【数学帮】小升初专项训练：圆柱(解决问题)

小升初专项训练：圆柱(解决问题) 一．解决问题（共 20 小题） 1．观察题。如图是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示 1dm），剪下图中的涂色部分正好可 以围成一个圆柱。 （1）找出圆、长方形，以及围成圆柱之间的数据关联。（写四条） ① ; ② ; ③ ; ④ 。 （2）这个圆柱的侧面积和表面积各是多少平方分米？ 2 ．郑州地区陶文化历时久远，黄河澄泥砚就是河南省非物质文化遗产之一。它以沉淀千年的 黄河渍泥为原料，经特殊炉火烧炼而成，是传统书法用具，被列为中国四大名砚之一。图 有一个圆柱形砚台，它的体积大约是多少？ 3 ．如图所示，有这样的两段钢材，这两段钢材的体积一共是多少？（单位：分米） 第 1页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 4 ．一根圆柱形木料的底面半径是 0.5m ，长是 3m 。如图，将它截成 4 段，这些木料的表面积 之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 5 ．李阿姨做了一个圆柱形抱枕，长 60 厘米，底面直径是 20 厘米，如果侧面用花布，底面用 黄布。李阿姨需要多少平方米的花布？ 6 ．一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径 6 米，池深 1.2 米．镶瓷 砖的面积是多少平方米？ 7 ．节约用水是我们每个小学生的义务，学校用的自来水管的内直径为 0.2 分米， 自来水的流 速一般为每秒 5 分米。如果忘记关上水龙头，1 分钟将浪费多少升水？ 学科网（北京）股份有限公司 8 ．一个圆柱形零件，从前面看到的图形如图（每个小正方形的边长是 1cm ） （1）这个零件的底面直径是 cm ，高是 。 （2）这个零件的侧面积是 cm2。 （3）这个零件的体积是 cm3。 9．小勇把饮料罐上的商标纸沿虚线剪开，展开后得到一个平行四边形（如图），这个圆柱体饮 料罐的体积是多少？ 10．某公司在贵州深山中开凿了一个长为 100m 的山洞作为数据中心，山洞的横截面如图所示： （1）该数据中心的内部空间有多少立方米？ （2）为了防潮，需要给该数据中心的地面和内壁（含洞口所在的墙面）贴一层防潮布，至 少需要多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 11 ．冬奥会项目设有单板滑雪 U 型池赛，其 U 型池简化模型如图，形状可看成一个长方体中 挖去了半个圆柱，已知冬奥会标准 U 型池的规格：长为 120m ，宽为 20m ，高为 10m ，其中 挖去的半个圆柱的底面直径 AD 为 12m ，该 U 型池所占空间大小是多少立方米？ (π取3） 12 ．一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为 18 厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中， 玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至 15 厘米，这时长方体 容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数） 13 ．一个圆柱形的水杯，从里面量底面直径是 16 厘米，高为 32 厘米。水杯中倒入了一些水， 如果按如下要求调制成盐水，大约需要往杯中加盐多少克？ (π取值为3） 学科网（北京）股份有限公司 14 ．一个底面周长是 3. 14 分米的圆柱形玻璃杯内盛有一杯水，恰好占杯子容量的 将两个同 样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水里，这时水面上升 4 厘米，刚好与杯子口平齐，求玻 璃杯的容积。 15．明明想用一张长方形铁皮（如图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你帮他在图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （3）这个水桶装满后可以装多少升水？ 学科网（北京）股份有限公司 16 ．如图，一个不锈钢碗，它的外直径是 20 厘米，底面直径 是 10 厘米，高是 8.8 厘米，碗边沿高 2.8 厘米。 （1）如图 ，两个这样的不锈钢碗紧紧摞起来的高 度是多少厘米？ （2）店家要邮寄 10 个这样的不锈钢碗。把 10 个碗紧紧摞好叠放起来，装在一个圆柱形包 装盒内（如图）。 ①这个包装盒的高度至少是多少厘米？（不计包装盒厚度） ②所用的包装材料至少是多少平方厘米？（不计接缝） ③这个包装盒的体积至少是多少立方厘米？ 17．如图，在一个长 8 厘米，宽 5 厘米，高 6 厘米的长方体中，挖一个底面半径是 2 厘米圆柱 体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞。(π取3） （1）挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？ （2）把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原来 长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体的 表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之几？ 如果减少了，约减少了百分之几？ 学科网（北京）股份有限公司 18．数学实验：星期五下午学校进行数学社团活动，小明和小宇来到数学实验室，将底面为正 方形的两个完全相同的长方体铁块，分别放入与它们等高的两个相同的空圆柱形容器内（容 器的厚度忽略不计），铁块与容器内壁不接触。小明和小宇的放置方式不一样，小明将铁块 竖着放置在容器中，小宇将铁块横着放置在容器中（如图）。现在分别向两个圆柱形容器内 匀速注水，直至容器刚好注满水。容器中水深h（厘米）与注水时间 t（秒）的变化情况记 录如图所示。 （1）这个圆柱形容器的高是 厘米，如果这个圆柱形容器的底面直径 16 厘米， 做这个无盖的圆柱形容器至少需要多少平方厘米的材料？ （2）上面记录的折线统计图A 是 的放置方式，折线统计图 B 是 的放 置方式，请说明你选择的理由。 （3）请你根据相关信息计算出这个长方体铁块的体积。 学科网（北京）股份有限公司 19．如图中的容器由两个圆柱组成。如果向这个容器匀速注满油，注油过程中，容器中油的高 度与所用时间的关系如下图所示。 ①把下面的大圆柱注满需 分钟。 ②上面小圆柱高 cm。 ③如果下面大圆柱的底面积是 36cm2，那么上面 小圆柱的底面积是多少？ 20．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活 中，它无处不在。如“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导 平行四边形的面积时，把平行四边形转化为长方形（如图 1 所示） … … （1）请你回忆一下，在我们以前的数学学习中，利用转化思想，还可以将 转 化为 来研究。 （2）你能用转化的思想方法来解决以下的数学问题吗？如图 2 所示，一个拧紧瓶盖的瓶子 里装有一些水，根据图中标出的数据，瓶中水的体积占瓶子容积的 。 学科网（北京）股份有限公司 小升初专项训练：圆柱(解决问题) 参考答案与试题解析 一．解决问题（共 20 小题） 1．观察题。如图是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示 1dm），剪下图中的涂色部分正好可 以围成一个圆柱。 （1）找出圆、长方形，以及围成圆柱之间的数据关联。（写四条） ① 长方形的长＝圆的周长 ② 长方形的宽等于圆的直径 ③ 长方形的宽等于圆柱的 高 ④ 长方形的长等于圆柱的底面周长 （2）这个圆柱的侧面积和表面积各是多少平方分米？ 【分析】（1）根据圆柱展开图的特点，结合图示填空即可； （2）利用长方形面积公式：S＝ab 、圆的面积公式：S= πr2 计算即可。 【解答】解：（1）①长方形的长＝圆的周长 ②长方形的宽等于圆的直径 ③长方形的宽等于圆柱的高 ④长方形的长等于圆柱的底面周长。（答案不唯一） （2）6.28×2 ＝12.56（平方分米） 3. 14×12 ×2+12.56 =6.28+12.56 = 18.84（平方分米） 答：这个圆柱的侧面积是 12.56 平方分米，表面积是 18.84 平方分米。 故答案为：长方形的长＝圆的周长，长方形的宽等于圆的直径，长方形的宽等于圆柱的高， 长方形的长等于圆柱的底面周长。（答案不唯一） 【点评】本题主要考查圆柱的侧面积和表面积的计算。 2 ．郑州地区陶文化历时久远，黄河澄泥砚就是河南省非物质文化遗产之一。它以沉淀千年的 学科网（北京）股份有限公司 黄河渍泥为原料，经特殊炉火烧炼而成，是传统书法用具，被列为中国四大名砚之一。图 有一个圆柱形砚台，它的体积大约是多少？ 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。 【解答】解：10÷2 ＝5（厘米） 3. 14×5×5×5 ＝392.5（立方厘米） 答：它的体积大约是 392.5 立方厘米。 【点评】熟练掌握圆柱的体积公式，是解答此题的关键。 3 ．如图所示，有这样的两段钢材，这两段钢材的体积一共是多少？（单位：分米） 【分析】观察图形可知，将这两段钢材拼接在一起，则形成一个底面直径为 4 分米，高为 （9+6）分米的圆柱，再根据圆柱的体积公式：V= πr2h ，据此代入数值进行计算即可。 【解答】解：3. 14×（4÷2）2 ×（9+6） =3. 14×4×15 = 12.56×15 = 188.4（立方分米） 答：这两段钢材的体积一共是 188.4 立方分米。 【点评】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 4 ．一根圆柱形木料的底面半径是 0.5m ，长是 3m 。如图，将它截成 4 段，这些木料的表面积 之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【分析】把一个圆柱截成 4 段，表面积增加了圆柱底面积的6 倍。据此解答。 【解答】解：3. 14×0.52 ×6 =3. 14×0.25×6 =4.71（平方米） 第 10页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了 4.71 平方米。 【点评】本题主要考查圆柱表面积的应用。 5 ．李阿姨做了一个圆柱形抱枕，长 60 厘米，底面直径是 20 厘米，如果侧面用花布，底面用 黄布。李阿姨需要多少平方米的花布？ 【分析】求花布的面积，就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式 S = πdh ，代入数据 计算即可。 【解答】解：3. 14×20×60 =62.8×60 =3768（平方厘米） 3768 平方厘米＝0.3768（平方米） 答：李阿姨需要 0.3768 平方米的花布。 【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式在实际生活中的应用，熟记公式是解题的关键。 6 ．一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径 6 米，池深 1.2 米．镶瓷 砖的面积是多少平方米？ 【分析】由题意知，镶瓷砖的部分是内侧面和底面，要求镶瓷砖的面积，可用内侧面积加 上底面积即可． 【解答】解：3. 14×6×1.2+3. 14×（6÷2）2， =3. 14×7.2+3. 14×9， =3. 14×16.2， =50.868（平方米）； 答：镶瓷砖的面积是 50.868 平方米． 【点评】此题是考查圆柱形水池内表面积的计算，要注意是内侧面积加一个底面的面积． 7 ．节约用水是我们每个小学生的义务，学校用的自来水管的内直径为 0.2 分米， 自来水的流 速一般为每秒 5 分米。如果忘记关上水龙头，1 分钟将浪费多少升水？ 学科网（北京）股份有限公司 【分析】首先要求浪费多少升水，就应根据圆柱体的体积计算公式求出每秒流出的水量； 接下来，根据 1 分钟＝60 秒，然后用每秒流出的水量乘以 60 ，即可计算出 1 分钟浪费的水 量。 【解答】解：1 分钟＝60 秒 3. 14×（0.2÷2）2 ×5×60 =3. 14×0.01×5×60 =9.42（立方分米） 9.42 立方分米＝9.42 升 答：1 分钟将浪费 9.42 升水。 【点评】本题是一道关于圆柱的计算问题，关键是回顾圆柱的体积公式。 8 ．一个圆柱形零件，从前面看到的图形如图（每个小正方形的边长是 1cm ） （1）这个零件的底面直径是 4 cm ，高是 6cm。 （2）这个零件的侧面积是 75.36 cm2。 （3）这个零件的体积是 75.36 cm3。 【分析】（1）根据图意，数出这个圆柱形零件的底面直径是 4 厘米，高是 6 厘米； （2）根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）这个零件的底面直径是 4cm ，高是 6cm。 （2）3. 14×4×6 = 12.56×6 =75.36（cm2） 答：这个零件的侧面积是 75.36cm2。 （3）3. 14×（4÷2）2 ×6 =3. 14×4×6 =75.36（cm3） 答：这个零件的体积是 75.36cm3。 【点评】此题考查了圆柱的侧面积和体积计算的应用，要熟练掌握圆柱的体积公式。 9．小勇把饮料罐上的商标纸沿虚线剪开，展开后得到一个平行四边形（如图），这个圆柱体饮 料罐的体积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据圆柱侧面展开图可知，这个圆柱形罐头盒的底面周长是 31.4 厘米，高是 20 厘 米，根据圆柱的体积公式：V= πr2h ，把数据代入公式解答。 【解答】解：3. 14×（31.4÷3.14÷2）2 ×20 =3. 14×25×20 =78.5×20 = 1570（立方厘米） 答：这个圆柱体饮料罐的体积是 1570 立方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是根据圆柱的侧 面展开图确定圆柱的底面周长和高。 10．某公司在贵州深山中开凿了一个长为 100m 的山洞作为数据中心，山洞的横截面如图所示： （1）该数据中心的内部空间有多少立方米？ （2）为了防潮，需要给该数据中心的地面和内壁（含洞口所在的墙面）贴 一层防潮布，至少需要多少平方米？ 【分析】（1）通过观察图形可知，该数据中心的内部空间是半圆柱形，根据圆柱的体积公 式：V＝Sh ，把数据代入公式解答。 （2）根据题意可知，需要贴防潮布的面积是这个半圆柱的侧面积的一半加上底面长方形的 面积再加上前后两个半圆（一个圆）的面积，根据圆柱的侧面积公式：S = πdh ，长方形的 面积公式：S＝ab ，圆的面积公式：S= πr2 ，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）3. 14×（10÷2）2÷2×1000 =3. 14×25÷2×100 =39.25×100 =3925（立方米） 答：该数据中心的内部空间有 3925 立方米。 （2）3. 14×10×100÷2+100×10+3. 14×（10÷2）2 学科网（北京）股份有限公司 =31.4×100÷2+1000+3. 14×25 = 1570+1000+78.5 =4140+78.5 =2648.5（平方米） 答：至少需要 2648.5 平方米。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆柱的表面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 11．冬奥会项目设有单板滑雪 U 型池赛，其 U 型池简化模型如图，形状 可看成一个长方体中挖去了半个圆柱，已知冬奥会标准 U 型池的规格 长为 120m ，宽为 20m ，高为 10m ，其中挖去的半个圆柱的底面直径 AD 为 12m ，该 U 型池所占空间大小是多少立方米？ (π取3） 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh ，圆柱的体积公式：V= πr2h ，把数据代入公式解 答。 【解答】解：120×20×10 -3 ×（12÷2）2 ×120÷2 =2400×10 -3×36×120÷2 =24000 -6480 = 17520（立方米） 答：该 U 型池所占空间大小是 17520 立方米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12 ．一个长方体容器中有一些果汁，果汁高度为 18 厘米，然后倒入旁边的圆柱体玻璃杯中， 玻璃杯数据从里面量得到。倒满一杯后，长方体容器中果汁高度降至 15 厘米，这时长方体 容器中的果汁大约还有多少升？（保留一位小数） 【分析】根据圆柱的容积公式：V= πr2h ，据此求出圆柱形玻璃杯中果汁的体积，此果汁的 学科网（北京）股份有限公司 体积就是高 18 -15 ＝3 厘米长方体的容积。然后根据长方体的容积公式：V＝Sh ，求出长方 体容器的底面积，进而求出此时长方体容器中剩下的果汁的升数。 【解答】解：先求出圆柱形玻璃杯的容积。 3. 14×（6÷2）2 ×10 =3. 14×32 ×10 =3. 14×9×10 =28.26×10 =282.6（立方厘米） 282.6÷（18 -15） =282.6÷3 =94.2（平方厘米） 94.2×15 ＝1413（立方厘米） 1413 立方厘米＝1.413 升≈ 1.4 升 答：这时长方体容器中的果汁大约还有 1.4 升。 【点评】此题主要考查圆柱和长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 13 ．一个圆柱形的水杯，从里面量底面直径是 16 厘米，高为 32 厘米。水杯中倒入了一些水， 如果按如下要求调制成盐水，大约需要往杯中加盐多少克？ (π取值为3） 【分析】根据圆柱的体积公式：V= πr2h ，把数据代入公式求出水的体积是多少升，然后再 乘每升水加盐的克数即可。 【解答】解：3 ×（16÷2）2 ×30 =3×64×30 = 192×30 =5760（立方厘米） 5760 立方厘米＝5.76 升 学科网（北京）股份有限公司 5.76×2 ＝11.52（克） 答：大约需要往杯中加盐 11.52 克。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14 ．一个底面周长是 3. 14 分米的圆柱形玻璃杯内盛有一杯水，恰好占杯子容量的 将两个同 样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水里，这时水面上升 4 厘米，刚好与杯子口平齐，求玻 璃杯的容积。 【分析】由题意可知，4 厘米占杯子从里面量的高的 ，据此求出杯子从里面量的高； 然后根据圆柱形玻璃杯的底面周长求出底面半径，再根据圆柱的体（容）积公式 V= πr2h ， 代入数据计算出玻璃杯的容积即可。 【解答】解：4 厘米＝0.4 分米 =2（分米） 3.14÷3.14÷2 = 1÷2 =0.5（分米） 3. 14×0.52 ×2 =0.785×2 = 1.57（立方分米） 答：玻璃杯的容积为 1.57 立方分米。 【点评】解答本题需熟练掌握圆的周长公式及圆柱体体积公式，灵活利用分数除法解决问 题。 15．明明想用一张长方形铁皮（如图）裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你帮他在图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （3）这个水桶装满后可以装多少升水？ 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据圆柱的特征，圆柱的两个底面是完全相同的两个圆，侧面沿高展开是一 个长方形，已知水桶无盖，首先从这张长方形铁皮上剪先一个直径是 2 分米的圆，再从剩 下的铁皮上剪下一个长是 6.28 分米，宽是 2 分米的长方形做侧面。 （2）根据圆的面积公式：S= πr2 ，圆柱的侧面积公式：S= πdh ，把数据代入公式解答。 （3）根据圆柱的容积（体积）公式：V= πr2h ，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）作图如下： （2）3. 14×（2÷2）2+3. 14×2×2 =3. 14×1+6.28×2 =3. 14×12.56 = 15.7（平方分米） 答：这个水桶实际用了 15.7 平方分米的铁皮。 （3）3. 14×（2÷2）2 ×2 =3. 14×1×2 =6.28 （立方分米） 6.28 立方分米＝6.28 升 答：这个水桶装满后可以装 6.28 升水。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征及应用，圆柱的表面积公式、圆柱 的体积公式及应用。 16 ．如图，一个不锈钢碗，它的外直径是 20 厘米，底面直径是 10 厘米，高是 8.8 厘米，碗边 沿高 2.8 厘米。 （1）如图，两个这样的不锈钢碗紧紧摞起来的高度是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 （2）店家要邮寄 10 个这样的不锈钢碗。把 10 个碗紧紧摞好叠放起来，装在一个圆柱形包 装盒内（如图）。 ①这个包装盒的高度至少是多少厘米？（不计包装盒厚度） ②所用的包装材料至少是多少平方厘米？（不计接缝） ③这个包装盒的体积至少是多少立方厘米？ 【分析】（1）由图可知，两个不锈钢碗摞起来的高度＝一个不锈钢碗的高度+碗边沿的高度； （2）①这个包装盒的高度＝一个不锈钢碗的高度+碗边沿的高度×（10 -1）； ②圆柱形包装盒的底面直径等于不锈钢碗的外直径，已知圆柱形包装盒的高度， 利用“s 圆柱 = πdh + 2πr2 ”求出需要包装材料的面积； ③先求出包装盒的底面半径，再利用“v 圆柱 = πr2 h”求出这个包装盒的体积，据此解答。 【解答】解：（1）8.8+2.8 ＝11.6（厘米） 答：两个这样的不锈钢碗紧紧摞起来的高度是 11.6 厘米。 （2）①8.8+2.8×（10 -1） =8.8+2.8×9 =8.8+25.2 =34（厘米） 答：这个包装盒的高度至少是 34 厘米。 ②3. 14×20×34+2×3. 14×（20÷2）2 =3. 14×20×34+2×3. 14×100 =3. 14×（20×34+2×100） =3. 14×（680+200） =3. 14×880 =2763.2（平方厘米） 答：所用的包装材料至少是 2763.2 平方厘米。 ③20÷2 ＝10（厘米） 3. 14×102 ×34 学科网（北京）股份有限公司 =314×34 = 10676（立方厘米） 答：这个包装盒的体积至少是多 10676 立方厘米。 【点评】本题考查的是圆柱的体积的有关计算，熟记公式是解答关键。 17．如图，在一个长 8 厘米，宽 5 厘米，高 6 厘米的长方体中，挖一个底面半径是 2 厘米圆柱 体，此时这个长方体上、下底面形成一个能透光的孔洞。(π取3） （1）挖掉圆柱体的侧面积是多少平方厘米？ （2）把长方体挖掉圆柱体后，剩下的几何体的表面积与原 来长方体表面积相比，剩下几何体的表面积比原来的长方体 的表面积增加了还是减少了？如果增加了，约增加百分之 几？如果减少了，约减少了百分之几？ 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh ，把数据代入公式解答。 （2）挖掉圆柱后，剩下图形的表面积是正方体的表面积加上圆柱的侧面积再减去圆柱两个 底面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh， 圆的面积公式：S= πr2 ，把数据代入公式解答。 【解答】解（1）2×3×2×6 = 12×6 =72（平方厘米） 答：圆柱体的侧面积是 72 平方厘米。 （2）挖掉圆柱体后剩下几何体的表面积： （8×5+8×6+5×6）×2+2×3×2×6 -3×22 ×2 =（40+48+30）×2+6×2×6 -3×4×2 = 118×2+72 -24 =236+72 -24 =308 -24 =284（平方厘米） 长方体的表面积： （8×5+6×5+8×6）×2 学科网（北京）股份有限公司 =（40+48+30）×2 = 118×2 =236（平方厘米） 因为284＞236 ，所以剩余几何体的表面积比原来长方体表面增加了。 （284 -236）÷236×100% =48÷236×100% ≈0.203×100% =20.3% 答：剩下几何体的表面积比原来长方体表面积增加约 20.3%。 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的面积公式、长方体的表面积公式的灵活运 用，关键是熟记公式。 18．数学实验：星期五下午学校进行数学社团活动，小明和小宇来到数学实验室，将底面为正 方形的两个完全相同的长方体铁块，分别放入与它们等高的两个相同的空圆柱形容器内（容 器的厚度忽略不计），铁块与容器内壁不接触。小明和小宇的放置方式不一样，小明将铁块 竖着放置在容器中，小宇将铁块横着放置在容器中（如图）。现在分别向两个圆柱形容器内 匀速注水，直至容器刚好注满水。容器中水深h（厘米）与注水时间 t（秒）的变化情况记 录如图所示。 （1）这个圆柱形容器的高是 10 厘米， 如果这个圆柱形容器的底面直径 16 厘米，做 这个无盖的圆柱形容器至少需要多少平方厘 米的材料？ （2）上面记录的折线统计图 A 是 小宇 的放置方式，折线统计图 B 是 小明 的放 置方式，请说明你选择的理由。 （3）请你根据相关信息计算出这个长方体铁块的体积。 【分析】（1）通过两幅折线统计图可知，圆柱形容器的高为 10 厘米；圆柱形的侧面积加底 面积即是所需材料，侧面积= πdh ，底面积= πr2 ，分别计算后相加求和即可； （2）小明将铁块竖着放置在容器中，因长方体与圆柱形容器等高，在注水时，水深变化是 学科网（北京）股份有限公司 匀速上升，始终保持一种状态，应该是直线。小宇将铁块横着放置在容器中，在注水时， 水深变化是先上升快些，后上升慢些，是先快后慢的状态，应该是折线（说法不唯一，合 理即可）。即上面记录的折线统计图A 是小宇的放置方式，折线统计图 B 是小明的放置方式。 （3）从图 A 可知注水至 6 厘米时发生变化，故长方体底面的边长是 6 厘米，再结合（1） 分析得的长方体的高是 10 厘米，确定长方体交于一个顶点的三条棱的长度分别是 10 厘米、 6 厘米、6 厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，从而求出体积。 【解答】解：（1）通过两幅折线统计图可知，圆柱形容器的高为 10 厘米； 3. 14×16×10+3. 14×（16÷2）2 =502.4+200.96 =703.36（平方厘米） 答：做这个无盖的圆柱形容器至少需要 703.36 平方厘米的材料。 （2）上面记录的折线统计图A 是小宇的放置方式，折线统计图 B 是小明的放置方式。 理由：小明将铁块竖着放置在容器中，因长方体与圆柱形容器等高，在注水时，水深变化 是匀速上升，始终保持一种状态，应该是直线。小宇将铁块横着放置在容器中，在注水时， 水深变化是先上升快些，后上升慢些，是先快后慢的状态，应该是折线（说法不唯一，合 理即可）。 （3）6×6×10 ＝360（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是 360 立方厘米。 故答案为：（1）10；（2）小宇，小明。 【点评】本题考查了圆柱体和长方体的表面积、侧面积和体积的计算等。 19．如图中的容器由两个圆柱组成。如果向这个容器匀速注满油，注油过程中，容器中油的高 度与所用时间的关系如下图所示。 ①把下面的大圆柱注满需 8 分钟。 ②上面小圆柱高 30 cm。 ③如果下面大圆柱的底面积是 36cm2 ，那么上 面小圆柱的底面积是多少？ 【分析】①仔细观察图片，获取准确信息，即 可解答； ②仔细观察图片，获取准确信息，再用50 减去 20 ，即可解答； 学科网（北京）股份有限公司 ③设上面小圆柱的底面积是 xcm2 ，根据注油的速度相等，列出方程，即可解答。 【解答】解：①把下面的大圆柱注满需 8 分钟。 ②50 -20 ＝30（cm） 答：上面小圆柱高 30cm。 ③设上面小圆柱的底面积是 xcm2。 36×20 30x 30x×8 ＝36×20×（12 -8） 240x ＝2880 x ＝12 答：上面小圆柱的底面积是 12cm2。 故答案为：8 ；30。 【点评】本题考查的是圆柱体积的有关计算，熟记公式是解答关键。 20．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活 中，它无处不在。如“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导 平行四边形的面积时，把平行四边形转化为长方形（如图 1 所示） … … （1）请你回忆一下，在我们以前的数学学习中，利用转化思想，还可以将 梯形的面积 转化为 平行四边形的面积 来研究。 （2）你能用转化的思想方法来解决以下的数学问题吗？如图 2 所示，一个拧紧瓶盖的瓶子 里装有一些水，根据图中标出的数据，瓶中水的体积占瓶子容积的 C。 【分析】（1）利用转化思想，还可以将梯形的面积转化为平行四边形的面积来研究；（答案 不唯一） （2）利用圆柱的体积＝底面积×高，假设瓶底面积是 a 平方厘米，瓶中水的体积为（12×a） 平方厘米，空余部分的体积为[（21 -15）a]平方厘米，由此计算瓶中水的体积占瓶子容积 学科网（北京）股份有限公司 的几分之几。 【解答】解：（1）利用转化思想，还可以将梯形的面积转化为平行四边形的面积来研究；（答 案不唯一） （2）假设瓶底面积是 a 平方厘米，瓶中水的体积：12a（平方厘米）， 空余部分的体积：（21 -15）a ＝6a（平方厘米） 12a÷（12a+6a） = 12÷ 18 学科网（北京）股份有限公司 = 2 3 学科网（北京）股份有限公司 故选：C。 故答案为：（1）梯形的面积，平行四边形的面积（答案不唯一）；（2）C。 【点评】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 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