【数学帮】小升初专项训练：绝对值计算 （七大类型）

绝对值计算易错专题（七大类型） ( 易错点题型归纳 ) 【题型 1 根据绝对值的定义判断正误】 【题型 2 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型 3 利用绝对值的性质化简求值】 【题型 4 绝对值中分类讨论 问题】 【题型 5 绝对值中分类讨论之多绝对值问题】 【题型 6 绝对值中最值问题】 【题型 7 绝对值中新定义问题】 ( 题型 1 根据绝对值的定义判断正误 ) 1 ．在实数 a ，b ，c 中，若 a+b ＝0 ，b -c＞c -a＞0 ，则下列结论：①|a|＞|b| ，②a＞0 ，③b＜0 ，④c＜0 ，正 确的个数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 2 ．将符号语言“|a| ＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是 ( ) A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数 C ．非负数的绝对值等于它本身 D ．0 的绝对值等于 0 3 ．已知 a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a+c| -|a+b|的结果是 ( ) A ．2a+b+c B ．b -c C ．c -b D ．2a -b -c 4 ．下列说法中正确的是 ( ) A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0 没有绝对值 D ．绝对值相等的两个数不一定相等 第 1页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型 2 根据绝对值的意义求取值范围 ) 5 ．若|5 -x| ＝x -5 ，则 x 的取值范围为 ( ) A ．x＞5 B ．x≥5 C ．x＜5 D ．x≤5 6 ．如果| -2a| ＝ -2a ，则 a 的取值范围是 ( ) A ．a＞0 B ．a≥0 C ．a≤0 D ．a＜0 7 ．计算|x -2|+x -2 ＝0 ，则 x 的取值范围是 ． 8 ．若不等式|x -2|+|x+3|+|x -1|+|x+1|≥a 对一切数 x 都成立，则 a 的取值范围是 ． ( 题型 3 利用绝对值的性质化简求值 ) 9 ．有理数 a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示． （1）在数轴上表示 -c ，|b|． （2）试把 -c ，b ，0 ，a ，|b|这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a+b| -|a -c| -2|b+c|． 10 ．（2023•新华区校级模拟） 已知有理数 a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示： （1）用“＜”或“＞”填空：a+c 0 ，b+c 0 ，b -c 0 ，a -b -c 0； （2）化简：|a+c| -|a -b -c| -|b -c|+|b+c|． 学科网（北京）股份有限公司 11 ．a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a| ＝|b| （1）求出 a 、b 、c 各数的绝对值； （2） 比较 a ， -a 、 -c 的大小； （3）化简|a+b|+|a -b|+|a+c|+|b -c|． 12 ．若 a 、b 、c 为整数，且|a -b|19+|c -a|2010 ＝1 ，求|a -b|+|b -c|+|c -a|． 13 ．附加题： （1） 已知|a -2|+|b+6| ＝0 ，则 a+b = （2）求| -1|+| -|+ …+| -|+| -|的值． 学科网（北京）股份有限公司 题型 4 绝对值中分类讨论问题 14 ．计算：（abc≠0）= . 15 ．若 abcd≠0 ，则 = . 16 ．（1）【问题发现】 数学小组遇到这样一个问题：若 a ，b 均不为零，求 x ＝的值． 小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母 a ，b 的正负作出讨论，又注意到 a ，b 在问题中的平等 性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．” 解：①当两个字母 a ，b 中有 2 个正，0 个负时，x ＝+ ＝1+1 ＝2； ②当两个字母 a ，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0； ③当两个字母 a ，b 中有 0 个正，2 个负时，x ＝+ ＝ -1 -1 ＝ -2； 综上，当 a ，b 均不为零，求 x 的值为 -2 ，0 ，2． （2）【拓展探究】 若 a ，b ，c 均不为零，求 x ＝+ -的值． （3）【问题解决】 若 a ，b ，c 均不为零，且 a+b+c ＝0 ，直接写出代数式++的值． 学科网（北京）股份有限公司 17 ．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对 象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结 果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”这一数学思想用处非常广泛，我 们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对 a 进行分类讨论，当 a≥0 时，|a| ＝a； 当 a＜0 时，|a| ＝ -a ．现在请你利用这一思想解决下列问题： （1） = . = （2） ＝ （a≠0）， ＝ （其中 a＞0 ，b≠0） （3）若 abc≠0 ，试求 的所有可能的值． ( 题型 5 绝对值中分类讨论之多绝对值问题 ) 18 ．（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是 a 、b ，求这两点之间的距离； （2）是否存在有理数 x ，使|x+1|+|x -3| ＝x？ （3）是否存在整数 x ，使|x -4|+|x -3|+|x+3|+|x+4| ＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说 明理由． 19 ．（2022 秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数 a 、b 、c 、d ，若|a -b|+|b -c| ＝c -a ，设 d 在 a 、c 之间，则|a -d|+|d -c|+|c -b| -|a -c| = ( ) A ．d -b B ．c -b C ．d -c D ．d -a 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 ．（2022 秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料：|x| = , 即当x＜0 时， ＝ -1 ．用 学科网（北京）股份有限公司 这个结论可以解决下面问题： （1） 已知 a ，b 是有理数，当 ab＞0 时，求的值； （2） 已知 a ，b ，c 是有理数，当 abc＞0 时，求的值； （3） 已知 a ，b ，c 是有理数，a+b+c ＝0 ，abc＜0 ，求的值． 21 ．阅读下列材料并解决相关问题． 化简代数式|x+5|+|2x -3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如 |x+5| ，只要考虑 x+5 的正负，可以分为x＜ -5 与 x≥ -5 两种情况来讨论，这里的 x ＝ -5 是使 x+5 ＝0 的 x 值，我们称它为 x+5 的一个零点．同理，对于 2x -3 ，也有一个零点 x ＝ ．为了同时去掉两个绝对值 符号我们可以将 x 的取值范围分成三段，即 x＜ -5 ， -5≤x＜进行讨论，这种令各个绝对值内 的代数式为 0 ，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”． （1）填空：|x+5|+|2x -3| = （2）代数式||x -1| -2|+|x+1|的零点值有哪些？ （3）化简||x -1| -2|+|x+1|． 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型 6 绝对值中最值问题 ) 22 ．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是 ；表示 -2 和 1 两点之间的距离是 ；一般地， 数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|m -n|． （2）如果|x+1| ＝2 ，那么 x = ; （3）若|a -3| ＝4 ，|b+2| ＝3 ，且数 a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点 B ，则 A 、B 两点间的最大距 离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数 a 的点位于 -3 与 5 之间，则|a+3|+|a -5| = . （5）当 a ＝ 时，|a -1|+|a+5|+|a -4|的值最小，最小值是 ． 23 ．同学们都知道，|7 -（ -4）|表示 7 与 -4 之差的绝对值，实际上也可理解为 7 与 -4 两数在数轴上所对 的两点之间的距离．|7-4|也可理解为 7 与 4 两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|7 -（ -4）| = . （2）找出所有符合条件的整数 x ，使得|x -（ -6）|+|x -2| ＝8 这样的整数是 ． （3） 由以上探索猜想对于任何有理数 x ，|x -1|+|x -5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理 由．如果没有也要请尝试说明理由． 24 ．已知（|x+1|+|x -2|）（|y -2|+|y+1|）（|z -3|+|z+1|）＝36 ，求 2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型 7 绝对值中新定义问题 ) 25 ．（2023 春•霍州市期中）新定义：对于两个不相等的有理数 a ，b ．我们规定符号 min|a ，b|表示 a ，b 两 个数中较小的数，例如min|1 ，3| ＝1 ．请按照这个规定解决以下问题： （1） = ; （2）若 min| -2，y|＝y ，则y 的值可以为 （写出一个即可）； （3）求 min| -x ，0| ＝ -5+2x 的解． 26 ． （2022 秋•顺义区校级月考） 已知点 A 在数轴上对应的数为 a ，点 B 在数轴上对应的数为 b ，且 |a+4|+|b -1| ＝0 ，A ，B 之间的距离记作|AB| ，定义|AB| ＝|a -b|． （1）求线段 AB 的长|AB|； （2）设点 P 在数轴上对应的数为 x ，当|PA| -|PB| ＝2 时，求 x 的值． 27 ．（2022 秋•永兴县期末）对于有理数 x，y ，a ，t ，若|x -a|+|y -a| ＝t ，则称 x 和y 关于 a 的“美好关联数” 为 t ，例如，|2 -1|+|3 -1| ＝3 ，则 2 和 3 关于 1 的“美好关联数”为 3． （1） -3 和 5 关于 2 的“美好关联数”为 ； （2）若 x 和 2 关于 3 的“美好关联数”为 4 ，求 x 的值； （3）若 x0和 x1关于 1 的“美好关联数”为 1 ，x1 和 x2关于 2 的“美好关联数”为 1 ，x2 和 x3关于 3 的“美好 关联数”为 1 ， … , x40 和 x41关于 41 的“美好关联数”为 1 ， … . ①x0+x1 的最小值为 ； ②x1+x2+x3+ … …+x40 的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 ( 题型 1 根据绝对值的定义判断正误 ) 1 ．在实数 a ，b ，c 中，若 a+b ＝0 ，b -c＞c -a＞0 ，则下列结论：①|a|＞|b| ，②a＞0 ，③b＜0 ，④c＜0 ，正 确的个数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】A 【解答】解： ∵a+b ＝0 ，b -c＞c -a＞0， ∴2c＜a+b ＝0， ∴c＜0． ∵c -a＞0， ∴c＞a， ∴a＜0， ∵a+b ＝0， ∴b ＝ -a＞0， ∴a ，b 互为相反数， ∴|a| ＝|b|， 综上，正确的结论有：④ , ∴正确的个数有一个． 故选：A． 2 ．将符号语言“|a| ＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是 ( ) A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数 C ．非负数的绝对值等于它本身 D ．0 的绝对值等于 0 【答案】C 【解答】解： ∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数， ∴选项 A 不符合题意； ∵a≥0 ，表述的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值， ∴选项 B 不符合题意； ∵非负数的绝对值等于它本身， ∴选项 C 符合题意； ∵a≥0 ，表述的是非负数的绝对值，不只是 0 的绝对值， ∴选项 D 不符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 故选：C． 3 ．已知 a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a+c| -|a+b|的结果是 ( ) A ．2a+b+c B ．b -c C ．c -b D ．2a -b -c 【答案】A 【解答】解： 由题意得：b＜a＜0＜c ，且|c|＞|a|． ∴a+c＞0 ，a+b＜0． ∴原式＝a+c -（ -a -b） =a+c+a+b =2a+b+c． 故选：A． 4 ．下列说法中正确的是 ( ) A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0 没有绝对值 D ．绝对值相等的两个数不一定相等 【答案】D 【解答】解： ∵两个负数比较，绝对值越大，对应的数越小， ∴A 选项不合题意，B 选项不合题意， ∵0 的绝对值为 0， ∴C 选项不合题意， ∵绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数， ∴D 选项正确， 故选：D． ( 题型 2 根据绝对值的意义求取值范围 ) 5 ．若|5 -x| ＝x -5 ，则 x 的取值范围为 ( ) A ．x＞5 B ．x≥5 C ．x＜5 D ．x≤5 【答案】B 【解答】解： ∵|5 -x| ＝x -5， ∴5 -x≤0， 即 x≥5， 故选：B． 第 10页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 6 ．如果| -2a| ＝ -2a ，则 a 的取值范围是 ( ) A ．a＞0 B ．a≥0 C ．a≤0 D ．a＜0 【答案】C 【解答】解： ∵| -2a| ＝ -2a， ∴ -2a≥0， a≤0． 故选：C． 7 ．计算|x -2|+x -2 ＝0 ，则 x 的取值范围是 x≤2 ． 【答案】x≤2． 【解答】解： ∵|x -2|+x -2 ＝0， ∴|x -2| ＝2 -x， ∴x -2≤0， ∴x≤2． 故答案为：x≤2． 8 ．若不等式|x -2|+|x+3|+|x -1|+|x+1|≥a 对一切数 x 都成立，则 a 的取值范围是 a≤7 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x -y|表示数轴上两点 x，y 之间的距离． 画数轴易知，|x -2|+|x+3|+|x -1|+|x+1|表示 x 到 -3 ， -1 ，1 ，2 这四个点的距离之和． 令y ＝|x -2|+|x+3|+|x -1|+|x+1| ，x ＝ -3 时，y ＝11， x ＝ -1 时，y ＝7， x ＝1 时，y ＝7， x ＝2 时，y ＝9， 可以观察知：当 -1≤x≤1 时， 由于四点分列在 x 两边，恒有y ＝7， 当 -3≤x＜ -1 时，7＜y≤11， 当 x＜ -3 时，y＞11 ， 当 1≤x＜2 时，7≤y＜9， 当 x≥2 时，y≥9， 综合以上：y≥7 所以：a≤7 即|x -2|+|x+3|+|x -1|+|x+1|≥7 对一切实数 x 恒成立． 从而 a 的取值范围为 a≤7． ( 题型 3 利用绝对值的性质化简求值 ) 学科网（北京）股份有限公司 9 ．有理数 a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示． （1）在数轴上表示 -c ，|b|． （2）试把 -c ，b ，0 ，a ，|b|这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a+b| -|a -c| -2|b+c|． 【答案】（1）答案见解析；（2）a＜ -c＜b＜0＜|b|＜c；（3） -3b -3c． 【解答】解：（1）在数轴上表示 -c ，|b| ．如图： ; （2）根据题意可得，a＜ -c＜b＜0＜|b|＜c； （3）因为 a+b＜0 ，a -c＜0 ，b+c＞0， 原式＝ -a -b+a -c -2（b+c） = -a -b+a -c -2b -2c = -3b -3c． 10 ．（2023•新华区校级模拟） 已知有理数 a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示： （1）用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0 ，b+c ＜ 0 ，b -c ＞ 0 ，a -b -c ＞ 0； （2）化简：|a+c| -|a -b -c| -|b -c|+|b+c|． 【答案】（1）＜，＜，＞，＞；（2） -2a -b． 【解答】解：（1） 由图可知：c＜b＜0＜a ，且|a|＜|b|＜|c|， ∴a+c＜0 ，b+c＜0 ，b -c＞0 ，a -b -c＞0； 故答案为：< ; < ; > ; > ; （2）原式＝ -（a+c） -（a -b -c） -（b -c） -（b+c） = -a -c -a+b+c -b+c -b -c = -a -a+b -b -b -c+c+c -c = -2a -b+0 = -2a -b． 11 ．a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a| ＝|b| （1）求出 a 、b 、c 各数的绝对值； （2） 比较 a ， -a 、 -c 的大小； （3）化简|a+b|+|a -b|+|a+c|+|b -c|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） ∵从数轴可知：c＜b＜0＜a， 学科网（北京）股份有限公司 ∴|a| ＝a ，|b| ＝ -b ，|c| ＝ -c； （2） ∵从数轴可知：c＜b＜0＜a ，|c|＞|a|， ∴ -a＜a＜ -c； （3）根据题意得：a+b ＝0 ，a -b＞0 ，a+c＜0 ，b -c＞0， 则|a+b|+|a -b|+|a+c|+|b -c| =0+a -b -a -c+b -c = -2c． 12 ．若 a 、b 、c 为整数，且|a -b|19+|c -a|2010 ＝1 ，求|a -b|+|b -c|+|c -a|． 【分析】由 a 、b 、c 为整数，所以其和差仍为整数，且|a -b|19+|c -a|2010 ＝1 ，所以|a -b|和|c -a|必有一个 为 1 ，另一个为 0 ，分两种情况讨论得出 a 、b 、c 的结果代入计算即可． 【解答】解： 由|a -b|19+|c -a|2010 ＝1 可知 |a -b| ＝1 ，|c -a| ＝0 或|a -b| ＝0 ，|c -a| ＝1， 当 a -b = ±1 ，c -a ＝0 时，b -c = ±1， 当 c -a = ±1 ，a -b ＝0 时，b -c = ±1， 即|b -c| ＝1， 则原式＝|a -b|+|b -c|+|c -a| ＝1+1 ＝2． 【点评】此题考查分类讨论思想，解题的关键是由|a -b|19+|c -a|2010 ＝1 得出两种情况，属于中档题． 13 ．附加题： （1） 已知|a -2|+|b+6| ＝0 ，则 a+b ＝ -4 （2）求| -1|+| -|+ …+| -|+| -|的值． 【分析】（1）先根据非负数的性质求出 a 、b 的值，再进行计算； （2）根据绝对值去掉绝对值符号再进行计算即可． 【解答】解：（1） ∵|a -2|+|b+6| ＝0， ∴a -2 ＝0 ，b+6 ＝0， ∴a ＝2 ，b ＝ -6 ， ∴a+b ＝2 -6 ＝ -4； （2）| -1|+| - |+ …+| - |+| - | = 1 - + - + …+ - + - 学科网（北京）股份有限公司 = 1 - = . 故答案为： -4 ，． 【点评】本题考查的是绝对值的性质，解答此题的关键是熟知绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它 本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 题型 4 绝对值中分类讨论问题 14 ．计算：（abc≠0）= ±1 或±3 ． 【答案】±1 或±3． 【解答】解：①a 、b 、c 三个为正， 原式＝1+1+1 ＝3； ②a 、b 、c 三个为负， 原式＝ -1 -1 -1 ＝ -3； ③a 、b 、c 两个为正，一个为负时， 原式＝1+1 -1 ＝1； ④a 、b 、c 一个为为正，两个为负时， 原式＝1 -1 -1 ＝ -1； 综上所述，原式= ±1 或±3． 故答案为：±1 或±3． 15 ．若 abcd≠0 ，则 ＝ 5 或 1 或 -3 ． 【答案】5 或 1 或 -3． 【解答】解：当 a 、b 、c 、d 中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1+1 ＝5 ； 当 a 、b 、c 、d 中只有一个负数时，不妨设 a 是负数，则原式＝ -1+1+1+1 -1 ＝1； 当 a 、b 、c 、d 中有 2 个负数时，不妨设 a ，b 是负数，则原式＝ -1 -1+1+1+1 ＝1； 当 a 、b 、c 、d 中有 3 个负数时，不妨 a ，b ，c 是负数，则原式＝ -1 -1 -1+1 -1 ＝ -3； 当 a 、b 、c 、d 都是负数时，则原式＝ -1 -1 -1 -1+1 ＝ -3， 综上所述：代数式的值是 5 或 1 或 -3． 故答案为：5 或 1 或 -3． 16 ．（1）【问题发现】 学科网（北京）股份有限公司 数学小组遇到这样一个问题：若 a ，b 均不为零，求 x ＝的值． 小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母 a ，b 的正负作出讨论，又注意到 a ，b 在问题中的平等 性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．” 解：①当两个字母 a ，b 中有 2 个正，0 个负时，x ＝+ ＝1+1 ＝2； ②当两个字母 a ，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0； ③当两个字母 a ，b 中有 0 个正，2 个负时，x ＝+ ＝ -1 -1 ＝ -2； 综上，当 a ，b 均不为零，求 x 的值为 -2 ，0 ，2． （2）【拓展探究】 若 a ，b ，c 均不为零，求 x ＝+ - 的值． （3）【问题解决】 若 a ，b ，c 均不为零，且 a+b+c ＝0 ，直接写出代数式++的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（2）①当 a ，b ，c 都为正数时：x ＝+ - ＝1+1 -1 ＝1． ②当 a ，b 为正，c 为负时：x ＝+ - ＝1+1+1 ＝3 ． 当 a ，c 为正，b 为负时：x ＝+ - ＝1 -1 -1 ＝ -1 ． 当 b ，c 为正，a 为负时：x ＝+ - ＝ -1+1 -1 ＝ -1． ③当 a ，b 为负，c 为正时：x ＝+ - ＝ -1 -1 -1 ＝ -3． 当 a ，c 为负，b 为正时：x ＝+ - ＝ -1+1+1 ＝1． 当 b ，c 为负，a 为正时：x ＝+ - ＝1 -1+1 ＝1． ④当 a ，b ，c 都为负数时：x ＝+ - ＝ -1 -1+1 ＝ -1． 综上所述 x ＝+ -的值为 1 或 3 或 -3 或 -1． （3） ∵a ，b ，c 均不为零，且 a+b+c ＝0， ∴a ，b ，c 为两正一负或两负一正． ∴①当 a ，b ，c 为两正一负时：++ ＝ - - - ＝ -1 -1+1 ＝ -1． 学科网（北京）股份有限公司 ②当 a ，b ，c 为两负一正时：++ ＝ - - - ＝1+1 -1 ＝1． 17 ．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对 象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结 果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”这一数学思想用处非常广泛，我 们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对 a 进行分类讨论，当 a≥0 时，|a| ＝a； 当 a＜0 时，|a| ＝ -a ．现在请你利用这一思想解决下列问题： 0 ，b≠0） （3）若 abc≠0 ，试求的所有可能的值． 【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到结论； （2）分类讨论：当 a＞0 时，当 a＜0 时，当 b＞0 时，当 b＜0 时，根据绝对值的定义即可得到结论； （3）分类讨论：①当 a＞0 ，b＞0 ，c＞0 时， ②当 a ，b ，c 三个字母中有一个字母小于 0 ，其它两个字母大于 0 时，③当 a ，b ，c 三个字母中有一个 字母大于 0 ，其它两个字母小于 0 时，④当a＜0 ，b＜0 ，c＜0 时，根据绝对值的定义即可得到结论． 【解答】解：（1） ＝1 ， ＝ -1， 故答案为：1 ， -1； （2）当 a＞0 时， ＝1 ；当 a＜0 时， ＝ -1； 当 b＞0 时， ＝1+1 ＝2；当 b＜0 时， ＝1 -1 ＝0； 故答案为：1 或 -1 ，2 或 0； （3）①当 a＞0 ，b＞0 ，c＞0 时， ＝1+1+1+1 ＝4， ②当 a ，b ，c 三个字母中有一个字母小于 0 ，其它两个字母大于 0 时， = -1+1+1 -1 ＝0， ③当 a ，b ，c 三个字母中有一个字母大于 0 ，其它两个字母小于 0 时， = 1 -1 -1+1 ＝0， ④当 a＜0 ，b＜0 ，c＜0 时， ＝ -1 -1 -1 -1 ＝ -4， 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，的所有可能的值为±4 ，0． 【点评】本题主要考查了绝对值，有理数的除法，解题的关键是讨论 a ，b ，c 的取值情况． ( 题型 5 绝对值中分类讨论之多绝对值问题 ) 18 ．（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是 a 、b ，求这两点之间的距离； （2）是否存在有理数 x ，使|x+1|+|x -3| ＝x？ （3）是否存在整数 x ，使|x -4|+|x -3|+|x+3|+|x+4| ＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说 明理由． 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数或|a -b|； （2）利用绝对值的几何意义进行化简； （3）利用绝对值的几何意义进行化简，求得|x -4|+|x -3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再进行判断． 【解答】解：（1）|a -b|； （2）x 的取值可能是 x＜ -1 ， -1≤x≤3 ，x＞3， 化简得 -2x+2 ，4 ，2x -2， 则不存在|x+1|+|x -3| ＝x 的情况； （3）x 的取值可能是 x＜ -4 ， -4≤x＜ -3 ， -3≤x≤3 ，3＜x≤4 ，x＞4， 化简得 -4x ， -2x+8 ，14 ，2x+8 ，4x， 故存在整数 x ，使|x -4|+|x -3|+|x+3|+|x+4| ＝14， 即 -3≤x≤3 ，x ＝ -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2 ，3． 19 ．（2022 秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数 a 、b 、c 、d ，若|a -b|+|b -c| ＝c -a ，设 d 在 a 、c 之间，则|a -d|+|d -c|+|c -b| -|a -c| = ( ) A ．d -b B ．c -b C ．d -c D ．d -a 【分析】由|a -b|+|b -c| ＝c -a →a＜b＜c ，又 d 在 a 、c 之间，故有 a＜d＜b＜c 或 a＜b＜d＜c 两种情况， 且|a -d|+|d -c| -|a -c| ＝0 ．分别讨论可得|a -d|+|d -c|+|c -b| -|a -c| ＝|c -b| ＝c -b． 【解答】解： 由|a -b|+|b -c| ＝c -a 可得 a＜b＜c， 又因为 d 在 a 、c 之间， 故有 a＜d＜b＜c 或 a＜b＜d＜c 两种情况，且|a -d|+|d -c| -|a -c| ＝0． 当 a＜d＜b＜c 时，|a -d|+|d -c|+|c -b| -|a -c| ＝d -a+c -d+c -b+a -c ＝c -b， 当 a＜b＜d＜c 时，|a -d|+|d -c|+|c -b| -|a -c| ＝d -a+c -d+c -b+a -c ＝c -b， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 ．（2022 秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料：|x| = , 即当x＜0 时， ＝ -1 ．用 学科网（北京）股份有限公司 这个结论可以解决下面问题： （1） 已知 a ，b 是有理数，当 ab＞0 时，求的值； （2） 已知 a ，b ，c 是有理数，当 abc＞0 时，求的值； （3） 已知 a ，b ，c 是有理数，a+b+c ＝0 ，abc＜0 ，求的值． 【答案】（1）±2；（2） -1 或 3 ；（3） -1． 【解答】解：（1） ∵ab＞0， ∴a 、b 同号，即 a＞0 ，b＞0 或 a＜0 ，b＜0， ∴ = 1+1 ＝2 或 ＝ -1 -1 ＝ -2； （2） ∵abc＞0， ∴a 、b 、c 中有 3 个正数或一正两负， 当 a 、b 、c 都是正数时， ＝1+1+1 ＝3； 当 a 、b 、c 中有一正两负时， ＝1 -1 -1 ＝ -1； （3） ∵a+b+c ＝0， ∴a+b ＝ -c ，a+c ＝ -b ，b+c ＝ -a， ∴ = - - - ， ∵abc＜0 ，a+b+c ＝0 ， ∴a 、b 、c 中一负两正， ∴ = - - - = 1 -1 -1 = -1； 答：的值为 -1． 21 ．阅读下列材料并解决相关问题． 化简代数式|x+5|+|2x -3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如 |x+5| ，只要考虑 x+5 的正负，可以分为x＜ -5 与 x≥ -5 两种情况来讨论，这里的 x ＝ -5 是使 x+5 ＝0 的 学科网（北京）股份有限公司 x 值，我们称它为 x+5 的一个零点．同理，对于 2x -3 ，也有一个零点 x ＝ ．为了同时去掉两个绝对值 符号我们可以将 x 的取值范围分成三段，即 x＜ -5 ， -5≤x＜进行讨论，这种令各个绝对值内 的代数式为 0 ，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”． （1）填空：|x+5|+|2x -3| = （2）代数式||x -1| -2|+|x+1|的零点值有哪些？ （3）化简||x -1| -2|+|x+1|． 【分析】（1）分三个区间，分别化简即可；（2）根据零点的定义，求出 x 的值即可；（3）分四个区间， 分别化简即可； 【解答】解：（1）|x+5|+|2x -3| = . （2）代数式||x -1| -2|+|x+1|的零点值有： x -1 ＝0 ，x ＝1， x+1 ＝0 ，x ＝ -1， |x -1| -2 ＝0 ，x ＝3 或 -1， 综上所述，代数式||x -1| -2|+|x+1|的零点值有：x = ±1 或 3． （3）||x -1| -2|+|x+1| = . 【点评】本题考查绝对值的化简、解题的关键是理解零点的应用，学会分区间化简绝对值，属于中考常 考题型． ( 题型 6 绝对值中最值问题 ) 22 ．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是 1 ；表示 -2 和 1 两点之间的距离是 3 ；一般地，数 轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|m -n|． （2）如果|x+1| ＝2 ，那么 x ＝ 1 或 -3 ； 学科网（北京）股份有限公司 （3）若|a -3| ＝4 ，|b+2| ＝3 ，且数 a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点 B ，则 A 、B 两点间的最大距 离是 12 ，最小距离是 2 ． （4）若数轴上表示数 a 的点位于 -3 与 5 之间，则|a+3|+|a -5| ＝ 8 ． （5）当 a ＝ 1 时，|a -1|+|a+5|+|a -4|的值最小，最小值是 9 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是：3 -2 ＝1； 表示 -2 和 1 两点之间的距离是：1 -（ -2）＝3； （2）|x+1| ＝2， x+1 ＝2 或 x+1 ＝ -2， x ＝1 或 x ＝ -3． （3） ∵|a -3| ＝4 ，|b+2| ＝3， ∴a ＝7 或 -1 ，b ＝1 或 b ＝ -5， 当 a ＝7 ，b ＝ -5 时，则 A 、B 两点间的最大距离是 12， 当 a ＝1 ，b ＝ -1 时，则 A 、B 两点间的最小距离是 2 ， 则 A 、B 两点间的最大距离是 12 ，最小距离是2； （4）若数轴上表示数 a 的点位于 -3 与 5 之间， |a+3|+|a -5| ＝（a+3）+（5 -a）＝8． （5）当 a≥4 时，原式＝a+5+a -1+a -4 ＝3a ，这时的最小值为 3×4 ＝12 当 1≤a＜4 时，原式＝a+5+a -1 -a+4 ＝a+8 ，这时的最小值为 1+8 ＝9 当 -5≤a＜1 时，原式＝a+5 -a+1 -a+4 ＝ -a+10 ，这时的最小值接近为 1+8 ＝9 当 a≤ -5 时，原式＝ -a -5 -a+1 -a+4 ＝ -3a ，这时的最小值为 -3×（ -5）＝15 综上可得当 a ＝1 时，式子的最小值为 9 故答案为：（1）1 ；3 ；（2）1 或 -3 ；（3）12；2；（4）8 ；（5）1 ；9． 23 ．同学们都知道，|7 -（ -4）|表示 7 与 -4 之差的绝对值，实际上也可理解为 7 与 -4 两数在数轴上所对 的两点之间的距离．|7-4|也可理解为 7 与 4 两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|7 -（ -4）| ＝ 11 ． （2）找出所有符合条件的整数 x ，使得|x -（ -6）|+|x -2| ＝8 这样的整数是 -6 ， -5 ， -4 ， -3 ， - 2 ， -1 ，0 ，1 ，2 ． （3） 由以上探索猜想对于任何有理数 x ，|x -1|+|x -5|是否有最小值？如果有写出最小值请尝试说明理 由．如果没有也要请尝试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）|7 -（ -4）| ＝11； 故答案是：11； 学科网（北京）股份有限公司 （2）式子|x -（ -6）|+|x -2| ＝8 可理解为： 在数轴上，某点到 -6 所对应的点的距离和到 2 所对应的点的距离之和为 8， 所以满足条件的整数 x 可为 -6 ， -5 ， -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2， 故答案为： -6 ， -5 ， -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ，1 ，2． （3）有最小值．最小值为 4， 理由是： ∵|x -1|+|x -5|理解为，在数轴上表示 x 到 1 和 5 的距离之和， ∴当 x 在 1 与 5 间的线段上（即 1≤x≤5）时： 即|x -1|+|x -5|的值有最小值，最小值为 4． 24 ．已知（|x+1|+|x -2|）（|y -2|+|y+1|）（|z -3|+|z+1|）＝36 ，求 2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值 【分析】 先讨论： |x+1|+ |x -2| 、|y -2|+ |y+1| 、|z -3|+ |z+1|的最小值，根据它们的积是 36 ，分别得到 |x+1|+|x -2| 、|y -2|+|y+1| 、|z -3|+|z+1|的值，再讨论 x、y 、z 的最大最小值，代入计算出代数式的最大值 和最小值． 【解答】解： ∵|x+1|+|x -2|≥3， （|y -2|+|y+1|）≥3， （|z -3|+|z+1|）≥4， 又∵（|x+1|+|x -2|）（|y -2|+|y+1|）（|z -3|+|z+1|）＝36， ∴|x+1|+|x -2| ＝3， |y -2|+|y+1| ＝3， |z -3|+|z+1| ＝4， 当|x+1|+|x -2| ＝3 时，x 最小取 -1 ，最大取 2， 当|y -2|+|y+1| ＝3 时，y 最小取 -1 ，最大取 2， 当|z -3|+|z+1| ＝4 时，z 最小取 -1 ，最大取 3 所以 2016x+2017y+2018z 的最大值为：2016×2+2017×2+2018×3 ＝14120， 2016x+2017y+2018z 的最小值为：2016×（ -1）+2017×（ -1）+2018×（ -1）＝ -6051 【点评】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．解决本题的关键是根据积得到各个绝对 值的和分别是多少． ( 题型 7 绝对值中新定义问题 ) 25 ．（2023 春•霍州市期中）新定义：对于两个不相等的有理数 a ，b ．我们规定符号 min|a ，b|表示 a ，b 两 个数中较小的数，例如min|1 ，3| ＝1 ．请按照这个规定解决以下问题： 学科网（北京）股份有限公司 （1） （2）若 min| -2，y|＝y ，则y 的值可以为 -3 （写出一个即可）； （3）求 min| -x ，0| ＝ -5+2x 的解． 【答案】（1）；（2） -3（答案不唯一）；（3）． 【解答】解：（1） ∵ , ∴ , 故答案为：； （2） ∵min| -2，y|＝y ， -3＜ -2， ∴y ＝ -3， 故答案为： -3（答案不唯一）； （3）当 x＜0 即 -x＞0 时， -5+2x ＝0 ，解得（舍去）； 当 x＞0 即 -x＜0 时， -x ＝ -5+2x ，解得． 26 ． （2022 秋•顺义区校级月考） 已知点 A 在数轴上对应的数为 a ，点 B 在数轴上对应的数为 b ，且 |a+4|+|b -1| ＝0 ，A ，B 之间的距离记作|AB| ，定义|AB| ＝|a -b|． （1）求线段 AB 的长|AB|； （2）设点 P 在数轴上对应的数为 x ，当|PA| -|PB| ＝2 时，求 x 的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） ∵|a+4|+|b -1| ＝0， ∴a+4 ＝0 ，b -1 ＝0， ∴a ＝ -4 ，b ＝1， ∴|AB| ＝| -4 -1| ＝5； （2）根据题意得|x+4| -|x -1| ＝2， 当 x≤ -4 时， -x -4+x -1 ＝2 ，无解； 当 -4＜x≤1 时，x+4+x -1 ＝2 ，解得 x ＝ -0.5， 当 x＞1 时，x+4 -x+1 ＝2 ，无解， 所以 x 的值为 -0.5． 27 ．（2022 秋•永兴县期末）对于有理数 x，y ，a ，t ，若|x -a|+|y -a| ＝t ，则称 x 和y 关于 a 的“美好关联数” 为 t ，例如，|2 -1|+|3 -1| ＝3 ，则 2 和 3 关于 1 的“美好关联数”为 3． （1） -3 和 5 关于 2 的“美好关联数”为 8 ； 学科网（北京）股份有限公司 （2）若 x 和 2 关于 3 的“美好关联数”为 4 ，求 x 的值； （3）若 x0和 x1关于 1 的“美好关联数”为 1 ，x1 和 x2关于 2 的“美好关联数”为 1 ，x2 和 x3关于 3 的“美好 关联数”为 1 ， … , x40 和 x41关于 41 的“美好关联数”为 1 ， … . ①x0+x1 的最小值为 1 ； ②x1+x2+x3+ … …+x40 的最小值为 840 ． 【答案】（1）8； （2）x ＝6 或 x ＝0； （3）1 ；820． 【解答】解：（1）| -3 -2|+|5 -2| ＝8， 故答案为：8； （2） ∵x 和 2 关于 3 的“美好关联数”为 4， ∴|x -3|+|2 -3| ＝4， ∴|x -3| ＝3， 解得 x ＝6 或 x ＝0； （3）①∵x0和 x1关于 1 的“美好关联数”为 1， ∴|x0 -1|+|x1 -1| ＝1， ∴在数轴上可以看作数 x0到 1 的距离与数 x1到 1 的距离和为 1， ∴只有当 x0 ＝0 ，x1 ＝1 时， x0+x1有最小值 1， 故答案为：1； ②由题意可知： |x1 -2|+|x2 -2| ＝1 ，x1+x2 的最小值 1+2 ＝3； |x3 -4|+|x4 -4| ＝1 ，x3+x4 的最小值 3+4 ＝7； |x5 -6|+|x6 -6| ＝1 ，x5+x6 的最小值 5+6 ＝11； |x7 -8|+|x8 -8| ＝1 ，x7+x8 的最小值 7+8 ＝15； ......． |x39 -40|+|x40 -40| ＝1 ，x39+x40 的最小值 39+40 ＝79； ∴x1+x2+x3+ … …+x40 的最小值： 3+7+11+15+...+79 = = 820． 故答案为：820． 学科网（北京）股份有限公司 $$