABC中,AD 是中线,将DA 绕点D 顺时针旋转６０°得到 DE,连接BE,则S△BDE＝　　　　． １５．阅读材料:由６＋２５＝５＋１＋２ ５＝(５)２＋２× ５×１＋１２＝(５＋１)２,可知６＋２ ５的 算术平方根是 ５＋１．类似地,１６－６７的算术平方根是　　　　． １６．已知４－ １５是关于x的方程(x－２)(ax２＋bx＋c)＝０(a,b,c是有理数,a≠０)的一个根, 则该方程的另外两个根分别是　　　　,　　　　． 三、解答题(本大题共１１小题,共８８分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １７．(７分)解不等式组: x－１＞－２(x－１)＋３, x－８＜４x＋１．{ １８．(７分)计算:(１＋ １x－１) ÷ x x２－１． A１３－３　 １９．(７分)已知点A(a,b)与点B 关于x 轴对称,将点A 向左平移３个单位长度得到点C．若 B,C两点都在函数y＝２x＋１的图像上,求点A 的坐标． ２０．(８分)如图,在☉O的内接四边形ABCD 中,AD＝BC,对角线AC 是☉O 的直径,求证: 四边形ABCD 是矩形． ２１．(８分)甲袋子中有２个红球、１个白球;乙袋子中有１个红球、１个白球．这些球除颜色外 无其他差别．先从甲袋子中随机摸出１个球放入乙袋子,摇匀后,再从乙袋子中随机摸出 １个球． (１)从甲袋子中摸出的球是白球的概率是　　　　． (２)从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少? A１３－４　 ２２．(８分)某品牌汽车２月份至６月份销售的月增量折线统计图如下: 注:月增量＝当月的销售量－上月的销售量,月增长率＝ 月增量 上月的销售量×１００％． 例如:８月份的销售量为２万辆,９月份的销售量为２．４万辆,那么９月份销售的月增量 为２．４－２＝０．４(万辆),月增长率为２０％． (１)下列说法正确的是　　　　． A．２月份的销售量为０．４万辆 B．２月份至６月份销售的月增量的平均数为０．２６万辆 C．５月份的销售量最大 D．５月份销售的月增长率最大 (２)６月份的销售量比１月份增加了　　　　万辆． (３)２月份至４月份的月销售量持续减少,你同意这种观点吗? 说明理由． ２３．(８分)如图,港口B 位于港口A 的北偏西３７°方向,港口C 位于港口A 的北偏东２１°方 向,港口C位于港口B 的北偏东７６°方向．一艘海轮从港口A 出发,沿正北方向航行,已 知港口B 到航线的距离为１２km,求港口C 到航线的距离．(参考数据:tan２１°≈８２１ , tan３７°≈３４ ,tan７６°≈４．) A１３－５　 ２４．(８分)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,O 是AB 上一点,△DEF 和△ABC关于点O 对称,连接AF,CD． (１)求证:四边形ACDF是平行四边形． (２)已知AC＝４,BC＝３,求四边形ACDF是菱形时AO 的长． ２５．(９分)已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图像经过点(１,２),它的顶点(m,n)在函数y＝x２ 的图像上． (１)当n取最小值时,a＝　　　　． (２)用含m 的代数式表示a． (３)已知点A(－２,y１),B(－１,y２),C(２,y３)都在函数y＝ax２＋bx＋c的图像上,当y２＜ y１＜y３ 时,结合函数的图像,直接写出m 的取值范围． A１３－６　 ２６．(８分)(１)如图１,点E,F分别在正方形ABCD 的边AB,CD 上,连接EF．求作GH,使点 G,H 分别在边BC,AD 上(均不与顶点重合),且GH⊥EF． (２)已知点P,Q,R,S的位置如图２所示,若它们分别在一个正方形的四条边上,用两种 不同的方法求作该正方形过点P 的边所在的直线． 要求:①用直尺和圆规作图;②保留作图的痕迹,写出必要的文字说明． 图１ 图２ ２７．(１０分)如图１,夜晚,小明从路灯L的正下方P１ 处出发,先沿平路走到P２ 处,再上坡到 达P３ 处．已知小明的身高为１．５m,他在道路上的影长y(单位:m)与行走的路程x(单 位:m)之间的函数关系如图２所示,其中,OA,BC是线段,AB 是曲线． (１)结合P２ 的位置,解释点A 横坐标、纵坐标的实际意义． (２)路灯L的高度是　　　　m． (３)设P２P３ 的坡角为α(０°＜α＜４５°)． ①通过计算,比较线段OA 与线段BC 的倾斜程度． ②当α取不同的值时,下列关于曲线AB 的变化趋势的描述:(a)y随x 的增大而增 大;(b)y随x 的增大而减小;(c)y随x 的增大先增大后减小;(d)y随x 的增大先 减小后增大．其中,所有可能出现的序号是　　　　(说明:全部填对的得满分,有 填错的不得分)． 图１ 图２