精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024～2025学年度第二学期八年级期中教学质量监测 数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卷上．考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. （x一4）（x+4）＝x2﹣16 B. x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2 C. x2+1＝x（x+） D. a2b+ab2＝ab（a+b） 5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 8. 一次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A. 16 B. 18 C. 26 D. 28 10. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的2倍与4的和不大于15”，用不等式表示__________． 12. 分解因式： _______. 13. 等腰三角形的周长为，底边为，则等腰三角形的腰为_________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为_____． 15. 如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则__________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题9分，第17、18题6分，共21分） 16. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 17. 如图，已知AB＝EF，AG=EC，BC⊥AE，FG⊥AE垂足分别为C，D．求证：BC＝FG． 18. 如图，在四边形中，，，，，且，求四边形的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，其中点C的坐标是． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______； （2）画出将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的； （3）将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的． 20. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上． （1）若AC＝4，求DE的值； （2）确定△ACD的形状，并说明理由． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题14，第23题13分，共27分） 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：． （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________． （3）问题解决：在（2）中，如果，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期八年级期中教学质量监测 数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卷上．考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下的天气符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果，那么下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质依次分析各选项即可得答案． 【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； B．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； C．∵，∴，变形正确，故该选项符合题意； D．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的坐标变化规律，向左平移2个单位长度，横坐标减2；向上平移3个单位长度，纵坐标加3，依次计算即可，本题考查了点的平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点， 则， ∴点的坐标为， 故选：B 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. （x一4）（x+4）＝x2﹣16 B. x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2 C. x2+1＝x（x+） D. a2b+ab2＝ab（a+b） 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解或者分解因式是否正确，逐项进行判断即可． 【详解】A.结果不是积的形式，因而不是因式分解，故A错误； B.结果不是积的形式，因而不是因式分解，故B错误； C.不是整式，因而不是因式分解，故C错误； D.满足因式分解的定义且因式分解正确，故D正确． 故选：D． 【点睛】题目主要考查的是因式分解的概念，熟练掌握理解因式分解的定义是解题关键． 5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 6. 不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解①得：， 解②得：， 故不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 8. 一次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意数形结合的数学思想的应用，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．根据一次函数的图象经过点，由函数表达式可得，，其实就是一次函数的函数值，结合图象可以看出答案． 【详解】解：由图可知：一次函数的图象经过点， 当时，，即； 故关于x的不等式的解集为． 故选：A． 9. 如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A. 16 B. 18 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 利用线垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵为中边的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的2倍与4的和不大于15”，用不等式表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出一元一次不等式即可，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：“的2倍与4的和不大于15”，用不等式表示， 故答案为：． 12. 分解因式： _______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：． 故答案为. 13. 等腰三角形的周长为，底边为，则等腰三角形的腰为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的两腰相等列式计算即可得解，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边为， ∴等腰三角形的腰为， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半进行推导即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴在中，． 故答案是： 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15. 如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，先求出，得出，再由直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题9分，第17、18题6分，共21分） 16. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：去括号得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，已知AB＝EF，AG=EC，BC⊥AE，FG⊥AE垂足分别为C，D．求证：BC＝FG． 【答案】 证明：∵AG=EC，CG=GC ∴AG－CG=EC－GC，即AC=EG ∵BC⊥AE，FG⊥AE ∴∠ACB＝∠EGF＝90° 在Rt△ABC和Rt△EFG中 ∴Rt△ABC≌Rt△EFG（HL） ∴BC＝FG． 【解析】 【分析】用HL证明Rt△ABC和Rt△EFG全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，掌握直角三角形全等的判定是关键． 18. 如图，在四边形中，，，，，且，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理求出，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，最后根据四边形的面积的面积的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，其中点C的坐标是． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______； （2）画出将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的； （3）将绕点O按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的． 【答案】（1）； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，平移作图，旋转作图，掌握平移的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）根据点在坐标系的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用平移的性质作出即可； （3）利用旋转的性质作出即可． 【小问1详解】 解：由图可得：，． 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上． （1）若AC＝4，求DE的值； （2）确定△ACD的形状，并说明理由． 【答案】（1）8； （2）等边三角形， 理由：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC， ∴AC=CD， ∴△ACD是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论； （2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据旋转的性质得到AC=CD，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4， ∴AB=2AC=8， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC， ∴DE=AB=8； （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点, ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是； 【小问3详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题14，第23题13分，共27分） 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 （3）有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 23. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：． （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________． （3）问题解决：在（2）中，如果，求线段的长． 【答案】（1）证明：和是等边三角形 ，且 ，即 在和中 （2）①，②； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE； （2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代换即可得到结论； （3）先证明△CDE是直角三角形，再计算BC=2，从而可得CE=3，再运用勾股定理可得DE的长. 【详解】（1）略； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE， 即BC+CD=CE， 故答案为：①；② （3）由（2）知： 又， ， 在中，， 又，由（2）得 在中， 则线段的长是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $