福建省长汀第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题

长汀一中2026届高二上学期8月月考－数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是等比数列，，，则（  ★  ） A．10 B． C．6 D．或6 2．已知等差数列的前项和为，则（  ★  ）. A． B． C． D． 3．已知首项为1的等比数列的前项和为成等差数列，则（  ★  ） A． B．4或 C． D． 4.已知数列满足：，设，则（  ★  ） A． B． C． D． 5.已知等差数列的前n项和为,，则使不等式成立的最大的的值为（  ★  ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（  ★  ） A．910 B．900 C．890 D．880 7．已知正项数列的前项和为且恒成立，则实数的最小值为（  ★  ） A． B． C． D．3 8．已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（  ★  ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中，正确的是（  ★  ） A．若，则a，b，c成等比数列 B．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1 C．数列为等差数列的充要条件是对任意 D．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 10．已知数列的通项为，则（  ★  ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 11．已知为数列前项和，则下列结论成立的有（  ★  ） A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，若 C．若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D．若数列满足，则该数列的前100项和 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列满足则数列的通项公式为= . 13．已知等差数列，若，且，则公差 ． 14．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列满足.等比数列的公比为3，且. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16.（15分）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前年的总销售额为万元，乙超市第年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 17．（16分）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 18．（16分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，. (1)求，的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和． 19．（17分）在数列的第项与第项之间插入个1，称为变换．数列通过变换所得数列记为，数列通过变换所得数列记为，以此类推，数列通过变换所得数列记为（其中）． (1)已知等比数列的首项为1，项数为，其前项和为，若，求数列的项数； (2)若数列的项数为3，的项数记为． ①当时，试用； ②求证：． 长汀一中2026届高二上学期8月月考－数学试题参考答案 CADA CABB BCD BCD ABC 8.解：若相邻两项为和，则公比为正数，每一项都为正数，舍去；若奇数项为和，则奇数项均为正数，舍去；由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和，设等比数列的公比为，当时，，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，；综上可得，的最小值为. 11.解：A选项：依题意，设等比数列的公比为，所以为常数，所以数列为等差数列，故A正确； B选项：数列为等差数列，设公差为，首项为，则， 又，即，化简可得，则， ，所以，故B选项正确； C选项：等差数列的前10项中，偶数项的和为，奇数项的和为，又偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则，解得，所以，故C选项正确； D选项：因为，所以，因为，所以数列依次为：，所以数列从第项起，周期为，所以数列的前项的和为，故D错误；故选：ABC. 12． 13．或 14．7 14.解：因为，两式相减得：，即. 两边同除以可得，又，得，满足，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7.故答案为：7. 15．解：（1）数列满足，是以为首项，为公差的等差数列，，，------3分 等比数列的公比为3，且，，------6分 （2），------8分 ------13分 16.解：（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为，则， 因为时，，则时，， 故；------3分 设乙超市第年销售额为，则，时，， ，------5分 显然时也符合，------6分 所以.------7分 （2）当时，，，有；------8分 当时，，，有；------9分 当时，，，故乙超市有可能被收购，------10分 当，令，则，整理得--13分 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.------15分 17．解：（1）由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.------5分 （2）由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以.------10分 （3）由（2）知， ， 而，所以.------16分 18．解：（1）解：由已知可得， ， 联立①②，得，解得或， 因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得， 所以，；------4分 （2），，， 则 ，所以；------4分 （3） ，------9分 令 ， 则， ，得 ，------12分 令 ，------15分 .------16分 19．解：（1）设等比数列的公比为，显然， 由，得，解得. 故数列有8项，经过1次变换后的项数为， 即的项数为36.------5分 （2）①由的项数为，则当时，， 所以------10分 ②因数列是一个3项的数列，所以， 由，所以， 于是，则有 所以，得，即， 所以.，，于是， 则有，可得，有，即， 所以， 综上所述，．------17分 第8页，共9页 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$