湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷（二）数学试题

2025年邵阳市高考信息卷（二） 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 已知向量，满足，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知的展开式中的系数为126，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 函数在区间的零点个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为，直线与圆相交于两点，直线与直线相交于点，直线、直线、直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知三个互不相等的实数构成等差数列，将这三个数重新排列（不改变数的大小）后可以构成一个等比数列，则该等比数列的公比可能为（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 点纵坐标为 B. 的周长为 C. D. 的内切圆半径为 11. 给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（ ） A. 若数集中有2025个元素，则一定存在 B. 若数集中没有最大值，则不存在 C. 若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D. 若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数满足，则_____. 13. 设函数，，当曲线和恒有交点时，记实数的最大值为，最小值为，则_____. 14. 设正四面体的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为正四面体的阶等距平面，为正四面体的阶等距集.如果为正四面体的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的平面有_____个；若正四面体的棱长为，则的所有可能取值构成的集合为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求B； （2）若，则的面积为，求，. 16. 如图（一），四边形是梯形，，，，，C为线段的中点，且交于点.四边形沿翻折，如图（二）所示，线段的中点为G，M是线段上一点，且C，D，M，G四点共面. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某银行在贷款信用评估中，设定初始每个人是守信人的概率为0.5.经统计，守信人按时还款的概率是0.9，不守信人按时还款的概率是0.5.同时，银行制定了如下信用调整规则：若贷款人按时还款，下一次评估时其为守信人的概率调整为0.6；若贷款人未按时还款，下一次评估时其为守信人的概率调整为0.3.请回答以下问题： （1）随机选取一位贷款人，求其首次贷款按时还款的概率； （2）若某位贷款人首次贷款按时还款了，求该贷款人首次贷款时是守信人的概率； （3）该银行对同一初始贷款人进行两次贷款评估，记两次评估中按时还款的次数为，求的分布列与数学期望. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数，且为函数大于1的零点，为函数的极值点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 已知双曲线的离心率为，且上的点到点的距离的最小值为1. （1）求的方程； （2）若垂直于轴的直线与相交于A，B两点，设直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线交的右支于E，F两点，求的面积的最小值. 2025年邵阳市高考信息卷（二） 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】0 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）或 （2）或者 【16题答案】 【答案】（1） 在图（一）中，，，则，即，. 在图（二）中，都在平面内，则平面， 由平面，则， 由，G为的中点，则， 都在平面内， 所以平面，又平面， 平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 0.114 0.368 0.518 【18题答案】 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：依题意即 所以，即． 因为在上恒成立， 且，，即， 所以，即， 两边取对数得， 则，所以． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）设，，则，直线， 联立双曲线，得，，且，， 由，则直线， 整理得， 又，，，显然直线过定点，得证； （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $